同济线性代数-第一讲课件

在阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做元素的余子式，叫做元素的代数余子式．如，一、余子式与代数余子式定义：记作：行列式的每一个元素都对应一个余子式和代数余子式在阶行列式中，把元素所在的第行和1引理：一个阶行列式，如果其中第行所有元素除外都为零，那末这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即．如，二、行列式按行（列）展开法则引理：一个阶行列式，如果其中第行所有元素除外都2证：10当位于第一行第一列时,即有：20

再证一般情形,此时又证：10当位于第一行第一列时,即有：3得得4得得5证：或定理：

行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即：证：或定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的6同济线性代数--第一讲课件7证：推论：

行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即：证：推论：行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元8同理相同同理相同9代数余子式的重要性质注：代数余子式的重要性质注：10例1计算例1计算11例2

计算n

阶行列式例2计算n阶行列式12证：用数学归纳法例3证明范德蒙德(Vandermonde)行列式证：用数学归纳法例3证明范德蒙德(Vandermonde)13同济线性代数--第一讲课件14

n-1阶范德蒙德行列式注：此结论可直接使用。数学归纳法n-1阶范德蒙德行列式注：此结论可直接使用。数学归纳法15如，如，16§7克拉默法则§7克拉默法则17设方程组则称此方程组为非

齐次线性方程组;此时称方程组为齐次线性方程组.一、线性方程组线性设方程组则称此方程组为非齐次线性方程组;此18二、克拉默法则如果线性方程组的系数行列式不等于零，即二、克拉默法则如果线性方程组的系数行列式不等于零，即19其中是把系数行列式中第列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的阶行列式，即那么线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以表为其中是把系数行列式中第列的元素用方20例1

用克拉默法则解方程组解:例1用克拉默法则解方程组解:21同济线性代数--第一讲课件22同济线性代数--第一讲课件23三、重要定理如果线性方程组(1)的系数行列式则(1)一定有解,且解是唯一的.定理1如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解，定理2则它的系数行列式必为零，即：三、重要定理如果线性方程组(1)的系数行列式24四、齐次线性方程组的相关定理1.齐次线性方程组的零解与非零解注：齐次线性方程组一定有零解，但不一定有非零解。四、齐次线性方程组的相关定理1.齐次线性方程组的零25定理：

如果齐次线性方程组（2）有非零解,则它的系数行列式必为零,即：

如果齐次线性方程组（2）的系数行列式定理：则齐次线性方程组（2）没有非零解。2.重要性质定理：如果齐次线性方程组（2）有非零解,则它的系数行列式必26例2问取何值时，齐次线性方程组有非零解？例2问取何值时，齐次线性方程组有非零解？27解：齐次方程组有非零解时齐次方程组有非零解.或解：齐次方程组有非零解时齐次方程组有非零解.或28

1.行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.小结3.克拉默法则及其重要性质1.行列式按行（列）展开法则是把高阶行列29