中考数学复习满分突破（全国通用）：专题13 一次函数（解析版）

专题13一次函数【考查题型】【知识要点】知识点一变量与函数变量：在一个变化过程中数值发生变化的量。常量：在一个变化过程中数值始终不变的量。【注意】1）变量可变，而常量不变。2）常量和变量的区分：在某个变化过程中该量的值是否发生变化。函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。【函数概念的解读】1）有两个变量。 2）一个变量的数值随另一个变量的数值变化而变化。3）对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应。函数定义域：一般的，一个函数的自变量x允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。确定函数定义域的方法：1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；3）关系式含有二次根式时，被开方数大于等于零；4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；5）实际问题中函数定义域要和实际情况相符合，使之有意义。函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值。函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。函数的取值范围：使函数有意义的自变量的全体取值，叫做自变量的取值范围。函数图像上点的坐标与解析式之间的关系：1）将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在。2）两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解。函数的三种表示法及其优缺点解析法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法。优点缺点解析法准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系求对应值是要经过比较复杂的计算，而且实际问题中有的函数值不一定能用解析式表示列表法自变量和与它对应的函数值数据一目了然所列对应数值个数有限，不容易看出自变量与函数值的对应关系，有局限性图像法形象的把自变量和函数值的关系表示出来图像中只能得到近似的数量关系知识点二一次函数的图形与性质正比例函数定义：一般地，形如y=kx（k为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，k叫做比例系数。【扩展】正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）必过点（0,0）、（1，k）。一次函数定义：如果y=kx+b（k，b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数，k叫比例系数。当b=0时，一次函数y=kx+b变为y=kx，正比例函数是一种特殊的一次函数。【扩展】1）一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）必过点（0，b）、（-，0）。2）直线l1与坐标原点构成的三角形面积为s=QUOTE。画一次函数图象：1）画一次函数的图象，只需过图象上两点作直线即可，一般取(0，b)，(，0)两点；2）当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例，一般取（0,0）、（1，k）两点。【正比例函数与一次函数的性质（重难点、考点）】一、图像特征b>0b<0b=0k>0经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限图象从左到右上升，y随x的增大而增大k<0经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限图象从左到右下降，y随x的增大而减小【小结】1）正比例函数的性质：一般地，正比例函数y=kx(k≠0)有下列性质：（1）当k>0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；（2）当k<0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小。2）一次函数的性质：一般地，一次函数y=kx+b(k≠0，b≠0)有下列性质：（1）k>0，b>0时，图象经过一、二、三象限，y随x的增大而增大；（2）k>0，b<0时，图象经过一、三、四象限，y随x的增大而增大；（3）k<0，b>0时，图象经过一、二、四象限，y随x的增大而减小；（4）k<0，b<0时，图象经过二、三、四象限，y随x的增大而减小。二、位置特征（直线y1=kx＋b与y2=kx图象的位置关系）对于正比例函数：1）当b>0时，将y2=kx图象向x轴上方平移b个单位，就得到y1=kx＋b图象。2）当b<0时，将y2=kx图象向x轴下方平移－b个单位，就得到y2=kx＋b图象。对于一次函数（规则：上加下减，左加右减）：1）上下平移：①将直线y=kx+b向上平移n个单位长度：得到直线y=kx+b+n；②将直线y=kx+b向下平移n个单位长度：得到直线y=kx+b-n；2）左右平移：①将直线y=kx+b向右平移n个单位长度：得到直线y=k(x-n)+b；②将直线y=kx+b向左平移n个单位长度：得到直线y=k(x+n)+b；三、k，b符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系：由于一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）必过点（0，b）、（-，0），则：1）当QUOTE,则k，b异号，直线与x轴交与正半轴。2）当QUOTE,则b=0，直线过原点。3）当QUOTE,则k，b同号，直线与x轴交与负半轴。四、两个一次函数表达式（直线l1：y1=k1x＋b1与l2：y2=k2x＋b2）的位置关系：1）k相同，b也相同时，两一次函数图像重合；2）k相同，b不相同时，两一次函数图像平行，即：；3）k不相同，b不相同时，两一次函数图像相交；4）k不相同，b相同时，两一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）。5）两直线垂直。考查题型一正比例函数的性质题型1（2022·广西梧州·中考真题）在平面直角坐标系中，请写出直线y=2x上的一个点的坐标________．【答案】（0，0）（答案不唯一）【提示】根据正比例函数一定经过原点进行求解即可．【详解】解：当x=0时，y=0，∴直线y=2x上的一个点的坐标为（0，0），故答案为：（0，0）（答案不唯一）．【名师点拨】本题主要考查了正比例函数图象的性质，熟知其性质是解题的关键．题型1-1．（2021·四川成都·中考真题）在正比例函数y=kx中，y的值随着x值的增大而增大，则点P3,k【答案】一【提示】先根据正比例函数y=kx中，函数y的值随x值的增大而增大判断出k的符号，求出k的取值范围即可判断出P点所在象限．【详解】解：∵正比例函数y=kx中，函数y的值随x值的增大而增大，∴k＞0，∴点P3,k故答案为：一．【名师点拨】本题考查的是一次函数图象与系数的关系，正比例函数的性质，根据题意判断出k的符号是解答此题的关键．考查题型二识别正比例函数或一次函数题型2（2022·宁夏·中考真题）在显示汽车油箱内油量的装置模拟示意图中，电压U一定时，油箱中浮子随油面下降而落下，带动滑杆使滑动变阻器滑片向上移动，从而改变电路中的电流，电流表的示数对应油量体积，把电流表刻度改为相应油量体积数，由此知道油箱里剩余油量．在不考虑其他因素的条件下，油箱中油的体积V与电路中总电阻R总（R总=R+R0）是反比例关系，电流A．反比例函数 B．正比例函数 C．二次函数 D．以上答案都不对【答案】B【提示】由油箱中油的体积V与电路中总电阻R总是反比例关系，电流I与R总是反比例关系，可得V=k【详解】由油箱中油的体积V与电路中总电阻R总是反比例关系，设V⋅R总由电流I与R总是反比例关系，设I•R总=k∴V∴V=kk'I（∴I与V的函数关系是正比例函数，故选：B．【名师点拨】本题考查反比例函数与正比例函数的应用，解题的关键是掌握反比例函数与正比例函数的概念．题型2-1．（2022·山东济南·中考真题）某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为40m．如图所示，设矩形一边长为xm，另一边长为ym，当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是（

）A．正比例函数关系 B．一次函数关系C．反比例函数关系 D．二次函数关系【答案】B【提示】根据矩形周长找出关于x和y的等量关系即可解答．【详解】解：根据题意得：2x+y=40，∴y=−2x+40，∴y与x满足的函数关系是一次函数；故选：B．【名师点拨】本题通过矩形的周长考查一次函数的定义，解题的关键是理清实际问题中的等量关系准确地列式．考查题型三一次函数的图象题型3．（2022·湖南株洲·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数y=5x+1的图象与y轴的交点的坐标为（

