矩阵位移法课件

结构力学

第8章矩阵位移法

Matrixdisplacementmethod1内容§8-1概述§8-2矩阵位移法的基本原理§8-3单元刚度矩阵§8-4直接刚度法§8-5先处理法§8-6等效结点荷载2应用矩阵理论以计算机为工具（力学原理与方法）（结构矩阵分析方法）§8-1概述结构矩阵分析方法是利用计算机进行结构力学计算的方法。

结构分析问题趋向大型化、复杂化——提出要求计算机技术发展突飞猛进——提供可能力法位移法矩阵力法矩阵位移法结构分析技术手段：手算技术要求：计算尽可能简化结构分析技术手段：电算技术要求：结果尽可能精确1940s~1950s计算机的发明3结构矩阵分析的力学理论基础

力法

位移法（考虑杆件轴向变形）未知量数量

较难判定（多余约束力数量）极容易判定（节点位移数量）基本结构形式多样（不唯一）

确定的（唯一）基本结构内力需求解静定结构套用公式适用范围

超静定结构超静定结构和静定结构

选择何种理论基础易于电算？目的：有利于分析途径系统化，步骤规格化。易于编程。结论：选择位移法4矩阵位移法与有限元法（FEM）的关系有限元分析方法最早是从结构化矩阵分析发展而来，逐步推广到板、壳和实体等连续体固体力学分析，实践证明这是一种非常有效的数值分析方法。矩阵位移法可视为有限单元法在杆系结构中的应用特例。

有限元法的发展和应用有限元方法已发展到流体力学、温度场、电传导、磁场、渗流和声场等问题的求解计算，最近又发展到求解几个交叉学科的问题（多物理场问题）。

例如：当气流流过一个很高的铁塔产生变形，而塔的变形又反过来影响到气流的流动……这就需要用固体力学和流体动力学的有限元分析结果交叉迭代求解，即所谓"流固耦合"的问题。5在大力推广CAD技术的今天，从自行车到航天飞机，所有的设计制造都离不开有限元分析计算，FEA在工程设计和分析中将得到越来越广泛的重视。国际上早在20世纪50年代末、60年代初就投入大量的人力和物力开发具有强大功能的有限元分析程序。其中最为著名的是由美国国家宇航局（NASA）在1965年委托美国计算科学公司和贝尔航空系统公司开发的NASTRAN有限元分析系统。该系统发展至今已有几十个版本，是目前世界上规模最大、功能最强的有限元分析系统。目前，世界各地的研究机构和大学发展了一批规模较小但使用灵活、价格较低的专用或通用有限元分析软件，主要有德国的ASKA、英国的PAFEC、法国的SYSTUS、美国的ABQUS、ADINA、ANSYS、BERSAFE、BOSOR、COSMOS、ELAS、MARC和STARDYNE等公司的产品。6有限元分析技术的发展现状由求解线性工程问题进展到分析非线性问题

线性理论已经远远不能满足设计的要求。例如：结构工程中的弹塑性分析（物理非线性）；索膜结构（几何非线性）。非线性的数值计算是很复杂的，很难为一般工程技术人员所掌握。为此近年来国外一些公司花费了大量的人力和投资开发诸如MARC、ABQUS和ADINA等专长于求解非线性问题的有限元分析软件，并广泛应用于工程实践。增强可视化的前置建模和后置数据处理功能随着数值分析方法的逐步完善，尤其是计算机运算速度的飞速发展，整个计算系统用于求解运算的时间越来越少，而数据准备和运算结果的表现问题却日益突出。在现在的工程工作站上，求解一个包含10万个方程的有限元模型只需要用几十分钟。工程师在分析计算一个工程问题时有80%以上的精力都花在数据准备和结果分析上。7增强可视化的前置建模和后置数据处理功能目前几乎所有的商业化有限元程序系统都有功能很强的前置建模和后置数据处理模块。使用户能以可视图形方式直观快速地进行网格自动划分，生成有限元分析所需数据，并按要求将大量的计算结果整理成变形图、等值分布云图，便于极值搜索和所需数据的列表输出。与CAD软件的无缝集成当今有限元分析系统的另一个特点是与通用CAD软件的集成使用，即：在用CAD软件完成部件和零件的造型设计后，自动生成有限元网格并进行计算，如果分析的结果不符合设计要求则重新进行造型和计算，直到满意为止，从而极大地提高了设计水平和效率。当今所有的商业化有限元系统商都开发了和著名的CAD软件的接口（例如Pro/ENGINEER、Unigraphics、SolidEdge、SolidWorks、IDEAS、Bentley和AutoCAD等）。8有限元分析技术的应用实例沉井的有限元分析模型9同济大学土木工程学院结构力学之矩阵位移法半导体芯片温度场的数值仿真同济大学土木工程学院结构力学之矩阵位移法10水轮机叶轮的受力分析模拟－应力云图11三林商业城地下施工对相邻建筑物的影响有限元模型开挖状态变形图位移云图结构内力图邻房位移随施工进程变化图12第一步：离散化，单元分析§8-2矩阵位移法的基本原理矩阵位移法的解题思路一般原理：同位移法第二步：按平衡条件组合，整体分析与位移法不同之处：一般计入所有杆件的轴向变形。基本结构（单元）进一步归于一类杆件——两端固定杆。所有过程均采用矩阵的形式表述。进一步规格化单跨超静定杆件（单元）的组合体结构

