（概率论与数理统计） 协方差与相关系数

前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，对于多维随机变量，反映分量之间关系的数字特征中，最重要的，就是本讲要讨论的“协方差和相关系数”.

协方差和相关系数下页

任意两个随机变量X和Y的协方差,记为Cov(X,Y),[Covariance]

定义为⑶Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)⑴Cov(X,Y)=Cov(Y,X)一、协方差2.简单性质⑵Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)a,b是常数Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}1.定义下页

Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

可见，若X与Y独立，Cov(X,Y)=0.3.计算协方差的一个简单公式由协方差的定义及期望的性质，可得Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)即下页若X1,X2,…,Xn两两独立,，上式化为D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)4.随机变量和的方差与协方差的关系下页二、相关系数为随机变量X和Y的相关系数.定义:设D(X)>0,D(Y)>0,称在不致引起混淆时，记

为.下页例1.求Cov(X,Y),ρXY解：E(X)=2,E(Y)=2；E(X2)=9/2,E(Y2)=9/2D(X)=1/2,D(Y)=1/2E(XY)=Cov(X,Y)=23/6–4=-1/6;¼½¼Y123101/61/1221/61/61/631/121/60X1/41/21/41）相关系数的计算下页例2.

设随机变量X的方差D(

X

)≠０且Y=aX+b(a≠０),求X和Y的相关系数ρXY.解：下页2.X和Y独立时，

=0，但其逆不真.由于当X和Y独立时，Cov(X,Y)=0.故=0但由并不一定能推出X和Y独立.请看下例.2）相关系数的性质及其与独立性的关系下页例3.

设X服从(-1/2,1/2)内的均匀分布,而Y=cos

(X)，求X，Y的相关系数。因而=0，即X和Y不相关.但Y与X有严格的函数关系，即X和Y不独立.解：不难求得

Cov(X,Y)=0.相关系数刻划了X和Y间“线性相关”的程度.下页但对下述情形，独立与不相关等价若(X,Y)服从二维正态分布，则X与Y独立X与Y不相关显然，若X与Y独立，则X与Y不相关，但由X与Y不相关，不一定能推出X与Y独立.下页例4．设（X，Y）服从二维正态分布，求X，Y的相关系数。解：X，Y的联合密度f(x,y)及边缘密度fX(x),fY(y)如下：

从而说明二维正态分布随机变量X、Y相互独立ρ=0，即X、Y相互独立与不相关是等价的。下页例5．(X,Y)的概率密度如下,试证X与Y既不相关也不相互独立。因fX(x)fY(y)≠f(x,y)，故X与Y不相互独立。证明：(1)因为同样E（Y）=0于是ρXY=0，所以

X与Y不相关。(2)下页§4.5矩和协方差矩阵设X是随机变量，若k=1,2,…存在，称它为X的k阶原点矩.k=1,2,…存在，若称它为X的k阶中心矩.

显然，期望是X的一阶原点矩，方差是X的二阶中心矩.下页协方差Cov(X,Y)是X和Y的二阶混合中心矩.称它为X和Y的k+L阶混合（原点）矩.若存在，称它为X和Y的k+L阶混合中心矩.设X和Y是随机变量，若k,L=1,2,…存在，可见，下页协方差矩阵的定义

将二维随机变量（X1,X2）的四个二阶中心矩排成矩阵的形式:称此矩阵为（X1,X2）的协方差矩阵.这是一个对称矩阵下页类似