正余弦定理在日常生活中的应用

目录·开题报告·研究内容·与三角函数相关的一些资料·研究方法和手段·与活动相关的·相关举例·课题组成员及指导老师开题报告说到三角函数就必须提及三角形的来历和起源、开展与天文学家密不可分，他是天文观察结果推算的一种方法，它的出现不全是因为航海，历法推算以及天文观测等人类实践活动的需要，而且也因为宇宙奥秘的巨大吸引力，这种“量天的学问〞确实很诱人。在欧洲，最早提出三角学的是德国数学家雷格蒙塔琼斯〔1436-1476〕并完成了?论各种三角形?，可是他很有局限性，仅采用了正弦、余弦函数，后来哥白尼的学生雷提库斯完善了三角函数，并采用了六个三角函数，大大推动了三角函数学的开展。现在利用三角函数可以计算出许多抽象的问题，三角函数虽然在生活中不常常用到，可是科学家利用函数大大提高了人们的生活水平，生活中许多东西都用到了三角函数的原理，并且学习三角函数也能使我们学会一些方法，所以我们很有必要研究这门悠久而极具吸引力的文学。研究内容学而不思那么罔，只有通过自己的独立思考，并掌握科学的思维方法才能真正学会教学要善于利用数学内容之间的内在联系，特别是科学的思维方法，学习类比、推广、特殊化、化归的数学思考的常用逻辑方法，不断提高数学思维能力。对于三角函数，自然而然是要画出它的图像，观察图像的形状，看看其特殊点，并借助图像研究它的性质，如“值域〞、“单调性〞、“奇偶性〞、“最大值〞、“最小值〞。我们会明白三角函数具有“周而复始〞的规律。三角函数与我们的生活息息相关，因为人体是一个包含各种周期运动的生物体，医学上把周期为24小时的生理运动称中周期运动，如血压、血糖浓度的变化。而且声音中也包含着正弦函数，声音是由于物体的振动产生都能引起听觉的音。每个音都是由纯音合成的。纯音数学模型是函数y=Asinwt。由此可见三角函数在生命中起着重要的作用。因而我们小组选三角函数为课题。三角函数是什么三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。它有六种根本函数：函数名正弦余弦正切余切正割余割