）A．0,−1 B．−15,0 C．1【答案】D【提示】令x=0，求出函数值，即可求解．【详解】解：令x=0，y=1，∴一次函数y=5x+1的图象与y轴的交点的坐标为0,1．故选：D【名师点拨】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．题型3-1．（2022·四川德阳·中考真题）一次函数y=ax+1与反比例函数y=−ax在同一坐标系中的大致图象是（A．B．C．D．【答案】B【提示】A选项可以根据一次函数与y轴交点判断，其他选项根据图象判断a的符号，看一次函数和反比例函数判断出a的符号是否一致；【详解】一次函数与y轴交点为（0，1），A选项中一次函数与y轴交于负半轴，故错误；B选项中，根据一次函数y随x增大而减小可判断a<0，反比例函数过一、三象限，则-a>0，即a<0，两者一致，故B选项正确；C选项中，根据一次函数y随x增大而增大可判断a>0，反比例函数过一、三象限，则-a>0，即a<0，两者矛盾，故C选项错误；D选项中，根据一次函数y随x增大而减小可判断a<0，反比例函数过二、四象限，则-a<0，即a>0，两者矛盾，故D选项错误；故选：B．【名师点拨】本题考查了一次函数、反比例函数图象共存问题，解决此类题目要熟练掌握一次函数、反比例函数图象与系数的关系．题型3-2．（2022·辽宁沈阳·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数y=−x+1的图象是（

）A．B．C．D．【答案】C【提示】根据一次函数的图象与性质即可得．【详解】解：一次函数y=−x+1的一次项系数为−1<0，常数项为1>0，∴函数图象经过一、二、四象限故选：C．【名师点拨】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．题型3-3．（2022·贵州六盘水·中考真题）如图是一次函数y=kx+b的图象，下列说法正确的是（

）A．y随x增大而增大 B．图象经过第三象限 C．当x≥0时，y≤b D．当x<0时，y<0【答案】C【提示】根据一次函数的图象与性质逐项判断即可得．【详解】解：A、y随x增大而减小，则此项错误，不符合题意；B、图象不经过第三象限，则此项错误，不符合题意；C、函数图象与y轴的交点的纵坐标为b，所以当x≥0时，y≤b，则此项正确，符合题意；D、当x<0时，y>0，则此项错误，不符合题意；故选：C．【名师点拨】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．题型3-4．（2022·浙江绍兴·中考真题）已知(x1，y1)，A．若x1x2>0，则y1C．若x2x3>0，则y1【答案】D【提示】根据一次函数的性质和各个选项中的条件，可以判断是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：∵直线y=−2x+3∴y随x增大而减小，当y=0时，x=1.5∵(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)为直线y=−2x+3上的三个点，且x1<x2<x3∴若x1x2>0，则x1，x2同号，但不能确定y1y3的正负，故选项A不符合题意；若x1x3<0，则x1，x3异号，但不能确定y1y2的正负，故选项B不符合题意；若x2x3>0，则x2，x3同号，但不能确定y1y3的正负，故选项C不符合题意；若x2x3<0，则x2，x3异号，则x1，x2同时为负，故y1，y2同时为正，故y1y2>0，故选项D符合题意．故选：D．【名师点拨】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．题型3-5．（2022·辽宁·本溪市教师进修学院中考真题）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y=k1x+b1与y=k2A．k1⋅k2<0 B．k1【答案】D【提示】先根据两条直线的图象得到k1>0，b1>0，【详解】解：∵一次函数y=k1x+b1与y=∴k1>0，b1>0，∴k1⋅k2>0，k故A，B，C项均错误，D项正确．故选：D．【名师点拨】本题主要考查了一次函数图象与k和b符号的关系，掌握当直线与y轴交于正半轴上时，b＞0；当直线与y轴交于负半轴时，题型3-6．（2022·湖南娄底·中考真题）将直线y=2x+1向上平移2个单位，相当于（

）A．向左平移2个单位 B．向左平移1个单位C．向右平移2个单位 D．向右平移1个单位【答案】B【提示】函数图象的平移规律：左加右减，上加下减，根据规律逐一提示即可得到答案．【详解】解：将直线y=2x+1向上平移2个单位，可得函数解析式为：y=2x+3,直线y=2x+1向左平移2个单位，可得y=2(x+2)+1=2x+5,故A不符合题意；直线y=2x+1向左平移1个单位，可得y=2(x+1)+1=2x+3,故B符合题意；直线y=2x+1向右平移2个单位，可得y=2(x−2)+1=2x−3,故C不符合题意；直线y=2x+1向右平移1个单位，可得y=2(x−1)+1=2x−1,故D不符合题意；故选B【名师点拨】本题考查的是一次函数图象的平移，掌握一次函数图象的平移规律是解本题的关键．题型3-7．（2022·山东威海·中考真题）如图，在方格纸中，点P，Q，M的坐标分别记为（0，2），（3，0），（1，4）．若MN∥PQ，则点N的坐标可能是(

)A．（2，3） B．（3，3） C．（4，2） D．（5，1）【答案】C【提示】根据P，Q的坐标求得直线解析式，进而求得过点M的解析式，即可求解．【详解】解：∵P，Q的坐标分别为（0，2），（3，0），设直线PQ的解析式为y=kx+b，则b=23k+b=0解得k=−2∴直线PQ的解析式为y=−2∵MN∥PQ，设MN的解析式为y=−23x+t则4=−2解得t=14∴MN的解析式为y=−2当x=2时，y=10当x=3时，y=8当x=4时，y=2，当x=5时，y=4故选C【名师点拨】本题考查了求一次函数解析式，一次函数平移问题，掌握以上知识是解题的关键．题型3-8．（2022·天津·中考真题）若一次函数y=x+b（b是常数）的图象经过第一、二、三象限，则b的值可以是___________（写出一个即可）．【答案】1（答案不唯一，满足b>0即可）【提示】根据一次函数经过第一、二、三象限，可得b>0，进而即可求解．【详解】解：∵一次函数y=x+b（b是常数）的图象经过第一、二、三象限，∴b>0故答案为：1答案不唯一，满足b>0即可）【名师点拨】本题考查了已知一次函数经过的象限求参数的值，掌握一次函数图象的性质是解题的关键．题型3-9．（2022·江苏无锡·中考真题）请写出一个函数的表达式，使其图像分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴相交：________．【答案】y=x+5【提示】结合题意，根据一次函数图像的性质提示，即可得到答案．【详解】函数y=x+5的图像如下，函数分别于x轴相交于点B、和y轴相交于点A，当x=0时，y=5，即A0,5当y=0时，x=−5，即B−5,0∴函数图像分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴相交故答案为：y=x+5．【名师点拨】本题考查了一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数图像的性质，从而完成求解．题型3-10．（2022·湖南永州·中考真题）已知一次函数y=x+1的图象经过点m,2，则m=______．【答案】1【提示】把点（m，2）代入一次函数y=x+1，列出关于m的一元一次方程，解之即可得m的值．【详解】解：∵一次函数y=x+1的图象经过点（m，2）∴把点（m，2）代入一次函数，得m+1=2解得：m=1故答案为：1．【名师点拨】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式．根据一次函数图像上点的特征得出关于m的一元一次方程是解题的关键．考查题型四一次函数的性质题型4．（2022·贵州遵义·中考真题）若一次函数y=k+3x−1的函数值y随x的增大而减小，则k值可能是（A．2 B．32 C．−12【答案】D【提示】根据一次函数的性质可得k+3<0，即可求解．【详解】解：∵一次函数y=k+3x−1的函数值y随∴k+3<0．解得k<−3．观察各选项，只有D选项的数字符合故选D．【名师点拨】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．题型4-1．（2022·内蒙古包头·中考真题）在一次函数y=−5ax+b(a≠0)中，y的值随x值的增大而增大，且ab>0，则点A(a,b)在（

