高等数学考研辅导串讲(题型思路与必证定理)课件

高等数学考研辅导（题型思路与必证定理）高等数学考研辅导1一、不等式的证明思路xxx

01、如果区间上成立的不等式，一般用单调性证明.1如，当x

(0,

)时, (1+ )x

e2、已知条件中导数的阶数是二阶以上，又知道最高阶导数的符号，一般要用泰勒公式考虑.如，已知f

(x)在(0,

)内二阶可导,

且f

(x)

0，lim

f

(x)

=0.证明：f

(x)

x一、不等式的证明思路xxx01、如果区间上成立的不等式，一23、

利用最大值，最小值证明不等式.如，当x

0,

)时，e

x

(1

x)

14、

常值不等式的证明转化成函数的单调性，或函数不等式.如，比较e

，

e的大小3、利用最大值，最小值证明不等式.3二、等式的证明思路1、如果结论是不带导数的等式，一般用零点定理考虑如，F（x0）=02、已知结论中含导数：（A）是一个点的导数，如f（

x0）=0，用罗尔定理考虑（B）是二个点的导数，如f（

x0）+g（

x0）=0，用两次拉格朗日中值定理或一

次

拉

格

朗

日

中

值

定

理，一次柯西中值定理二、等式的证明思路4

2224f (c)f (c)

a

b

(b

a)2

f(a)

4(b

a)3

a

b

(b

a)

3、 如果结论是函数值与某点

的二阶导数的等式，要用泰勒公式考虑.如，结论是f

(b)

2

f

或 f

(b)

f

(a)

f

2224f (c)f (c)ab (b5

三、级数收敛的证明思路

2nn1、如果涉及的级数的部分和是两项和或差一般要用级数的部分和Sn考虑.如，

(an

1

an

)2、如果已知级数通项的性质，如

an

收敛，有界等，要证明级数收敛，一般用比较判别法的不等式形式.如，na有界

a

收敛 三、级数收敛的证明思路 2nn1、如果涉及的级数的部分6

2n n3、

如果已知级数的性质，如

an收敛等，要证明级数收敛，一般也用比较判别法，但是用不等式形式居多.如，

a 收敛

a

收敛 2n n3、如果已知级数的性质，如an收敛等，要证明7

四、需要掌握的定理证明和一些公式的推导：1.介值定理的证明2.可导与可微等价3.斜渐近线公式的推导4.一元函数取得极值的必要条件是什么？给出证明5.三个中值定理的证明 四、需要掌握的定理证明和一些公式的推导：8

6.设y

（f x）满足f（

x0）=0，f

（

x0）

0，证明x0是极值点7.设y

（f x）满足f

（

x0）=0，f

（

x0）

0，证明

x0，（f

x0）

是拐点8.利用级数收敛的定义证明正项级数的比较法9.叙述并证明正项级数收敛的比值法 6.设y （f x）满足f（ x0）=0，f（99.绝对收敛级数本身是收敛的10.若级数每一项取绝对值后的正项级数用比值法判定是发散的，证明原级数发散11.正项级数收敛的充要条件:部分和有界12.交错级数收敛的阿贝尔定理9.绝对收敛级数本身是收敛的10

14.设yoz坐标面内的曲线L的方程为F（y,

z）=0，求其绕z轴旋转一周所得到的旋转曲面的方程为F（

x2+y2,

z）=013.二阶欧拉微分方程化为常系数微分方程的推导过程 14.设yoz坐标面内的曲线L的方程为F（y,z）=011

P

Q

15.设单连通区域D内

y

，

x

连续，且满足

P

Q，证明曲线积分

y

x

L

Pdx

Qdy在D内与路径无关P Q15.设单连通区域D内y，x连续，且满足1202a aa

a 0f(x)dx

f(

x)

f(

x)

dx

=

16.设f

(

x)在

a,

a

上连续，证明f

(

x)dx，若f

(

x)是偶函数0 ， 若f

(

x)是偶函数02a aaa 0f(x)dxf(x)13a+T

Ta02-

T2f(x)dx

=f(x)dx

= f(x)dx

17.设f(x)是以T为周期的连续函数，T证明对"a,a2

xf(

x)dx

18.设D是由y=f

(

x)(

f

0),

x

a,

b

和x

a,

x

b,

y

0所围成，用微元法证明D绕y轴旋转所得的旋转体的b体积是:a+T Ta02f(x)dx=f(x)dx= f(x)d14nncos xdxn!

20

20n!

sin xdx

n

1

!!

19.证明：（1）I=，

n为奇数（2）I=

，

n为奇数bbb22aaaf (x)dx

2

f(x)g(x)dx

g (x)dx

n

1

!!

220. f,

g连续，则nncos xdxn!n! sin xdx 150xF

(

x)

21.f

(

x)

C

a，

a

，则

x

a，

a

,有f

(t

)dt

奇函数,

偶函数，f

(

x)为偶函数f

(

x)为奇函数

babbaa

22.若（f x）在

a，b

上连续，（g x）在

a，b

上可积且不变号则（1）

a（f x）dx

（f

）(b

a

)（2）

a，b

，使得，b

，使得（f x）（g x）dx

（f

） （g x）dx0xF(x)21.f(x)Ca，16

23.多元函