向量组的线性相关性分析课件

§2

向量组的线性相关性§2向量组的线性相关性称为向量组A的一个线性组合．线性组合：给定向量组A：对于任何一组实数表达式线性表示：给定向量组A：和向量，如果存在一组实数l1,l2,…,ln

，使得则称向量是向量组A的线性组合，这时称向量能由向量组A线性表示．回顾称为向量组A的一个线性组合．线性组合：给定向量组A：向量能由向量组

A线性表示线性方程组Ax=有解P.110定理4.1的结论：由于零向量可由向量组A线性表示：0n元齐次线性方程组Ax=0有非零解

n元齐次线性方程组Ax=0只有零解

向量能由线性方程组P.110定理4.向量组的线性相关性定义：给定向量组A：，如果存在不全为零的实数k1,k2,…,kn

，使得（零向量）则称向量组A是线性相关的，否则称它是线性无关的．当且仅当k1=k2=…=kn=0

时，才有线性无关：向量组的线性相关性定义：给定向量组A：向量组线性相关性的判定定理m维向量组A：线性相关存在不全为零的实数k1,k2,…,kn

，使得

（零向量）

n元齐次线性方程组

Ax=0有非零解．矩阵A=的秩小于向量的个数n．即：r(A)<n向量组线性相关性的判定定理m维向量组A：向量组线性无关性的判定定理m维向量组A：线性无关n元齐次线性方程组

Ax=0只有零解．矩阵A=的秩等于向量的个数n．即：r(A)=n如果（零向量），则必有k1=k2=…=kn=0．向量组线性无关性的判定定理m维向量组A：推论已知m维向量组A：,矩阵(1)若向量的维数少于向量的个数，即m<n，则

向量组A线性相关(2)若向量的维数等于向量的个数，即m=n，则

n维向量组A线性相关n维向量组A线性无关特别地，n+1个n维向量一定线性相关．推论已知m维向量组A：例1、已知向量组向量组线性相关例1、已知向量组向量组例2、已知向量组向量组线性无关例2、已知向量组向量组一些特殊向量组的线性相关性1、单个向量的向量组(1)若其次线性方程组有非零解k=1

单个零向量线性相关(2)若其次线性方程组仅有零解k=0

单个非零向量线性无关2、两个向量的向量组(1)若线性相关，则存在不全为零的数使得不妨令，可得：

对应分量成比例的两个向量线性相关一些特殊向量组的线性相关性1、单个向量的向量组(1)若(2)若对应分量不成比例，则齐次线性方程组不可能有非零解，否则，假设

可得：(成比例，矛盾)

3、含有零向量的向量组已知向量组A:，若向量齐次线性方程组有非零解含有零向量的向量组线性相关对应分量不成比例的两个向量线性无关(2)若对应分量不成比例，则齐次线性由于齐次线性方程组即仅有零解n维基本单位向量组线性无关4、n维基本单位向量组由于齐次线性方程组即仅有零解n维基本单位向量组线性无关4、n向量组线性相关性的性质性质1、

仅有零解k1=k2=…=kn=0．

维向量组，则向量组线性无关低维线性无关高维线性无关向量组线性相关性的性质性质1、

仅有零解k1=k2=例3：例3：性质2、考虑向量组，如果部分组线性相关，则齐次线性方程组有非零解因而，齐次线性方程组也有非零解所以向量组也线性相关部分相关整体相关，整体无关部分无关性质2、考虑向量组例4、分析：例4、分析：性质3、已知向量组，若其中至少有一个向量能表示成其余向量

的线性组合，不妨假设则其次线性方程组有非零解向量组线性相关

反之，若向量组线性相关，则齐次线性方程组有非零解即性质3、已知向量组因为不全为零，不妨假设，则有即：至少有一个向量能表示成其余向量的线性组合向量组线性相关等价于其中至少有一个向量能表示成其余向量的线性组合因为性质4、已知向量组线性相关，且部分组

线性无关，则向量一定能由部分组线性表示分析：向量组线性相关(不全为零）又因为向量组线性无关所以：否则向量组线性相关性质4、已知向量组例5、已知向量组线性无关，证明向量组也线性无关证明