七年级数学上册专题07 数轴上动点相距问题（解析版）

/专题07数轴上动点相距问题1．如图，已知数轴上的点A、B对应的数分别是－5和1．(1)若P到点A、B的距离相等，求点P对应的数；(2)动点P从点A出发，以2个长度单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，问：是否存在某个时刻t，恰好使得P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；(3)若动点P从点A出发向点B运动，同时，动点Q从点B出发向点A运动，经过2秒相遇；若动点P从点A出发向点B运动，同时，动点Q从点B出发与点P同向运动，经过6秒相遇，试求P点与Q点的运动速度（长度单位/秒）【答案】(1)；(2)存在；2或6；(3)2单位长度/秒；1单位长度/秒【解析】【分析】（1）设点P对应的数为x，表示出BP与PA，根据BP=PA求出x的值，即可确定出点P对应的数；（2）表示出点P对应的数，进而表示出PA与PB，根据PA=2PB求出t的值即可；（3）设P点的运动速度m单位长度/秒，Q点的运动速度n单位长度/秒，根据题意列出关于、的二元一次方程组求解即可得出答案．(1)点A、B对应的数分别是-5和1，设点P对应的数为x，则，，∵，∴，解得：，∴点P对应的数为-2；(2)P对应的数为，∴，，∵，∴，当时，，当时，，答：当或6时，恰好使得P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍；(3)设P点的运动速度m单位长度/秒，Q点的运动速度n单位长度/秒，根据题意得，，解得：，答：P点的运动速度2单位长度/秒，Q点的运动速度1单位长度/秒．【点睛】本题考查数轴上的点表示的数及两点间的距离、一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用等知识，根据题中描述找到等量关系式是解题的关键．2．如图，数轴上的点O和A分别表示0和10，点P是线段OA上一动点，沿O→A→O以每秒2个单位的速度往返运动1次，B是线段OA的中点，设点P运动时间为t秒（0≤t≤10）．（1）线段BA的长度为；（2）当t＝3时，点P所表示的数是；（3）求动点P所表示的数（用含t的代数式表示）；（4）在运动过程中，当PB＝2时，求运动时间t．【答案】（1）5；（2）6；（3）当0≤t≤5时，动点P所表示的数是2t，当5＜t≤10时，动点P所表示的数是20﹣2t；（4）1.5或3.5或6.5或8.5．【解析】【分析】（1）根据B是线段OA的中点，即可得到结论；（2）根据已知条件即可得到结论；（3）分两种情况讨论：①当0≤t≤5时，②当5＜t≤10时，即可得到结论；（4）分两种情况讨论：①当0≤t≤5时，②当5＜t≤10时，根据线段的和差即可得到结论．【详解】（1）∵B是线段OA的中点，∴BAOA=5．故答案为5；（2）当t=3时，点P所表示的数是2×3=6．故答案为6；（3）分两种情况讨论：①当0≤t≤5时，动点P所表示的数是2t；②当5＜t≤10时，动点P所表示的数是20﹣2t；（4）①当0≤t≤5时，动点P所表示的数是2t．∵PB=2，∴|2t﹣5|=2，∴2t﹣5=2，或2t﹣5=﹣2，解得：t=3.5，或t=1.5；②当5＜t≤10时，动点P所表示的数是20﹣2t．∵PB=2，∴|20﹣2t﹣5|=2，∴20﹣2t﹣5=2，或20﹣2t﹣5=﹣2，解得：t=6.5，或t=8.5．综上所述：所求t的值为1.5或3.5或6.5或8.5．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴上点的位置关系，根据P点位置的不同得出等式方程求出是解题的关键．3．已知，在数轴上对应的数分别用，表示，且点距离原点10个单位长度，且位于原点左侧，将点先向右平移35个单位长度，再向左平移5个单位长度，得到点，是数轴上的一个动点．