解三角形-课件

精品课件高中数学必修2第六章平面向量及其应用新人教版

解三角形特级教师优秀课件精选精品高中数学必修2第六章平面向量及其应用新人教版解三角1教学目标了解余弦定理、正弦定理的推导过程，掌握余弦定理、正弦定理及其基本应用能用余弦定理、正弦定理解三角形，并能判断三角形的形状掌握三角形面积公式教学目标了解余弦定理、正弦定理的推导过程，掌握余弦定理、正弦教学重点

余弦定理，正弦定理，面积公式应用余弦定理，正弦定理，面积公式解决综合问题教学难点教学重点

余弦定理，正弦定理，面积公式应用余弦定理，正弦定引入

一个三角形含有各种各样的几何量，如边长，角度，面积等，它们之间存在确定的关系.在以前的学习中，我们学习过直角三角形中边、角的定量关系，对于一般的三角形。研究过SSS,SAS,ASA,AAS等判定全等的方法。这些判定方法表明，给定三角形的三个角，三条边，这六个元素中的某些元素，这个三角形就是唯一确定的。那么，三角形的其他元素与给定的某些元素有怎样的数量关系？下面我们用向量方法研究这个问题。引入

一个三角形含有各种各样的几何量，如边长，角度，面积等，余弦定理证明

如图，在△ABC中，BC=a，AC=b，边BC与AC的夹角为C，试求AB边的长c.思路：依条件可知，余弦定理证明

如图，在△ABC中，BC=a，AC=b，边BC余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两牛刀小试判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在三角形中，勾股定理是余弦定理针对直角三角形的一个特例．()(2)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及夹角的情况．()(3)已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的．()牛刀小试判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在三角形余弦定理5.在△ABC中，已知b=60cm,c=34cm,A=41°，解这个三角形（角度精确到1°，边长精确到1cm）。余弦定理5.在△ABC中，已知b=60cm,c=34cm,A余弦定理分析：由条件可求cosC，再利用余弦定理及其推论可求出B的值.余弦定理分析：由条件可求cosC，再利用余弦定理及其推论可求余弦定理1.（1）在△ABC中，已知b=12.9cm,c=15.4cm,A=42.3°，解这个三角形（角度精确到0.1°，边长精确到0.1cm）;余弦定理1.（1）在△ABC中，已知b=12.9cm,c=1余弦定理

余弦定理

余弦定理余弦定理余弦定理

余弦定理

余弦定理余弦定理余弦定理

（1）适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立.

（2）结构特征：“平方”“夹角”“余弦”.

（3）揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系.点拨余弦定理的理解余弦定理

（1）适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立.

（正弦定理证明正弦定理证明正弦定理证明对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形来说，上面的关系式均成立.因此.我们得到下面的定理.正弦定理证明对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形来说，上面正弦定理

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即正弦定理

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即证法2：已知在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c,，是否成立?初中学过锐角三角函数定义:sinA=sinB=思考：在任意三角形中，这一关系式是否成立呢？证法2：已知在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC证法2：当△ABC是锐角三角形时,设边AB上的高是CD,根据三角函数的定义,思考：当△ABC是钝角三角形时，以上等式仍然成立吗?

证法2：当△ABC是锐角三角形时,设边AB上的高是CD,根据证法2：当△ABC是钝角三角形时,以上等式仍然成立吗?过点C作CD⊥AB,过点A作AE⊥BC,DE证法2：当△ABC是钝角三角形时,以上等式仍然成立吗?过点C牛刀小试

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正弦定理不适用于直角三角形．()(2)在△ABC中必有asinA＝bsinB．()(3)在△ABC中，若a＞b，则必有sinA>sinB．()(4)在△ABC中，若sinA＝sinB，则必有A＝B.()牛刀小试

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正弦定正弦定理

正弦定理

正弦定理

分析：这是已知三角形两边及其一边的对角求解三角形的问题，可以利用正弦定理.为什么角C有两个值？正弦定理

分析：这是已知三角形两边及其一边的对角求解三角形的正弦定理

正弦定理

正弦定理

正弦定理

正弦定理

正弦定理

正弦定理正弦定理引入

距离高度角度经纬仪卷尺等不能到达余弦定理正弦定理设计方案怎么办应用工具引入

距离高度角度经纬仪卷尺等不能到达余弦定理正弦定理设应用9.如图6.4-12，A,B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A,B两点间距离的方法，并求出A,B间的距离.分析：若测量者在A,B两点的对岸取定一点C（称作测量基点），则在点C处只能测出∠ACB的大小，因而无法解决问题。为此，可以再取一点D，测出线段CD的长，以及∠ACD，∠CDB，∠BDA，这样就可借助正弦定理和余弦定理算出距离了.应用9.如图6.4-12，A,B两点都在河的对岸（不可到达）应用