三角函数的由来“三角学〞一词，是由希腊文三角形与测量二字构成的，原意是三角形的测量，也就是解三角形．后来范围逐渐扩大，成为研究三角函数及其应用的一个数学分支．三角测量在我国出现的很早．据?史记·夏本记?记载，早在公元前二千年，大禹就利用三角形的边角关系，来进行对山川地势的测量．?周髀算经?讲得更详细．后来?九章算术?勾股章，专列了八个测量问题，详细介绍了利用直角三角形相似原理，进行测量的方法．以及后来的?海岛算经?等都是进行三角测量的史料记载．可见我国对三角学研究开始的很早．三角学的六个根本函数中，最早开始独立研究的是正弦函数．正弦概念的形成是从造弦表开始的．公元前二世纪古希腊天文学家希帕克，为了天文观察的需要，着手造表工作．这些成果是从托勒密的遗著?天文集?中得到的．托勒密第一个采用了巴比伦人的60进位制，把圆周分为360等份，但他并没给出“度〞、“分〞、“秒〞的名词，而是用“第一小分〞、“第二小分〞等字样进行描述．在1570年曲卡拉木起用了“°〞的符号来表示“度〞，以及“分〞、“秒〞等名称．书中又给出了“托勒密定理〞来推算弦、弧及圆心角的关系及公式．第一张正弦表由印度的数学家阿耶波多〔约476－550年〕造出来的．虽然他直接接触了正弦，但他并没有给知名称．他称连接圆弧两端的直线为“弓弦〞，后来印度著作被译成阿拉伯文．十二世纪，当阿拉伯文被译成拉丁文时，这个字被译成sinus，这就是“正弦〞这一术语的来历．1631年邓玉函与汤假设望等人编?大测?一书，将sinus译成“正半弦〞，简称为正弦，这是我国“正弦〞这一术语的由来．早期人们把与角相加成90°角的正弦，叫做的附加正弦，它的拉丁文简写为sinusco或cosinus，后来便缩写成cos．公元八世纪阿拉伯的天文学家和数学家阿尔·巴坦尼，为了测量太阳的仰角，分别在地上和墙上各置一直立与水平的杆子，求阴影长b，以测定太阳的仰角．阴影长b的拉丁文译文名叫“直阴影〞，水平插在墙上的杆的影长叫做“反阴影〞，“直阴影〞后来变成余切，“反阴影〞叫做正切．大约半个世纪后，另一位中亚天文学家、数学家阿布尔·威发计算了每隔10°的正弦和正切表，并首次引进了正割与余割。三角函数的应用在现实生活中，特别是普通老百姓把数学看似一个非常遥远的独立的神秘王国，人们误解数学就是搞难题，没有什么实际用途。这与我们在数学教学中不讲数学的意义，不讲数学与生活的联系，不讲数学与其他学科的关系及其在实际社会生活中的应用价值，而是讲解题，把数学教学变成了一种纯粹的演题训练，使学生看不见数学的本来面目和它的真正意义，失却了对大自然的“好奇心〞有着很大的关系。在学生学完三角函数这局部内容以后，寻找三角函数在生活中的实例，通过这些资料，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。在我们的生活中，三角函数一般被用来：测量山高、测量树高、确定航海行程问题、确定光照及房屋建造合理性、调整电网，比方两个电网并接的时候、用于山的坡、TAN平面所走的距离、上升的高度。同理还可以测量楼的高、塔的高、测量树高、确定航海行程问题、确定光照及房屋建造合理性。 公园里，小明和小丽开心地玩跷跷板，当小丽用力将4m长的跷跷板的一端压下并碰到地面，此时另一端离地面1.5m．你能求出此时跷跷板与地面的夹角吗？

T：“另一端离地面1.5m〞如何理解？ S：就是过其端点向地面作垂线，垂线段的长度就是1.5m。 S：〔另一学生迫不及待地说〕老师我知道了，我已经看出有直角三角形了 T：是吗？说说看！ S：如果我们把“碰地〞的一端端点看作点A的话，“跷跷板〞看作线段AB，那么过B点向地面作垂线，垂足为点C，这样就出现了△ABC。 T：接下来应该做什么呢？ S：只要解这个直角三角形，求出∠A的大小就行了。 如下图，秋千链子的长度为3m，静止时的秋千踏板〔大小忽略不计〕距地面0.5m．秋千向两边摆动时，假设最大摆角〔摆角指秋千链子与铅垂线的夹角〕约为60°，那么秋千踏板与地面的最大距离为多少？

T：何时秋千踏板离地面最高？如何表示出秋千踏板与地面的最大高度？ S：就是当秋千到达最大摆角时其踏板离地面的高度。 T：这个距离方便直接求吗？ S：不方便。因为它不在某一个直角三角形中，需要构造直角三角形。 T：那该如何转化呢？ S：连接…… S：〔另一学生脱口而出〕不必这么麻烦。只需……得RtΔABC〔如图4〕。 T：你还能有其它解决问题的方法吗？如果能，请构造成新的直角三角形；如果不能，请你利用图4写出计算过程。 ……接下来，除如图4的方法外，学生还给出了多种转化的方法，下面实录3种：60º60º60º图7图6图5研究方法和手段今天我们数学组带着问题走访了数学老师以及物理老师。问：我们要研究三角函数，首先要学好它，可我们如何才能更好的掌握它呢?答：其实很简单，函数都是有规律的，三角函数就是周期函数，只要将图像画出来那么解决问题就很简单了。问：那么我们就可以进行应用的调查了嘛？答：是的，其实三角函数的应用很广泛。问：在我们的生活中哪些方面应用到三角函数呢？答：在电学物理方面应用的比较广泛，比方