(1)在数轴上标出、的位置，并求出、之间的距离；(2)已知线段上有点且，当数轴上有点满足时，求点对应的数；(3)动点从原点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度，…点能移动到与或重合的位置吗?若不能，请说明理由．若能，第几次移动与哪一点重合?【答案】（1）A、B位置见解析，A、B之间距离为30；（2）2或-6；（3）第20次P与A重合；点P与点B不重合．【解析】【分析】（1）点距离原点10个单位长度，且位于原点左侧，得到点B表示的数，再根据平移的过程得到点A表示的数，在数轴上表示出A、B的位置，根据数轴上两点间的距离公式，求出A、B之间的距离即可；（2）设P点对应的数为x，当P点满足PB=2PC时，得到方程，求解即可；（3）根据第一次点P表示-1，第二次点P表示2，点P表示的数依次为-3，4，-5，6…，找出规律即可得出结论．【详解】解：（1）∵点距离原点10个单位长度，且位于原点左侧，∴点B表示的数为-10，∵将点先向右平移35个单位长度，再向左平移5个单位长度，得到点，∴点A表示的数为20，∴数轴上表示如下：AB之间的距离为：20-（-10）=30；（2）∵线段上有点且，∴点C表示的数为-4，∵，设点P表示的数为x，则，解得：x=2或-6，∴点P表示的数为2或-6；（3）由题意可知：点P第一次移动后表示的数为：-1，点P第二次移动后表示的数为：-1+3=2，点P第三次移动后表示的数为：-1+3-5=-3，…，∴点P第n次移动后表示的数为（-1）n•n，∵点A表示20，点B表示-10，当n=20时，（-1）n•n=20；当n=10时，（-1）n•n=10≠-10，∴第20次P与A重合；点P与点B不重合．【点睛】本题考查的是数轴，绝对值，数轴上两点之间的距离的综合应用，正确分类是解题的关键．解题时注意：数轴上各点与实数是一一对应关系．4．已知：A，B在数轴上对应的数分别用a，b表示，O表示原点，且，P是数轴上的一个动点．(1)在数轴上标出A、B的位置，并求出A、B之间的距离．(2)已知线段OA上有点C且|AC|=9，当数轴上有点P满足PB=2PC时，求P点对应的数．(3)在（2）的条件下，点P第一次向右移动1个单位长度，第二次向左移动3个单位长度，第三次向右移动5个单位长度第四次向左移动7个单位长度，点P能移动到与A或B重合的位置吗？若都不能，请直接回答．若能，请指出，第几次移动与哪一点重合？【答案】(1)15(2)-1或7(3)能，当P从-1出发时，第4次移动后与点B重合，第11次移动后与点A重合；当P从7出发时，第3次移动后与点A重合，第12次移动后与点B重合【解析】【分析】（1）根据非负性求出a、b的值，进而得出A、B两点的距离；（2）设P对应的数是x，根据条件PB=2PC，列出方程，求出P对应的数；（3）分别针对第（2）问的两种结果，探究点P移动的位置，得出结论．(1)解：由题可知a=10，b=-5，A、B位置如图所示：AB=10-（-5）=15；(2)解：∵点C在线段OA上，且|AC|=9，∴点C对应的数是：10-9=1，设点P对应的数是x，则当P在点B左侧时，PB<PC，此种情况不成立，当P在线段BC上时，x-（-5）=2（1-x），x=-1，当P在点C右侧时，x-（-5）=2（x-1），x=7，∴点P对应的数是-1或7；(3)解：设点P第n次移动后表示的数为Pn,，①当点P对应的数是-1时，则P1=-1+1=0，P2=0-3=-3，P3=-3+5=2，P4=2-7=-5，…，∴n为奇数时，Pn=n-1，n为偶数时，Pn=-（n+1），∵点B表示的数是-5，点A表示的数是10，∴P点第4次移动后与点B重合，第11次移动后与点A重合；②当点P对应的数是7时，则P1=7+1=8，P2=8-3=5，P3=5+5=10，P4=10-7=3，…，∴n为奇数时，Pn=n+7，n为偶数时，Pn=-（n-7），∵点B表示的数是-5，点A表示的数是10，∴P点第3次移动后与点A重合，第12次移动后与点B重合，综上所述，当P从-1出发时，第4次移动后与点B重合，第11次移动后与点A重合；当P从7出发时，第3次移动后与点A重合，第12次移动后与点B重合．