）A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限【答案】B【提示】根据一次函数的性质求出a的范围，再根据每个象限点的坐标特征判断A点所处的象限即可．【详解】∵在一次函数y=−5ax+b(a≠0)中，y的值随x值的增大而增大，∴−5a＞0，即又∵ab>0，∴b＜∴点A(a,b)在第三象限，故选：B【名师点拨】本题考查了一次函数的性质和各个象限坐标特点，能熟记一次函数的性质是解此题的关键．题型4-2．（2022·湖南邵阳·中考真题）在直角坐标系中，已知点A32,m，点B72,n是直线y=kx+bk<0A．m<n B．m>n C．m≥n D．m≤n【答案】A【提示】因为直线y=kx+bk<0【详解】解：∵因为直线y=kx+bk<0∴y随着x的增大而减小，∵32>（7∴3∴m<n，故选：A．【名师点拨】此题考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是正确判断一次函数的增减性并灵活运用．题型4-3．（2022·江苏宿迁·中考真题）甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“函数值y随自变量x增大而减小”；乙：“函数图像经过点(0，2)”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数，其表达式是____．【答案】y=−2x+2（答案不唯一）【提示】根据题意的要求，结合常见的函数，写出函数解析式即可，最好找有代表性的、特殊的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等．【详解】解：根据题意，甲：“函数值y随自变量x增大而减小”；可设函数为：y=−2x+b,又满足乙：“函数图像经过点(0，2)”，则函数关系式为y=−2x+2，故答案为：y=−2x+2（答案不唯一）【名师点拨】本题考查学生对函数图象的掌握程度与灵活运用的能力，属于开放性题．知识点三用待定系数法确定一次函数解析式确定一次函数解析式的方法：1）依据题意中等量关系直接列出解析式；2）待定系数法。用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤：①设出函数的一般形式y=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)；②根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组；③解方程或方程组求出待定系数的值；④将所求得的系数的值代入到函数的一般形式中。考查题型五求一次函数解析式题型5．（2022·广东广州·中考真题）点(3,−5)在正比例函数y=kx（k≠0）的图象上，则k的值为（

）A．-15 B．15 C．−35 【答案】D【提示】直接把已知点代入，即可求出k的值．【详解】解：∵点(3,−5)在正比例函数y=kx(k≠0)的图象上，∴−5=3k，∴k=−5故选：D．【名师点拨】此题考查了用待定系数法求正比例函数的解析式，解题关键是正确得出k的值．题型5-1．（2022·湖南益阳·中考真题）已知一个函数的因变量y与自变量x的几组对应值如表，则这个函数的表达式可以是（）x…﹣1012…y…﹣2024…A．y＝2x B．y＝x﹣1 C．y＝2x D．y＝x【答案】A【提示】观察表中x，y的对应值可以看出，y的值恰好是x值的2倍．从而求出y与x的函数表达式．【详解】解：根据表中数据可以看出：y的值是x值的2倍，∴y＝2x．故选：A．【名师点拨】本题考查了列正比例函数表达式，解题的关键是根据所给的数据找出自变量与因变量之间的关系．题型5-2．（2022·浙江嘉兴·中考真题）已知点A(a,b)，B(4,c)在直线y=kx+3（k为常数，k≠0）上，若ab的最大值为9，则c的值为（

）A．52 B．2 C．32【答案】B【提示】把A(a,b)代入y=kx+3后表示出ab，再根据ab最大值求出k，最后把B(4,c)代入y=kx+3即可．【详解】把A(a,b)代入y=kx+3得：b=ka+3∴ab=a(ka+3)=k∵ab的最大值为9∴k<0，且当a=−32k时，ab解得k=−∴直线解析式为y=−把B(4,c)代入y=−14故选：B．【名师点拨】本题考查一次函数上点的特点、二次函数最值，解题的关键是根据ab的最大值为9求出k的值．题型5-3．（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点(4,3)，(−2,0)，且与y轴交于点A．(1)求该函数的解析式及点A的坐标；(2)当x>0时，对于x的每一个值，函数y=x+n的值大于函数y=kx+b(k≠0)的值，直接写出n的取值范围．【答案】(1)y=12(2)n≥1【提示】（1）利用待定系数法即可求得函数解析式，当x=0时，求出y即可求解．（2）根据题意x+n>12x+1（1）解：将(4,3)，(−2,0)代入函数解析式得，3=4k+b0=−2k+b∴函数的解析式为：y=1当x=0时，得y=1，∴点A的坐标为(0,1)．（2）由题意得，x+n>12x+1又由x>0，得2−2n≤0，解得n≥1，∴n的取值范围为n≥1．【名师点拨】本题考查了待定系数法求函数解析式及解不等式，熟练掌握待定系数法求函数解析式及函数的性质是解题的关键．题型5-4．（2022·浙江绍兴·中考真题）一个深为6米的水池积存着少量水，现在打开水阀进水，下表记录了2小时内5个时刻的水位高度，其中x表示进水用时（单位：小时），y表示水位高度（单位：米）．x00.511.52y11.522.53为了描述水池水位高度与进水用时的关系，现有以下三种函数模型供选择：y=kx+b（k≠0），y=ax2+bx+c（a≠0），y=kx（(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数表达式，并画出这个函数的图像．(2)当水位高度达到5米时，求进水用时x．【答案】(1)y＝x＋1（0≤x≤5），图见解析(2)4小时【提示】（1）观察表格数据，y的增长量是固定的，故符合一次函数模型，建立模型待定系数法求解析式，画出函数图像即可求解；（2）根据y=5，代入解析式求得x的值即可求解．（1）选择y＝kx＋b，将（0，1），（1，2）代入，得b=1， k+b=2，∴y＝x＋1（0≤x≤5）．（2）当y＝5时，x＋1＝5，∴x＝4．答：当水位高度达到5米时，进水用时x为4小时．【名师点拨】本题考查了一次函数的性质，画一次函数图像，求一次函数的解析式，根据题意建立模型是解题的关键．题型5-5．（2022·陕西·中考真题）如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值．输人x…−6−4−202…输出y…−6−22616…根据以上信息，解答下列问题：(1)当输入的x值为1时，输出的y值为__________；(2)求k，b的值；(3)当输出的y值为0时，求输入的x值．【答案】(1)8(2)k=2(3)−3【提示】对于（1），将x=1代入y=8x，求出答案即可；对于（2），将（-2，2），（0，6）代入y=kx+b得二元一次方程组，解方程组得出答案；对于（3），将y=0分别代入两个关系式，再求解判断即可．（1）当x=1时，y=8×1=8；故答案为：8；（2）将（-2，2），（0，6）代入y=kx+b，得−2k+b=2b=6解得k=2b=6（3）令y=0，由y=8x，得0=8x，∴x=0<1．（舍去）由y=2x+6，得0=2x+6，∴x=−3<1．∴输出的y值为0时，输入的x值为−3．【名师点拨】本题主要考查了待定系数法求一次函数关系式，理解“函数求值机”的计算过程是解题的关键．题型5-6．（2022·上海·中考真题）一个一次函数的截距为1，且经过点A（2，3）．(1)求这个一次函数的解析式；(2)点A，B在某个反比例函数上，点B横坐标为6，将点B向上平移2个单位得到点C，求cos∠ABC的值．【答案】(1)y=x+1(2)5【详解】（1）解：设这个一次函数的解析式y=kx+1，把A（2，3）代入，得3=2k+1，解得：k=1，∴这个一次函数的解析式为y=x+1；（2）解：如图，设反比例函数解析式为y=mx把A（2，3）代入，得3=m2解得：m=6，∴反比例函数解析式为y=6x当x=6时，则y=66∴B（6，1），∴AB=(6−2)2∵将点B向上平移2个单位得到点C，∴C（6，3），BC=2，∵A（2，3），C（6，3），∴AC∥x轴，∵B（6，1），C（6，3），∴BC⊥x轴，∴AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形，∴cos∠ABC=BCAB【名师点拨】本题考查待定系数法求函数解析式，点的平移，解三角形，坐标与图形，求得AC⊥BC是解题的关键．知识点四一次函数与方程（组）、不等式一元一次方程：关于x的一元一次方程kx+b=0(k≠0)的解是直线y=kx+b与x轴交点的横坐标。二元一次方程组：关于x，y的二元一次方程组QUOTEk1x+b1=y，k2x+b2=y的解是直线y=k1x+b一元一次不等式：关于x的一元一次不等式kx+b＞0(＜0)的解集是以直线y=kx+b和x轴的交点为分界点，x轴上(下)方的图象所对应的x的取值范围。考查题型六一次函数与一元一次不等式题型6．（2022·江苏南通·中考真题）根据图像，可得关于x的不等式kx>−x+3的解集是（