在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线，如例9中的CD.为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度。一般来说，基线越长，测量的精确度越高。如图6.4-14，早在1671年，两位法国天文学家为了测量地球与月球之间的距离，利用几乎位于同一经线上的柏林（点A）与好望角（点B）为基点，测量出a,B的大小，并计算出两地之间的距离AB，进而算出了地球与月球之间的距离约为385400km.我们在地球上所能用的最长的基线是地球椭园轨道的长轴。当然，随着科学技术的发展，人们会不断发现更加先进的测量距离的方法.应用

在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线应用10.如图6.4-15，AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点.设计一种测量建筑物高度AB的方法，并求出建筑物的高度.分析：由锐角三角函数知识可知，只要获得点C（点C到地面的距离可求）到建筑物的顶部A的距离CA，并测出由点C观察A的仰角，就可以计算出建筑物的高度.为此，应再选取点D，构造另一个含有CA的△ACD，并进行相关的长度和角度的测量，然后通过解三形的方法计算出CA.在实际操作时，使H,G,B三点共线不是一件容易的事情。你有什么替代方案吗？应用10.如图6.4-15，AB是底部B不可到达的一座建筑物应用11.位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20nmile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救。甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西30°，且与甲船相距7nmile的C处的乙船。那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东多少度（精确到1°）？需要航行的距离是多少海里（精确到1nmile）？分析：首先应根据“正东方向”“南偏西30°”“目标方向线”等信息，画出示意图由于题目中没有给出图形，因此正确理解题意、画出示意图，是解决问题的重要环节应用11.位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20n应用

1.如图，一艘船向正北航行，航行速度的大小为32.2nmile/h，在A处看灯塔S在船的北偏东20°的方向上.30min后，船航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65°的方向上。已知距离此灯塔6.5nmile以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？应用

1.如图，一艘船向正北航行，航行速度的大小为32.2应用

应用

应用3.如下页图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5nmile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32°的方向航行54nmile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，那么这艘船应该沿怎样的方向航行，需要航行的距离是多少？（角度精确到0.1°，距离精确到0.01nmile）应用3.如下页图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行三角形面积公式

三角形面积公式

三角形面积公式

三角形面积公式

三角形面积公式

1.在△ABC中，若B＝30°，a＝2，c＝4，则△ABC的面积为________.

三角形面积公式

1.在△ABC中，若B＝30°，a＝2，c＝三角形面积公式

2.在△ABC中，若B＝30°，AB＝2，AC＝2，则△ABC的面积是________.三角形面积公式

2.在△ABC中，若B＝30°，AB＝2，解三角形

3.三角形的元素与解三角形（1）三角形的元素

三角形的________________和它们的________________叫做三角形的元素.

（2）解三角形已知三角形的

__________求其他_______的过程叫做解三角形.三角形A,B,C对边a,b,c几个元素元素解三角形

3.三角形的元素与解三角形（1）三角形的元素

解三角形

探究点一：已知两角及一边解三角形1.在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形．解三角形

探究点一：已知两角及一边解三角形1.在△ABC中，解三角形(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对的边，再由三角形内角和定理求出第三个角．(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．【规律方法】已知三角形的两角和任意一边解三角形的思路解三角形(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角解三角形

解三角形

解三角形解三角形解三角形

探究点二已知两边及其中一边的对角解三角形解三角形

探究点二已知两边及其中一边的对角解三角形解三角形

[互动探究]解三角形

[互动探究]解三角形【规律方法】(1)已知两边及其中一边的对角解三角形的思路①首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；②如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角；③如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．(2)已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法解三角形【规律方法】(1)已知两边及其中一边的对角解三角形的解三角形

解三角形

解三角形

解三角形

解三角形

探究点三判断三角形形状解三角形

探究点三判断三角形形状[互动探究]解三角形[