相当于位移法中第1步（判别基本未知量，做基本结构）和第3步（求位移法方程的系数项和自由项）

相当于位移法中第2步（建立位移法方程）和第4步（解方程求节点位移）13结构标识坐标系的设定（为了表示力和位移的方向）整体坐标系（结构坐标系）：一般采用右手系，记为Oxy。（图中黄色）结点编号构造结点：杆件交汇点、刚度变化点、支承点。（图中1、2、3、4）非构造结点：荷载作用点。（化集中荷载为结点荷载）构造结点必须作为结点；非构造结点可以不作为结点。单元编号单元：两结点之间的等截面直杆段。yx右手系1342结构的离散化①②③局部坐标系（单元坐标系）：一般也采用右手系，记为。原点设在单元的一个杆端i，轴与杆轴重合。（图中橙色）14变截面和曲杆杆件的离散化处理方式15矩阵位移法的基本方程单元刚度方程（相当于位移法中的转角位移方程）单元杆端力向量单元杆端位移向量单元刚度矩阵结构总的结点力向量结构总的结点位移向量原始总刚度矩阵（由单刚形成）原始总刚度方程（结构全部结点的平衡方程）位移边界条件（已知支座位移）结构刚度方程结构已知结点力向量（荷载）结构未知结点位移向量结构刚度矩阵（相当于位移法方程）16原始总刚度方程无法直接求解。因为原始总刚度方程表示结构全部结点的平衡方程，结构的结点分为两大类：有约束的支座结点（如图示结构的1、2结点）和无约束的内部结点（如图示结构的3结点）；前类结点已知结点位移而未知结点力（支座反力），后类结点已知结点力而未知结点位移。要求支座反力必须先求后类结点的结点位移，故，原始总刚度方程必须考虑边界位移条件修正为结构刚度方程后才能求解。根据支座位移边界条件的处理方式不同，矩阵位移法可分为先处理法和后处理法。矩阵位移法基本方程与有限元法基本方程的比较

矩阵位移法基本方程有限元法基本方程

单元刚度方程

物理方程（材料本构方程）原始总刚度方程平衡方程边界位移条件几何方程

I,AI,APM123矩阵位移法的后处理法与先处理法17同济大学土木工程学院结构力学之矩阵位移法同济大学土木工程学院结构力学之矩阵位移法后处理法（又称直接刚度法）结构的支座位移边界是在总刚度方程形成后引入的，即先形成原始总刚度方程，再考虑支座位移边界对总刚度方程修正形成结构刚度方程。单元分析不考虑任何位移约束，故，单元均为自由式单元（无杆端约束），单元统一。先处理法在形成单元刚度矩阵时就将实际的位移边界条件和位移关系考虑进去，即在总刚度方程形成之前考虑支座位移边界条件。单元为有约束单元，每个单元所受到的位移约束条件不完全相同，故，单元不统一。由单刚形成的总刚度方程就是结构刚度方程。后处理法单元统一，更适用于编程、电算；先处理法单元不统一，适用于手算。18矩阵位移法进行结构分析的步骤后处理法（直接刚度法）的分析步骤结构离散并进行结构标识。计算各单元的刚度矩阵。形成原始总刚度矩阵和原始总刚度方程。引入位移边界条件，形成结构刚度矩阵和刚度方程。求解结构刚度方程，得未知的结点位移。计算各单元杆端力和支座反力。单元分析结构整体分析先处理法的分析步骤结构离散并进行结构标识。计算各单元的刚度矩阵。形成结构刚度矩阵和刚度方程。求解结构刚度方程，得未知的结点位移。计算各单元杆端力和支座反力。单元分析结构整体分析19单元刚度矩阵：单元杆端力与杆端位移之间的关系矩阵。杆端力和杆端位移的表示方法正负号规定：无论是在单元坐标系还是在结构坐标系中，均规定力和位移分量与坐标方向一致为正。单元坐标系中杆端力向量杆端位移向量“－”表示单元坐标系中的物理量。§8-3单元刚度矩阵