）A．x<2 B．x>2 C．x<1 D．x>1【答案】D【提示】写出直线y＝kx在直线y＝−x＋3上方所对应的自变量的范围即可．【详解】解：根据图象可得：不等式kx＞−x＋3的解集为：x＞1．故选：D．【名师点拨】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两个函数的交点坐标及图象确定不等式的解集是解题的关键．题型6-1．（2022·湖北鄂州·中考真题）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象与直线y＝13x都经过点A（3，1），当kx+b＜13x时，A．x＞3 B．x＜3 C．x＜1 D．x＞1【答案】A【提示】根据不等式kx+b＜13x【详解】解：由函数图象可知不等式kx+b＜13x∴当kx+b＜13x时，x的取值范围是x>3故选A．【名师点拨】本题主要考查了根据两直线的交点求不等式的解集，利用图象法解不等式是解题的关键．题型6-2．（2021·湖南娄底·中考真题）如图，直线y=x+b和y=kx+4与x轴分别相交于点A(−4,0)，点B(2,0)，则x+b>0kx+4>0解集为（

A．−4<x<2 B．x<−4 C．x>2 D．x<−4或x>2【答案】A【提示】根据图像以及两交点A(−4,0)，点B(2,0)的坐标得出即可．【详解】解：∵直线y=x+b和y=kx+4与x轴分别相交于点A(−4,0)，点B(2,0)，∴观察图像可知x+b>0kx+4>0解集为−4<x<2故选：A．【名师点拨】本题考查了一次函数与一元一次不等式组，能根据图像和交点坐标得出答案是解此题的关键．题型6-3．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，函数y=kx+bk<0的图像经过点P，则关于x的不等式kx+b>3【答案】x<−1【提示】观察一次函数图像，可知当y>3时，x的取值范围是x<−1，则kx+b>3的解集亦同．【详解】由一次函数图像得，当y>3时，x<−1，则y=kx+b>3的解集是x<−1．【名师点拨】本题考查了一次函数与不等式结合，深入理解函数与不等式的关系是解题的关键．题型6-4．（2022·江苏泰州·中考真题）一次函数y=ax+2的图像经过点(1，0)．当y>0时，x的取值范围是__________．【答案】x<1【提示】先用待定系数法，求出a的值．当y>0时，用含x的代数式表示y，解不等式即可．【详解】解：把(1，0)代入一次函数y=ax+2，得a+2=0，解得：a=-2，∴y=-当y>0时，即-2x+2>0解得：x<1．故答案为：x<1．【名师点拨】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与一元一次不等式，解题的关键是正确列出不等式，算出x的取值范围．题型6-5．（2022·青海西宁·中考真题）如图，直线y1=k1x与直线y2=k2x+b交于点A(1，2)．当y1<y2时，x的取值范围是________．【答案】x<1【提示】据函数图象，写出直线y1=k1x在直线y2=k2x+b2的下方所对应的自变量的范围即可．【详解】解：如图，已知直线y1=k1x与直线y2=k2x+b2相交于点A（1，2），则当y1＜y2时，x的取值范围为x＜1．故答案是：x＜1．【名师点拨】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．题型6-6．（2021·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=1（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x>−2时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=kx+b的值，直接写出m的取值范围．【答案】（1）y=12【提示】（1）由图象的平移及题意可直接求得一次函数的解析式；（2）由题意可先假设函数y=mxm≠0与一次函数y=kx+b的交点横坐标为−2，则由（1）可得：m=1【详解】解：（1）由一次函数y=kx+bk≠0的图象由函数y=12（2）由题意可先假设函数y=mxm≠0与一次函数y=kx+b的交点横坐标为−2−2m=12×函数图象如图所示：∴当x>−2时，对于x的每一个值，函数y=mxm≠0的值大于一次函数y=kx+b的值时，根据一次函数的k表示直线的倾斜程度可得当m=12时，符合题意，当m<12综上所述：12【名师点拨】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．考查题型七一次函数与二元一次方程组题型7．（2022·陕西·中考真题）在同一平面直角坐标系中，直线y=−x+4与y=2x+m相交于点P(3,n)，则关于x，y的方程组x+y−4=02x−y+m=0的解为（

A．x=−1y=5 B．x=1y=3 C．x=3y=1【答案】C【提示】先把点P代入直线y=−x+4求出n，再根据二元一次方程组与一次函数的关系求解即可；【详解】解：∵直线y=−x+4与直线y=2x+m交于点P（3，n），∴n=−3+4，∴n=1，∴P3,1∴1=3×2+m，∴m=-5,∴关于x，y的方程组x+y−4=02x−y−5=0的解x=3故选：C．【名师点拨】本题主要考查了一次函数的性质，二元一次方程与一次函数的关系，准确计算是解题的关键．题型7-1．（2022·贵州贵阳·中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b与y=mx+n(a<m<0)的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论：①在一次函数y=mx+n的图象中，y的值随着x值的增大而增大；②方程组{y−ax=by−mx=n的解为③方程mx+n=0的解为x=2；④当x=0时，ax+b=−1．其中结论正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【提示】由函数图象经过的象限可判断①，由两个一次函数的交点坐标可判断②，由一次函数与坐标轴的交点坐标可判断③④，从而可得答案．【详解】解：由一次函数y=mx+n的图象过一，二，四象限，y的值随着x值的增大而减小；故①不符合题意；由图象可得方程组{y=ax+by=mx+n的解为{x=−3y=2，即方程组故②符合题意；由一次函数y=mx+n的图象过(2,0),则方程mx+n=0的解为x=2；故③符合题意；由一次函数y=ax+b的图象过(0,−2),则当x=0时，ax+b=−2．故④不符合题意；综上：符合题意的有②③，故选B【名师点拨】本题考查的是一次函数的性质，一次函数的图象的交点坐标与二元一次方程组的解，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练的运用数形结合的方法解题是关键．题型7-2．（2022·广西梧州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+b与直线y=−3x+6相交于点A，则关于x，y的二元一次方程组y=2x+by=−3x+6的解是（