【点睛】本题考查了非负数的性质，两点间的距离，图形类规律探究，一元一次方程的应用，以及数轴上的动点问题，解决本题的关键在于平方数和绝对值的非负性，求出a、b以及分类思想的应用．5．已知，A、B在数轴上对应的数分别用a、b表示，且（a-20）2+|b+10|=0，P是数轴上的一个动点．（1）在数轴上标出A、B的位置，并求出A、B之间的距离；（2）已知线段OB上有点C且|BC|=6，当数轴上有点P满足PB=2PC时，求P点对应的数；（3）动点P从原点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度，……．点P能移动到与A或B重合的位置吗？若不能，请直接回答；若能，请直接指出，第几次移动，与哪一点重合．【答案】（1）数轴见解析，30；（2）P点对应的数为-6或2．（3）第20次P与A重合.【解析】【分析】（1）先根据非负数的性质求出a，b的值，在数轴上表示出A、B的位置，根据数轴上两点间的距离公式，求出A、B之间的距离即可；（2）设P点对应的数为x，当P点满足PB=2PC时，分三种情况讨论，根据PB=2PC求出x的值即可；（3）根据第一次点P表示-1，第二次点P表示2，点P表示的数依次为-3，4，-5，6…，找出规律即可得出结论．【详解】（1）∵（a-20）2+|b+10|=0，∴a=20，b=-10，∴AB=20-（-10）=30，数轴上标出A、B得：（2）∵|BC|=6且C在线段OB上，∴xC-（-10）=6，∴xC=-4，∵PB=2PC，当P在点B左侧时PB＜PC，此种情况不成立，当P在线段BC上时，xP-xB=2（xc-xp），∴xp+10=2（-4-xp），解得：xp=-6；当P在点C右侧时，xp-xB=2（xp-xc），xp+10=2xp+8，xp=2．综上所述P点对应的数为-6或2．（3）第一次点P表示-1，第二次点P表示2，依次-3，4，-5，6…则第n次为（-1）n•n，点A表示20，则第20次P与A重合；点B表示-10，点P与点B不重合．【点睛】本题考查的是数轴，非负数的性质以及同一数轴上两点之间的距离公式的综合应用，正确分类是解题的关键．解题时注意：数轴上各点与实数是一一对应关系．6．如图所示，在数轴上原点O表示数0，A点在原点的左侧所表示的数是a；B点在原点的右侧，所表示的数是b，并且a、b满足|a+8|+（b﹣4）2＝0．(1)点A表示的数a为；点B表示的数b为．(2)若点P从点A出发沿数轴向右运动，速度为每秒3个单位长度；点Q从点B出发沿数轴向左运动，速度为每秒1个单位长度，P、Q两点同时运动．①若P、Q在点C处相遇，求点C所表示的数．②在P、Q运动的过程中，当P、Q两点的距离为2个单位长度时，求运动时间．【答案】(1)﹣8，4；(2)①C所表示的数为：1；②运动时间为秒或秒【解析】【分析】（1）直接利用非负数的性质得出a，b的值，进而得出答案；（2）①直接利用两点之间的距离为12，进而得出等式求出答案；②直接利用两点相遇前或相遇后分析得出答案．(1)解：∵|a+8|+（b﹣4）2＝0，∴a+8＝0，b﹣4＝0，解得：a＝﹣8，b＝4，故答案为：﹣8，4；(2)①设x秒时两点相遇，则3x+x＝4﹣（﹣8），解得x＝3，即3秒时，两点相遇，此时点C所表示的数为：﹣8+3×3＝1；②当两点相遇前的距离为2个单位长度时，3x+x＝10，解得：x，当两点相遇后的距离为2个单位长度时，3x+x＝14，解得：x，综上所述，运动时间为秒或秒．【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，熟练掌握两点之间距离以及绝对值的性质，正确分类讨论是解题关键．7．