Elementstiffnessmatrix几个基本概念杆端力向量杆端位移向量单元刚度矩阵20结构坐标系中杆端力向量杆端位移向量

单元坐标系和结构坐标系中，杆端力和杆端位移向量同一分量所表示的物理含义不同。故，单元坐标系和结构坐标系中的单刚不同。21单刚矩阵杆端位移向量单刚导出方法静力法——虚功原理能量法桁架单元的刚度矩阵

由材料力学表示为矩阵形式杆端力向量适用于复杂单元。（参见：朱伯芳，有限单元法原理与应用，中国水利水电出版社周竞欧，结构力学，同济大学出版社）由静力平衡条件建立杆端力与杆端位移之间的关系，从而写出单刚矩阵。适用于简单单元。（本课程采用该方法）22坐标变换上述单刚方程是在单元坐标系下建立的，单元按结点平衡拼装成结构之前，由于结构中单元的方位一般不全相同，因此，应将杆端位移和杆端力都转换成统一的、对整体坐标的量，这是同一矢量在不同坐标系中的变换问题，简称为坐标变换。坐标变换矩阵单元系与结构系的关系：结构系轴沿逆时针转至单元系轴所转过的角度记为。单元系下的杆端力结构系下的杆端力表示为矩阵形式23坐标变换矩阵T简写为同理，

是正交矩阵（Orthogonalmatrix），单元刚度矩阵坐标变换（单元系单刚方程）

左乘，并注意，得结构系单刚方程24

结构系单刚矩阵

其中，25同济大学土木工程学院结构力学之矩阵位移法刚架单元的刚度矩阵梁单元的刚度矩阵无结间荷载梁单元的转角位移方程为考虑到杆端力和杆端位移正负号规定的差异，有所以，无结间荷载梁单元的转角位移方程可改写为同济大学土木工程学院结构力学之矩阵位移法26梁单元刚度矩阵表示成矩阵形式27刚架单元刚度矩阵刚架单元的刚度矩阵

刚架单元考虑轴向变形，有

其它杆端力与杆端位移的关系同梁单元，所以刚架单元的单刚方程为28轴向变形与弯、剪变形非耦合，即轴力不影响弯、剪，弯、剪不影响轴力。所以，其它单刚元素为零。桁架单元单刚方程

刚架单元的单刚矩阵由桁架单元的单刚和梁单元的单刚组合而成。梁单元单刚方程理论依据？292.θ方向1.x，y向变换关系与桁架单元－无任何区别。结构坐标系中刚架单元的刚度矩阵

根据单元坐标系中的单刚，通过坐标变换计算。首先确定坐标变换矩阵。与桁架单元相比，坐标变换矩阵有何变化？有无区别？－不需要变换，因为单元坐标系与结构坐标系一致。是否需要变换？为什么？

所以，坐标变换矩阵为30

按计算结构坐标系中刚架单元的单刚矩阵为

其中，31k35单元刚度矩阵元素的物理含义单刚元素kmn的物理含义：

以刚架单元单刚元素k35为例说明。单元第n项杆端位移为1而其它杆端位移均保持为零时，第m项杆端力的大小。单元刚度方程——单元j端发生vj=1而其它杆端位移均为零时，i端的杆端弯矩大小。32单元坐标系和结构坐标系中单刚元素物理含义的区别以刚架单元单刚元素k25和k25为例说明。

k25表示单元坐标系中，单元只发生第5号单位杆端位移（j端沿y轴正向移动1）时，第2号杆端力（i端沿y轴方向的杆端力—剪力）大小。

k25表示结构坐标系中，单元只发生第5号单位杆端位移（j端沿y轴正向移动1）时，第2号杆端力（i端沿y轴方向的杆端力—剪力）大小。局部坐标与整体坐标呈90º夹角时，局部单刚和整体单刚间有何关系？同济大学土木工程学院结构力学之矩阵位移法ij1ij1哪个元素？同济大学土木工程学院结构力学之矩阵位移法33

当局部坐标与整体坐标成90º时，可不进行坐标变换计算，利用刚度矩阵元素的物理含义，由局部单刚直接形成整体单刚。例：图示刚架单元局部坐标系与整体坐标系成90º夹角，试根据局部系的单刚写出整体系的单刚。局部坐标系与整体坐标系杆端力（位移）的对应关系如下：