A．x=2y=0 B．x=1y=3 C．x=−1y=9【答案】B【提示】由图象交点坐标可得方程组的解．【详解】解：由图象可得直线y=2x+b与直线y=−3x+6相交于点A（1，3），∴关于x，y的二元一次方程组y=2x+by=−3x+6的解是x=1故选：B．【名师点拨】本题考查一次函数与二元一次方程的关系，解题关键是理解直线交点坐标中x与y的值为方程组的解．题型7-3．（2022·浙江杭州·中考真题）已知一次函数y=3x-1与y=kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（1，2），则方程组{3x−y=1【答案】{【提示】根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解．【详解】解：∵一次函数y=3x-1与y=kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（1，2），∴联立y=3x-1与y=kx的方程组y=3x−1y=kx的解为：x=1即3x−y=1kx−y=0的解为：x=1故答案为：x=1y=2【名师点拨】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数的交点坐标与二元一次方程组的解的关系是解题的关键．一次函数的实际应用：1）一次函数应用问题的求解思路：①建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答；②利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用。2）建立函数模型解决实际问题的一般步骤：①审题，设定实际问题中的变量，明确变量x和y；②根据等量关系，建立变量与变量之间的函数关系式，如：一次函数的函数关系式；③确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义；④利用函数的性质解决问题；⑤写出答案。3）利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤：①观察图象，获取有效信息；②对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系；③选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题。【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围。考查题型八解决分配方案问题题型8．（2022·广东深圳·中考真题）某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的要便宜1元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样．(1)求甲乙两种类型笔记本的单价．(2)该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共100件，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，则购买的最低费用是多少?【答案】(1)甲类型的笔记本电脑单价为11元，乙类型的笔记本电脑单价为12元(2)最低费用为1100元【提示】（1）设甲类型的笔记本电脑单价为x元，则乙类型的笔记本电脑为(x+10)元．列出方程即可解答；（2）设甲类型笔记本电脑购买了a件，最低费用为w，列出w关于a的函数，利用一次函数的增减性进行解答即可．【详解】（1）设甲类型的笔记本电脑单价为x元，则乙类型的笔记本电脑为(x+10)元．由题意得：110解得：x=11经检验x=11是原方程的解，且符合题意．∴乙类型的笔记本电脑单价为：11+1=12（元）．答：甲类型的笔记本电脑单价为11元，乙类型的笔记本电脑单价为12元．（2）设甲类型笔记本电脑购买了a件，最低费用为w，则乙类型笔记本电脑购买了(100−a)件．由题意得：100−a≤3a．∴a≥25．w=11a+12(100−a)=11a+1200−12a=−a+1200．∵−10<0，∴当a越大时w越小．∴当a=100时，w最小，最小值为−1×100+1200=1100（元）．答：最低费用为1100元．【名师点拨】此题考查了分式方程的应用，以及一次函数的应用，掌握分式方程的应用，以及一次函数的应用是解题的关键．题型8-1．（2022·四川凉山·中考真题）为全面贯彻党的教育方针，严格落实教育部对中小学生“五项管理”的相关要求和《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》精神，保障学生每天在校1小时体育活动时间，某班计划采购A、B两种类型的羽毛球拍，已知购买3副A型羽毛球拍和4副B型羽毛球拍共需248元；购买5副A型羽毛球拍和2副B型羽毛球拍共需264元．(1)求A、B两种类型羽毛球拍的单价．(2)该班准备采购A、B两种类型的羽毛球拍共30副，且A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2倍，请给出最省钱的购买方案，求出最少费用，并说明理由．【答案】(1)A型羽毛球拍的单价为40元，B型羽毛球拍的单价为32元(2)最省钱的购买方案是采购20副A型羽毛球拍，10副B型羽毛球拍；最少费用为1120元，理由见解析【提示】（1）设A型羽毛球拍的单价为x元，B型羽毛球拍的单价为y元，根据“购买3副A型羽毛球拍和4副B型羽毛球拍共需248元；购买5副A型羽毛球拍和2副B型羽毛球拍共需264元”建立方程组，解方程组即可得；（2）设该班采购A型羽毛球拍m副，购买的费用为W元，则采购B型羽毛球拍(30−m)副，结合（1）的结论可得W=8m+960，再根据“A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2倍”求出m的取值范围，然后利用一次函数的性质求解即可得．(1)解：设A型羽毛球拍的单价为x元，B型羽毛球拍的单价为y元，由题意得：3x+4y=2485x+2y=264解得x=40y=32答：A型羽毛球拍的单价为40元，B型羽毛球拍的单价为32元．(2)解：设该班采购A型羽毛球拍m副，购买的费用为W元，则采购B型羽毛球拍(30−m)副，由（1）的结论得：W=40m+32(30−m)=8m+960，∵A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2倍，∴m≥2(30−m)解得20≤m<30，在20≤m<30内，W随m的增大而增大，则当m=20时，W取得最小值，最小值为8×20+960=1120，此时30−m=30−20=10，答：最省钱的购买方案是采购20副A型羽毛球拍，10副B型羽毛球拍；最少费用为1120元．【名师点拨】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，正确建立方程组和函数关系式是解题关键．题型8-2．（2022·贵州黔东南·中考真题）某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且A型机器人每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同．(1)求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？(2)每台A型机器人售价1.2万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元．请根据以上要求，完成如下问题：①设购买A型机器人m台，购买总金额为w万元，请写出w与m的函数关系式；②请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？【答案】(1)每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物为100吨．(2)①w=−0.8m+60；②当购买A型机器人17台，B型机器人13台时，购买总金额最少，最少金额为46.4万元．【提示】（1）设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物为（x+10）吨，然后根据题意可列分式方程进行求解；（2）①由题意可得购买B型机器人的台数为30−m台，然后由根据题意可列出函数关系式；②由题意易得90m+10030−m≥2830−0.8m+60≤48【详解】（1）解：设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物为（x+10）吨，由题意得：540x解得：x=90；经检验：x=90是原方程的解；答：每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物为100吨．（2）解：①由题意可得：购买B型机器人的台数为30−m台，∴w=1.2m+230−m②由题意得：90m+10030−m解得：15≤m≤17，∵-0.8＜0，∴w随m的增大而减小，∴当m=17时，w有最小值，即为w=−0.8×17+60=46.4，答：当购买A型机器人17台，B型机器人13台时，购买总金额最少，最少金额为46.4万元．【名师点拨】本题主要考查分式方程的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数的应用，熟练掌握分式方程的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数的应用是解题的关键．题型8-3．（2022·内蒙古通辽·中考真题）为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育用品，两个商店的优惠活动如下：甲：所有商品按原价8.5折出售；乙：一次购买商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打7折．设需要购买体育用品的原价总额为x元，去甲商店购买实付y甲元，去乙商店购买实付y(1)分别求y甲，y乙关于(2)两图象交于点A，求点A坐标；(3)请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算．【答案】(1)y甲=0.85x；y乙与x的函数关系式为y乙=x(2)（600，510）(3)当x＜600时，选择甲商店更合算；当x=600时，两家商店所需费用相同；当x＞600时，选择乙商店更合算．【提示】（1）根据题意，可以分别写出甲、乙两家商店y与x的函数关系式；（2）根据（1）的结论列方程组解答即可；（3）由点A的意义并结合图象解答即可．（1）由题意可得，y甲=0.85x；乙商店：当0≤x≤300时，y乙与x的函数关系式为y乙=x；当x＞300时，y乙=300+（x-300）×0.7=0.7x+90，由上可得，y乙与x的函数关系式为y乙=x（2）由y甲＝0.85x点A的坐标为（600，510）；（3）由点A的意义，当买的体育商品标价为600元时，甲、乙商店优惠后所需费用相同，都是510元，结合图象可知，当x＜600时，选择甲商店更合算；当x=600时，两家商店所需费用相同；当x＞600时，选择乙商店更合算．【名师点拨】本题考查一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．考查题型九解决最大利润问题题型9．（2022·云南·中考真题）某学校要购买甲、乙两种消毒液，用于预防新型冠状病霉．若购买9桶甲消毒液和6桶乙消毒液，则一共需要615元：若购买8桶甲消毒液和12桶乙消毒液，则一共需要780元．(1)每桶甲消毒液、每桶乙消毒液的价格分别是多少元？(2)若该校计划购买甲、乙两种消毒液共30桶，其中购买甲消毒液a桶，且甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多5桶，又不超过乙消毒液的数量的2倍．怎样购买．才能使总费用W最少？并求出最少费用，【答案】(1)每桶甲消毒液的价格是45元、每桶乙消毒液的价格是35元；(2)当甲消毒液购买18桶，乙消毒液购买12桶时，所需资金总额最少，最少总金额是1230元．【提示】（1）设每桶甲消毒液的价格是a元、每桶乙消毒液的价格是b元，根据题意列二元一次方程组，解方程组即可求解；（2）根据题意可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，再根据所需资金总额=甲种消毒液的价格×购进数量+乙种消毒液的价格×购进数量，即可得出W关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．