2023-2024学年河北省保定市部分高中高二（上）开学数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年河北省保定市部分高中高二（上）开学数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若z=(2−i)A.1 B.−1 C.−i 2.已知向量a=(x,2)，b=A.−4 B.4 C.−1 3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a=8，coA.32 B.62 C.4.下列说法正确的是(

)A.若一条直线与一个平面有公共点，则这条直线在该平面内

B.若平面外一条直线有两个点到该平面的距离相等，则这条直线与该平面平行

C.垂直于同一条直线的两条直线互相平行

D.垂直于同一条直线的两个平面互相平行5.若{a,b,A.a−3b，a+2b−c，5a−3b−2c

B.a−3b6.已知某圆台的上底面和下底面的面积分别为3π，12π，母线长为2，则该圆台的体积为(

)A.6π B.18π C.7π7.如图，A1B1，AB分别是圆台上、下底面的两条直径，且AB=2A1B1，AB/​/A.54AB

B.56AB8.正方体ABCD−A1B1C1D1A.1−3−2 B.1二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.在空间直角坐标系中，已知A(2,1,1)，A.点A关于xOz平面对称的点是A′(2,−1,1)

B.点10.PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.某地8月1日到10日的PM2.5日均值(单位：μg/m3)分别为36，32，38，34，32，88，42，36，30，A.众数为32 B.第80百分位数是38

C.平均数是40 D.前4天的方差比后4天的方差小11.已知甲盒中有五个相同的小球，标号为1，2，3，4，5，乙盒中有五个相同的小球，标号为3，4，5，6，7.现从甲、乙两盒中分别随机抽取1个小球，记事件A=“抽取的两个小球标号相同”，事件B=“抽取的两个小球标号之和为奇数”，事件C=“抽取的两个小球标号之和大于8A.事件A与事件B是互斥事件 B.事件A与事件B是对立事件

C.P(A∪12.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，将△BA.BD⊥PC

B.点B到直线PC的距离为定值

C.当PB与CD所成的角为60°时，二面角P−BD−C三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在△ABC中，AB=2，BC=314.在空间直角坐标系Oxyz中，A(2,5,−1)，B(115.已知空间中有三点A(9,1,2)，B(8,0,1)，C(16.已知复数z满足|z−1+i|=22，四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

如图，在底面为菱形的四棱锥E−ABCD中，BE⊥底面ABCD，F为CD的中点，且AB=BE=2，∠ABC=120°，以B18.(本小题12.0分)

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A+C=2B，2sin(A−B19.(本小题12.0分)

为了解网民对某专辑的满意度，某机构从网络上随机选取了1000名网民进行问卷调查，并将问卷中的这1000人根据其满意度评分值(百分制，满意度评分值均在[50,100]内)分成[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]5组，制成如图所示的频率分布直方图．

(120.(本小题12.0分)

如图1，在直角梯形CP1P2P3中，P1C//P2P3，P1C⊥P1P2，∠CP3P2=60°，P1C=2，A，B分别为P1P2，P221.(本小题12.0分)

投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，假设甲、乙、丙、丁是四位投壶游戏参与者，且甲、乙、丙每次投壶时，投中与不投中的机会是均等的，丁每次投壶时，投中的概率为13.甲、乙、丙、丁每人每次投壶是否投中相互独立，互不影响．

(1)若甲、乙、丙、丁每人各投壶1次，求只有一人投中的概率；

(222.(本小题12.0分)

如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，AB=BD=BB1=3，E为棱C1D

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：因为z=(2−i)(3+i)=72.【答案】D

【解析】解：因为a/​/b，所以2×3=6x，解得x3.【答案】A

【解析】解：因为cosA=13>0,A为锐角，

所以sinA=1−cos2A=223．

4.【答案】D

【解析】解：若一条直线与一个平面有公共点，则这条直线在该平面内或与该平面相交，故A错误；

若平面外一条直线有两个点到该平面的距离相等，则这条直线与该平面平行或与该平面相交，故B错误；

垂直于同一条直线的两条直线可能平行，异面或相交，故C错误；

由直线与平面垂直的性质可得，垂直于同一条直线的两个平面互相平行，故D正确．

故选：D．

根据直线与平面的位置关系判断AB；根据线线，线面垂直的位置关系判断CD．5.【答案】C

【解析】解：已知{a,b,c}构成空间的一个基底，a,b,c不共面，则a−3b，a+2b−c不共线．

选项A，若向量共面，由平面向量基本定理得，存在唯一有序数对x，y，

使5a−3b−2c=x(a−3b)+y(a+2b−c)，

则5a−3b−2c=(x+y)a+(−3x+2y)b−yc，

则由空间向量基本定理得，

x+y=5−3x+2y=−3−y=−2，方程组无解．

所以6.【答案】C

【解析】解：因为圆台的上底面和下底面的面积分别为3π，12π，

所以该圆台上底面和下底面的半径分别为3,23，

所以该圆台的高为22−(237.【答案】C

【解析】解：如图，

取C1在下底面的投影C，作CD⊥AB，垂足为D．

连接CA，CO，CC1，则∠COD=π3，AC1在AB上的投影向量是AD．

设上底面的半径为r，则OD=12r8.【答案】C

【解析】解：取BD1的中点M，连接PM，

则PB+PD1=2PM，

则|PB+PD1|=|2PM|=23，

即|PM|=3，

故动点P的轨迹为以M为球心，3为半径的球，

由正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，

可知正方体ABCD−A1B1C1D1外接球的半径为3，

即动点P的轨迹为正方体ABC9.【答案】AC【解析】解：点A(2,1,1)关于xOz平面对称的点是A′(2,−1,1)，故A正确．

点B(1,3,2)关于x轴对称的点是B′(10.【答案】AC【解析】解：这10天PM2.5日均值从小到大为30，32，32，32，34，36，36，38，42，88，

