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第十二章(1)2023/10/11习题课数项级数的敛散与幂级数的收敛域一、数项级数的审敛法二、求幂级数收敛域的方法三、课外练习题求和展开(在收敛域内进行)基本问题：判别敛散；求和函数；求收敛域；级数展开.时为数项级数;时为幂级数;为傅氏系数)时,

为傅立叶级数.2023/10/12一、数项级数的审敛法利用部分和数列的极限判别级数的敛散性正项级数审敛法必要条件不满足发

散满足比值审敛法根值审敛法收

敛发

散不定用它法判别部分和极限比较审敛法积分判别法2023/10/13Leibniz判别法:

若且则交错级数3.

任意项级数审敛法概念:

为收敛级数收敛,且余项若收敛,

称绝对收敛若发散,

称2023/10/14条件收敛例1解原级数发散．2023/10/15例2解根据极限审敛法,

知所给级数收敛.2023/10/16例3解因为根据极限审敛法,

知所给级数收敛.2023/10/17例4

若级数均收敛,且证明级数收敛.证则由题设收敛收敛收敛2023/10/18解答提示:判别下列级数的敛散性:提示:(1)因调和级数发散,

据比较判别法,原级数发散.P322

题22023/10/19利用比值判别法,可知原级数发散.用比值法,可判断级数时收敛;时发散.再由比较法可知原级数收敛.因n充分大时∴原级数发散.用比值判别法可知:时收敛;

时发散.时,与p级数比较可知发散,2023/10/110收敛,设正项级数和也收敛.提示:因又因利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确.都收敛,证明级数∴存在N>0,

当n>N时P323

题32023/10/111设级数收敛,且问级数级数收敛,收敛,级数发散.是否也收敛？说明理由.提示:对正项级数,由比较判别法可知但对任意项级数却不一定收敛.例如,取P323

题42023/10/112讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:提示:(1)P

>1时,绝对收敛0;

<p≤1时,条件收敛;p≤0

时,发散.(2)

因各项取绝对值后所得强级数原级数绝对收敛.故P323

题52023/10/113因单调递减,且所以原级数仅条件收敛.由Leibniz判别法知级数收敛;但2023/10/114因所以原级数绝对收敛.2023/10/115例5解即原级数非绝对收敛．2023/10/116由莱布尼茨定理：2023/10/117所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛．2023/10/118例6解2023/10/119由比较审敛法知，即原级数绝对收敛．2023/10/120例7解2023/10/1212023/10/122二、求幂级数收敛域的方法求下列级数的敛散区间:标准形式幂级数:先求收敛半径R

,再讨论 处的敛散性.通过换元转化为标准形式非标准形式幂级数直接用比值法或根值法练习:P323

题72023/10/123解当时,时原级数收敛.2023/10/124因此级数在端点发散,故收敛区间为解

因故收敛区间为级数收敛;一般项不趋于0,

级数发散;2023/10/125例

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