（1）解：设每桶甲消毒液的价格是a元、每桶乙消毒液的价格是b元，依题意，得：9a+6b=6158a+12b=780解得：a=45b=35答：每桶甲消毒液的价格是45元、每桶乙消毒液的价格是35元；（2）解：购买甲消毒液a桶，则购买乙消毒液(30-a)桶，依题意，得：(30-a)+5≤a≤2(30-a)，解得17.5≤a≤20，∵a为正整数，∴a取18、19、20，而W=45a+35(30-a)=10a+1050，∵10＞0，∴W随a的增大而增大，∴当a=18时，W取得最小值，最小值为10×18+1050=1230，此时30－18＝12，答：当甲消毒液购买18桶，乙消毒液购买12桶时，所需资金总额最少，最少总金额是1230元．【名师点拨】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于a的函数关系式．题型9-1．（2022·湖北十堰·中考真题）某商户购进一批童装，40天销售完毕．根据所记录的数据发现，日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的关系式是y={2x，0<x≤30−6x+240，(1)第15天的日销售量为_________件；(2)当0<x≤30时，求日销售额的最大值；(3)在销售过程中，若日销售量不低于48件的时间段为“火热销售期”，则“火热销售期”共有多少天？【答案】(1)30(2)2100元(3)9天【提示】（1）将x=15直接代入表达式即可求出销售量；（2）设销售额为w元，分类讨论，当0≤x≤20时，由图可知，销售单价p=40；当20<x≤30时，有图可知，p是x的一次函数，用待定系数法求出p的表达式；分别列出函数表达式，在自变量取值范围内求取最大值即可；（3）分类讨论，当20<x≤30和0<x≤30时列出不等式，解不等式，即可得出结果．(1)解：当x=15时，销售量y=2x=30；故答案为30；(2)设销售额为w元，①当0≤x≤20时，由图可知，销售单价p=40，此时销售额w=40×y=40×2x=80x∵80>0，∴w随x的增大而增大当x=20时，w取最大值此时w=80×20=1600②当20<x≤30时，有图可知，p是x的一次函数，且过点（20，40）、（40，30）设销售单价p=kx+b(k≠0)，将（20，40）、（40，30）代入得：{20k+b=4040k+b=30解得∴p=−∴w=py=(−∵−1<0，∴当20<x≤30时，w随x的增大而增大当x=30时，w取最大值此时w=−∵1600<2100∴w的最大值为2100，∴当0<x≤30时，日销售额的最大值为2100元；(3)当0≤x≤30时，2x≥48解得x≥24∴24≤x≤30当30<x≤40，−6x+240≥48解得x≤32∴30<x≤32∴24≤x≤32，共9天∴日销售量不低于48件的时间段有9天．【名师点拨】本题考查一元一次方程、一次函数、一元一次不等式、二次函数，是初中数学应用题的综合题型，解题的关键在于利用题目中的等量关系、不等关系列出方程、不等式，求出函数表达式，其中自变量取值范围是易错点、难点．题型9-2．（2022·四川德阳·中考真题）习近平总书记对实施乡村振兴战略作出重要指示强调：实施乡村振兴战略，是党的十九大作出的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．为了发展特色产业，红旗村花费4000元集中采购了A种树苗500株，B种树苗400株，已知B种树苗单价是A种树苗单价的1.25倍．(1)求A、B两种树苗的单价分别是多少元？(2)红旗村决定再购买同样的树苗100株用于补充栽种，其中A种树苗不多于25株，在单价不变，总费用不超过480元的情况下，共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费用是多少元？【答案】(1)A种树苗的单价是4元，则B种树苗的单价是5元(2)有6种购买方案，购买A种树苗，25棵，购买B种树苗75棵费用最低，最低费用是475元．【提示】（1）设A种树苗的单价是x元，则B种树苗的单价是1.25x元，根据“花费4000元集中采购了A种树苗500株，B种树苗400株，”列出方程，即可求解；（2）设购买A种树苗a棵，则购买B种树苗（100-a）棵，其中a为正整数，根据题意，列出不等式组，可得20≤a≤25，从而得到有6种购买方案，然后设总费用为w元，根据题意列出函数关系式，即可求解．（1）解：设A种树苗的单价是x元，则B种树苗的单价是1.25x元，根据题意得：500x+400×1.25x=4000，解得：x=4，∴1.25x=5，答：A种树苗的单价是4元，则B种树苗的单价是5元；（2）解：设购买A种树苗a棵，则购买B种树苗（100-a）棵，其中a为正整数，根据题意得：0<a≤254a+5解得：20≤a≤25，∵a为正整数，∴a取20，21，22，23，24，25，∴有6种购买方案，设总费用为w元，∴w=4a+5100−a∵-1＜0，∴w随a的增大而减小，∴当a=25时，w最小，最小值为475，此时100-a=75，答：有6种购买方案，购买A种树苗，25棵，购买B种树苗75棵费用最低，最低费用是475元．【名师点拨】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键．题型9-3．（2022·贵州遵义·中考真题）遵义市开展信息技术与教学深度融合的精准化教学，某实验学校计划购买A，B两种型号教学设备，已知A型设备价格比B型设备价格每台高20%，用30000元购买A型设备的数量比用15000元购买B型设备的数量多4台．(1)求A，B型设备单价分别是多少元？(2)该校计划购买两种设备共50台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的13．设购买a台A型设备，购买总费用为w元，求w与a【答案】(1)A，B型设备单价分别是3000,2500元．(2)w=500a+125000，最少购买费用为131500元【提示】（1）设B型设备的单价为x元，则A型设备的单价为1+20%（2）设B型设备的单价为x元，则A型设备的单价为1+20%x元，根据题意建立一元一次不等式，求得a的最小整数解，根据单价乘以数量即可求的w与（1）解：设B型设备的单价为x元，则A型设备的单价为1+20%300001.2x解得x=2500，经检验x=2500是原方程的解，∴A型设备的单价为1+20%答：A，B型设备单价分别是3000,2500元．（2）设购买a台A型设备，则购买B型设备50−a台，依题意，a≥1解得a≥25∴a的最小整数解为13，购买总费用为w元，w=3000a+250050−a∴w=500a+125000，∵500>0，w随a的增大而增大，∴a=13时，w取得最小值，最小值为500×13+125000=131500．答：最少购买费用为131500元．【名师点拨】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意列出关系式是解题的关键．题型9-4．（2022·湖北荆门·中考真题）某商场销售一种进价为30元/个的商品，当销售价格x（元/个）满足40＜x＜80时，其销售量y（万个）与x之间的关系式为y＝﹣110x(1)求出商场销售这种商品的净利润z（万元）与销售价格x函数解析式，销售价格x定为多少时净利润最大，最大净利润是多少？(2)若净利润预期不低于17．5万元，试求出销售价格x的取值范围；若还需考虑销售量尽可能大，销售价格x应定为多少元？【答案】(1)z＝﹣110x2+12x﹣320，当x(2)45≤x≤75，x＝45时，销售量最大【提示】（1）根据总利润＝单价利润×销量﹣40，可得z与x的函数解析式，再求出x=−b2a=−（2）当z=17.5时，解方程得出x的值，再根据函数的增减性和开口方向得出x的范围，结合y与x的函数关系式，从而解决问题．（1）由题可知：z＝y（x﹣30）﹣50＝（﹣110x+9）（＝﹣110x2∴当x=−b2a=−∴最大利润为：﹣110（2）当z＝17.5时，17.5＝﹣110x2∴x1＝45，x2＝75，∵净利润预期不低于17.5万元，且a＜0，∴45≤x≤75，∵y＝﹣110x+9．y随x∴x＝45时，销售量最大．【名师点拨】本题主要考查了二次函数的实际应用，二次函数的性质，一次函数的性质等知识，正确列出z关于x的函数的解析式是解题的关键．题型9-5．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）为了迎接“十•一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：运动鞋价格甲乙进价（元/双）mm﹣20售价（元/双）240160已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同．（1）求m的值；（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润=售价﹣进价）不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？【答案】（1）m=10；（2）11种；（3）购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双，可获得最大利润【提示】（1）用总价除以单价表示出购进鞋的数量，根据两种鞋的数量相等列出方程求解即可．（2）设购进甲种运动鞋x双，表示出乙种运动鞋（200﹣x）双，然后根据总利润列出一元一次不等式，求出不等式组的解集后，再根据鞋的双数是正整数解答．（3）设总利润为W，根据总利润等于两种鞋的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性分情况讨论求解即可．【详解】解：（1）依题意得，3000去分母得，3000（m﹣20）=2400m，解得m=100．经检验，m=100是原分式方程的解．∴m=100．（2）设购进甲种运动鞋x双，则乙种运动鞋（200﹣x）双，根据题意得，{24解不等式①得，x≥95，解不等式②得，x≤105，∴不等式组的解集是95≤x≤105．∵x是正整数，105﹣95+1=11，∴共有11种方案．（3）设总利润为W，则W=（140﹣a）x+80（200﹣x）=（60﹣a）x+16000（95≤x≤105），①当50＜a＜60时，60﹣a＞0，W随x的增大而增大，∴当x=105时，W有最大值，即此时应购进甲种运动鞋105双，购进乙种运动鞋95双．②当a=60时，60﹣a=0，W=16000，（2）中所有方案获利都一样．③当60＜a＜70时，60﹣a＜0，W随x的增大而减小，∴当x=95时，W有最大值，即此时应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双．题型9-6．（2022·湖北武汉·中考真题）某超市销售一种进价为18元/千克的商品，经市场调查后发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）有如下表所示的关系：销售单价x（元/千克）…2022.52537.540…销售量y（千克）…3027.52512.510…(1)根据表中的数据在下图中描点(x,y)，并用平滑曲线连接这些点，请用所学知识求出y关于x的函数关系式；(2)设该超市每天销售这种商品的利润为w（元）（不计其它成本），①求出w关于x的函数关系式，并求出获得最大利润时，销售单价为多少；②超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，求w=240（元）时的销售单价．【答案】(1)图象见解析，y与x的函数关系式为：y=−x+50(2)①w关于x的函数关系式为：w=−x2+68x−900②w=240（元）时的销售单价为30元【提示】（1）根据表格描点连线即可做出函数图像，然后利用待定系数法，将表格中数值代入进行求参数即可；（2）①由（1）中关系式可求得w=−x2+68x−900②解方程−x2+68x−900=240，可知x（1）解：作图如图所示，由图可知，y与x是一次函数关系，设y与x的函数关系式为：y=kx+b，将x=20，y=30；x=40，y=10，代入y=kx+b得，{20k+b=30解得：{k=−1即y与x的函数关系式为：y=−x+50；（2）①由题意可知w关于x的函数关系式为：w=(−x+50)(x−18)=−x2+68x−900∴当x=34时，w取最大值，最大值为：256元，即：当w取最大值，销售单价为34元；②当w=240时，−x解得：x1=30∵超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，∴x=即w=240（元）时的销售单价为30元．【名师点拨】本题主要考查的是一次函数及二次函数得应用，掌握函数及图象的性质，能够整合题中条件是解题的关键．题型9-7．（2022·辽宁盘锦·中考真题）精准扶贫工作已经进入攻坚阶段，贫苦户李大叔在政府的帮助下，建起塑料大棚，种植优质草莓，今年二月份正式上市销售．在30天的试销中，每天的销售量与销售天数x满足一次函数关系，部分数据如下表：x（天）123…x每天的销售量（千克）101214…