所以众数为32，故A正确；

由10×0.8=8，则第80百分位数为38+422=40，所以B错误；

因为平均数为30+32+32+32+34+36+36+38+42+8810=40，所以C正确；

因为前4天的均值为36+11.【答案】AC【解析】解：事件A的所有基本事件为甲3乙3，甲4乙4，甲5乙5，共3个；

事件B的所有基本事件为甲1乙4，甲1乙6，甲2乙3，甲2乙5，甲2乙7，甲3乙4，甲3乙6，甲4乙3，甲4乙5，甲4乙7，甲5乙4，甲5乙6，共12个；

事件C的所有基本事件为甲2乙7，甲3乙6，甲3乙7，甲4乙5，甲4乙6，甲4乙7，甲5乙4，甲5乙5，甲5乙6，甲5乙7，共10个．

从甲、乙两盒中各取1个小球共有25个基本事件．

因为事件A与事件B不可能同时发生，所以事件A与事件B互斥，故A正确；

因为P(A)=325，P(B)=1225，P(A)+P(B)≠1，所以B错误；

因为事件A⋃C的所有基本事件共有12个，所以P(A∪C)=1225，

所以12.【答案】AD【解析】解：连接AC交BD于点O，连接PO，则BD⊥AC，BD⊥PO．

因为PO⋂AC=O，且PO⊂平面POC，AC⊂平面POC，

所以BD⊥平面POC．

因为PC⊂平面POC，所以BD⊥PC，故A正确．

在△PBC中，PB=BC=2，PC为变量，所以顶点B到底边PC的距离不为定值，故B错误．

连接PA(如上图).因为CD/​/AB，所以PB与CD所成的角为∠PBA，

当∠PBA=60°时(当∠PBA=120°时，点P与点C重合，舍去)，PA=2．

易知二面角P−BD−A的平面角为∠POA．

在菱形中易得AC=3AB=23，则在△POA中，PO=OA=12AC=13.【答案】78【解析】解：因为在△ABC中，AB=2，BC=3，AC=4，14.【答案】(−【解析】解：∵A(2,5,−1)，B(1,3,1)，C(0,0,4)，D(−115.【答案】63

【解析】解：由题意可得AB=(−1,−1,−1)，CA=(4,1,1)，所以cos〈AB,CA〉=−63×316.【答案】18

【解析】解：设z=a+bi(a,b∈R)，

则|z−1+i|=22的几何意义为z在复平面内所对应的点(a,b)到(1,−1)的距离为217.【答案】解：(1)由题意，可得△BCD为正三角形，

∵AB=2，∴BF=3，

以B为坐标原点，分别以BA，BF，BE所在的直线为x、y、z轴建立的空间直角坐标系，

【解析】(1)根据△BCD为正三角形，由AB18.【答案】解：(1)因为A+C=2B，A+B+C=π，所以B=π3．

因为2sin(A−B)−sinC=0，所以2sin(A−π3)=sinC=sin(A+π【解析】(1)首先求出B，再由2sin(A−π3)=sinC=sin(A19.【答案】解：(1)由(0.005+0.025+0.040+a+0.010)×10=1，解得a=0.020．

满意度评分值的平均数x−=55×0.05+65×0.25+75×0.4+85×0.2+95×0.1=75.5．

设满意度评分值的中位数为x，由图象可知x∈[70,80)，

则(x−70)×0.04=0.2，解得x=75，

即满意度评分值的中位数为75．

(2)这1000名网民中，满意度评分值在[50,60)内的有1000×0.05=50人，

满意度评分值在[90,100]内的有1000×0.1=100人．

抽取的6人中满意度评分值在[50,60)内的有2人，记这2人分别为A，B，

满意度评分值在[90,100]内的有4人，记这【解析】(1)根据频率分布直方图的性质及求平均数和中位数的求法计算即可；

(2)根据分层抽样的定义得出两组评分值各取2人和20.【答案】证明：(1)在图1中P1C//P2P3，P1C⊥P1P2，则AP1⊥CP1，AP2⊥BP2，

所以在图2中，AP⊥CP，AP⊥BP，

因为BP∩CP=P，BP，CP⊂平面BCP，所以AP⊥平面BCP，

又BC⊂平面BCP，所以AP⊥BC；

解：(2)【解析】(1)依题意可得AP⊥CP，AP⊥BP，即可得到AP⊥平面BCP21.【答案】解：(1)根据题意，将甲、乙、丙、丁各自在一次投壶中投中分别记为事件A，B，C，D，

设只有一人投中为事件E，有P(A)=P(B)=P(C)=12,P(D)=13．

则P(【解析】(1)根据独立事件乘法公式计算即可；

(222.【答案】(1)证明：连接AC，A1C1，AD1，AC1，

在△AC1D1中，E，F分别为C1D1，AD1