34单刚矩阵的性质固有性单刚矩阵仅与单元本身的性质有关，与外荷载无关。对称性

主系数或恒正；副系数或可正，可负，可零。奇异性矩阵行列式的值为零。（不可逆）同济大学土木工程学院结构力学之矩阵位移法(反力互等）why？自由式单元，无约束条件。后果：已知杆端位移，可求杆端力；已知杆端力，无法求杆端位移。（无约束条件可发生刚体位移）同济大学土木工程学院结构力学之矩阵位移法35称为单元杆端位移的结点子向量；单刚矩阵的分块形式及其对应的单刚方程目的为了建立结构总刚矩阵和表述的方便，单刚矩阵经常分块表示。分块原则通常按结点i和j进行分块。分块形式的单刚方程

同济大学土木工程学院结构力学之矩阵位移法

展开后

其中，称为单元杆端力的结点子向量；称为单刚矩阵的子块。对应于i结点对应于j结点同济大学土木工程学院结构力学之矩阵位移法36单刚矩阵子块keij的物理含义单元j杆端发生各单位位移时，i杆端的各杆端力。根据单刚矩阵的对称性，单刚矩阵子块有

转置本节小结两种单元：平面桁架单元、平面刚架单元对于平面刚架，矩阵位移法取两端固端梁作为基本结构，即所有杆端位移均作为基本未知量（包括静定杆件），与位移法相比，基本结构统一成一种。分析过程规格化，易于编程。要求两种单元在单元坐标系中的单刚矩阵。单刚矩阵元素及子块的物理含义。坐标变换。单刚矩阵的性质。

37结点位移向量有n个结点结构的总刚度矩阵按结点分块形式§8-4直接刚度法结构总刚度矩阵的形成总刚度矩阵结点荷载向量

为第i个结点的位移子向量；为第i个结点的结点力子向量；为结构总刚度矩阵的子矩阵。Kij的

物理含义？Kij的物理含义：结构第j号结点发生各单位位移，而其余结点位移均为零时，第i号结点上的各结点力。38结构总刚度矩阵的形成根据总刚矩阵子块的物理含义可知，总刚矩阵子块由结构坐标系下相关单元的单刚矩阵子块叠加形成。

例：左图所示结构总刚矩阵子块K22由结构坐标系下①单元的单刚矩阵子块K22

①和②单元的单刚矩阵子块K

22②叠加形成。即：K22＝K22

①＋K22②——可由2结点力的平衡条件证明（略）。由单刚矩阵形成结构总刚度矩阵的原则对号入座，同号相加。“号”是指矩阵元素的下标。

39结点号i<j同济大学土木工程学院结构力学之矩阵位移法结构总刚度矩阵单元刚度矩阵整体结点码同济大学土木工程学院结构力学之矩阵位移法40结点号i>j结构总刚度矩阵单元刚度矩阵整体结点码41例：图示平面刚架，结构离散化如图。各单元在结构坐标系下的单元刚度矩阵为形成结构总刚度矩阵为(1)“同号相加”什么情况下会出现？(2)除了主子块外，副子块是否会出现“同号相加”的情况？(3)什么情况下子块为零子块？42例：图示平面刚架，结构离散化如图。单元刚度矩阵为形成结构总刚度矩阵为Q:“同号相加”什么情况下会出现？A:

当某结点i有多个单元相连时，总刚矩阵的主子块Kii由所有相连单元的对应子块Kii(e)相加而成。Q:什么情况下子块为零子块？A:当两个不同结点无单元直接相连时，对应的副子块为零子块。Q:除了主子块外，副子块是否会出现“同号相加”的情况？A:

只有当两个不同结点由多根单元相连时，对应的副子块才会出现“同号相加”的情况。43思考题1：已知变刚度梁的结点位移编号如图所示，问结构刚度矩阵的元素k11和k12各为多少？44思考题2：思考题3：45边界条件的处理＝？结构原始总刚度矩阵的阶数＝（结点总数）×（一个结点的位移分量数）由于直接刚度法各单元均采用自由式单元，其集合而成的结构无任何约束，故由单刚集成的原始总刚度矩阵是奇异的，结构的原始总刚度方程不能求解，必须将已知的位移边界条件引入，这就是边界条件处理。常用的边界条件处理有以下三种方法。划行划列法主元置大数法主元置1法

划行划列法

结构总结点位移向量可分成如下两个子块：

—已知结点位移(如右图所示结构的1、4结点位移)—未知结点位移(如右图所示结构的2、3结点位移)

结构总结点力向量可对应地分成如下两个子块：

—未知结点力(如右图所示结构的1、4结点支座反力)—已知结点力(