设第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数关系满足如下图像：已知种植销售草莓的成本为5元/千克，每天的利润是w元．（利润＝销售收入﹣成本）(1)将表格中的最后一列补充完整；(2)求y关于x的函数关系式；(3)求销售草莓的第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少元？【答案】(1)见解析(2)y＝{(3)销售草莓的第30天时，当天的利润最大，最大利润是272元【提示】（1）设每天的销售量为z，则用待定系数法可求出每天的销售量与销售天数x的一次函数关系式，根据关系式填表即可；（2）根据图像写出分段函数即可；（3）根据函数关系列出x和w之间的关系式，利用二次函数的性质求最值即可．【详解】（1）设每天的销量为z，∵每天的销售量与销售天数x满足一次函数关系，∴z＝sx+t，∵当x＝1时，z＝10，x＝2时z＝12，∴{s+t=10解得{s=2即z＝2x+8，当x=30时，销售量z=68，则将表格中的最后一列补充完整如下表：x（天）123…30每天的销售量（千克）101214…68（2）由函数图像知，当0＜x≤20时，y与x成一次函数，且函数图像过(10，14)，(20，9)，设y＝kx+b，∴{10k+b=14解得{k=−∴y＝-12x+19（0＜x当20＜x≤30时，y＝9，∴y关于x的函数关系式为y＝{−（3）由题意知，当0＜x≤20时，w＝(2x+8)(−12x+19−5)＝﹣x2+24x∴此时当x＝12时，w有最大值为256，当20＜x≤30时，w＝（2x+8）×（9-5）＝18x+32，∴此时当x＝30时，w有最大值为272，综上所述，销售草莓的第30天时，当天的利润最大，最大利润是272元．【名师点拨】本题主要考查一次函数的图像和性质，二次函数的应用等知识，熟练掌握一次函数的图像和性质及二次函数的应用是解题的关键．考查题型十解决行程问题题型10．（2022·山东烟台·中考真题）周末，父子二人在一段笔直的跑道上练习竞走，两人分别从跑道两端开始往返练习．在同一直角坐标系中，父子二人离同一端的距离s（米）与时间t（秒）的关系图像如图所示．若不计转向时间，按照这一速度练习20分钟，迎面相遇的次数为（）A．12 B．16 C．20 D．24【答案】B【提示】先求出二人速度，即可得20分钟二人所跑路程之和，再总结出第n次迎面相遇时，两人所跑路程之和（400n﹣200）米，列方程求出n的值，即可得答案．【详解】解：由图可知，父子速度分别为：200×2÷120=10∴20分钟父子所走路程和为20×60×10父子二人第一次迎面相遇时，两人所跑路程之和为200米，父子二人第二次迎面相遇时，两人所跑路程之和为200×2+200＝600（米），父子二人第三次迎面相遇时，两人所跑路程之和为400×2+200＝1000（米），父子二人第四次迎面相遇时，两人所跑路程之和为600×2+200＝1400（米），…父子二人第n次迎面相遇时，两人所跑路程之和为200（n﹣1）×2+200＝（400n﹣200）米，令400n﹣200＝6400，解得n＝16.5，∴父子二人迎面相遇的次数为16．故选：B．【名师点拨】本题考查一次函数的应用，解题的关键是求出父子二人第n次迎面相遇时，两人所跑路程之和400n−200米．题型10-1．（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）一辆汽车油箱中剩余的油量y(L)与已行驶的路程x(km)的对应关系如图所示，如果这辆汽车每千米的耗油量相同，当油箱中剩余的油量为A．150km B．165km C．125km【答案】A【提示】根据题意所述，设函数解析式为y=kx+b，将（0，50）、（500，0）代入即可得出函数关系式．【详解】解：设函数解析式为y=kx+b，将（0，50）、（500，0）代入得b=50解得：b=50∴函数解析式为y=−当y=35时，代入解析式得：x=150故选A【名师点拨】本题考查了一次函数的简单应用，解答本题时要注意细心审题，利用自变量与因变量的关系进行解答．题型10-2．（2022·黑龙江绥化·中考真题）小王同学从家出发，步行到离家a米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离y（单位：米）与出发时间x（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为（

）A．2.7分钟 B．2.8分钟 C．3分钟 D．3.2分钟【答案】C【提示】先根据题意求得A、D、E、F的坐标，然后再运用待定系数法分别确定AE、AF、OD的解析式，再分别联立OD与AE和AF求得两次相遇的时间，最后作差即可．【详解】解：如图：根据题意可得A（8，a），D(12,a)，E（4,0），F（12,0）设AE的解析式为y=kx+b，则0=4k+ba=8k+b，解得∴直线AE的解析式为y=a4x-3同理：直线AF的解析式为：y=-a4x+3a,直线OD的解析式为：y=联立y=a12x联立y=a12x两人先后两次相遇的时间间隔为9-6=3min．故答案为C．【名师点拨】本题主要考查了一次函数的应用，根据题意确定相关点的坐标、求出直线的解析式成为解答本题的关键．题型10-3．（2022·四川攀枝花·中考真题）中国人逢山开路，遇水架桥，靠自己勤劳的双手创造了世界奇迹．雅西高速是连接雅安和西昌的高速公路，被国内外专家学者公认为全世界自然环境最恶劣、工程难度最大、科技含量最高的山区高速公路之一，全长240km．一辆货车和一辆轿车先后从西昌出发驶向雅安，如图，线段OM表示货车离西昌距离y1(km)与时间x(h)之间的函数关系：折线OABNA．货车出发1.8小时后与轿车相遇B．货车从西昌到雅安的速度为60km/hC．轿车从西昌到雅安的速度为110km/hD．轿车到雅安20分钟后，货车离雅安还有60km【答案】D【提示】结合函数图象，根据时间、速度、路程之间的关系逐项判断，即可得出答案．【详解】解：由题意可知，货车从西昌到雅安的速度为：140÷4=60(km轿车从西昌到雅安的速度为：(240−75)÷(3−1.5)=110(km轿车从西昌到雅安所用时间为：240÷110=223−2211=911设货车出发x小时后与轿车相遇，根据题意得：60x=110x−911∴货车出发1.8小时后与轿车相遇，故选项A不合题意；轿车到雅安20分钟后，货车离雅安的距离为：60×60−20故选D．【名师点拨】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，能够从函数图象中获取相关信息．题型10-4．（2022·辽宁阜新·中考真题）快递员经常驾车往返于公司和客户之间．在快递员完成某次投递业务时，他与客户的距离s(km)与行驶时间t(h【答案】35【提示】根据图象求出快递员往返的时间为2（0.35﹣0.2）h，然后再根据速度＝路程÷时间．【详解】解：∵快递员始终匀速行驶，∴快递员的行驶速度是8.750.55−2(0.35−0.2)=35（km/故答案为：35．【名师点拨】本题考查一次函数的应用，关键是结合图象掌握快递员往返的时间．题型10-5．（2022·浙江丽水·中考真题）因疫情防控需婴，一辆货车先从甲地出发运送防疫物资到乙地，稍后一辆轿车从甲地急送防疫专家到乙地．已知甲、乙两地的路程是330km，货车行驶时的速度是60km/h．两车离甲地的路程(1)求出a的值；(2)求轿车离甲地的路程s(km)与时间(3)问轿车比货车早多少时间到达乙地？【答案】(1)1.5(2)s=100t-150(3)1.2h【提示】（1）根据货车行驶的路程和速度求出a的值；（2）将（a，0）和（3，150）代入s=kt+b中，待定系数法解出k和b的值即可；（3）求出汽车和货车到达乙地的时间，作差即可求得答案．（1）由图中可知，货车a小时走了90km，∴a=90÷60=1.5；（2）设轿车离甲地的路程s(km)与时间t(h)的函数表达式为s=将（1.5，0）和（3，150）代入得，1.5k+b=03k+b=150解得，k=100b=−150∴轿车离