在一条不完整的数轴上从左到右有点，其中点到点的距离为3，点到点的距离为7，如图所示：设点所对应的数的和是．（1）若以为原点，则的值是．（2）若原点在图中数轴上，且点到原点的距离为4，求的值．（3）动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向终点移动，动点同时从点出发，以每秒1个单位的速度向终点移动，当几秒后，两点间的距离为2？（直接写出答案即可）【答案】（1）-17；（2）m=-5或-29；（3）1秒或5秒．【解析】【分析】（1）根据已知点A到点B的距离为3和点C到点B的距离为7求出即可；（2）分为两种情况，当O在C的左边时，当O在C的右边时，求出每种情况A、B、C对应的数，即可求出m；（3）分为两种情况，当P在Q的左边时，当P在Q的左边时，假如C为原点，求出P、Q对应的数，列出算式，即可求出t．【详解】（1）当以C为原点时，A、B对应的数分别为-10，-7，则m=-10+（-7）+0=-17，故答案为：-17；（2）当O在C的左边时，A、B、C三点在数轴上所对应的数分别为-6、-3、4，则m=-6-3+4=-5，当O在C的右边时，A、B、C三点在数轴上所对应的数分别为-14、-11、-4，则m=-14-11-4=-29，综上所述：m=-5或-29；（3）假如以C为原点，则A、B、C对应的数为-10，-7，0，Q对应的数是-（7-t），P对应的数是-（10-2t），当P在Q的左边时，[-（7-t）]-[-（10-2t）]=2，解得：t=1当P在Q的右边时，[-（10-2t）]-[-（7-t）]=2，解得：t=5，即当1秒或5秒后，P、Q两点间的距离为2．【点睛】此题考查一元一次方程的应用，数轴，列代数式，能求出符合的每种情况是解题的关键，注意要进行分类讨论．8．如图，已知数轴上点A表示的数为6，点B是数轴上在点A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．(1)数轴上点B表示的数是______；(2)运动1秒时，点P表示的数是______；(3)动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发，请完成填空：①当点P运动______秒时，点P与点Q相遇；②当点P运动______秒时，点P与点Q的距离为8个单位长度．【答案】(1)(2)0(3)①5；②1或9【解析】【分析】（1）点向左移动时，用点表示的数减去移动的距离，即可得到移动后点表示的数，利用点移动规律解答；（2）用6减去点P移动的距离即可得到点P表示的数；（3）①设点P运动t秒时，列方程6-6t=-4-4t，求解即可；②设点P运动x秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度，根据当Q在P点左边时，当P在Q的左边时，分别列方程求解．(1)解：点B表示的数为6-10=-4，故答案为：-4；(2)解：点P表示的数为，故答案为：0；(3)解：①设点P运动t秒时，由题意得：6-6t=-4-4t，解得：t=5，∴当点P运动5秒时，点P与点Q相遇，故答案为：5；②设点P运动x秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度，由题意得：当Q在P点左边时，4x+10-6x=8，解得：x=1，当P在Q的左边时，6x-（4x+10）=8，解得：x=9．故答案为：1或9．【点睛】此题考查数轴上两点之间的距离，数轴上动点问题，动点与一元一次方程，正确理解点的运动及表示点运动前后的数是解题的关键．9．已知数轴上两点A、B对应的数分别是6，﹣8，M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点出发速度为每秒1个单位长度，点N从点B出发速度为点M的3倍，点P从原点出发速度为每秒0.5个单位长度．（1）求A、B两点的距离为个单位长度．（2）若点M向右运动，同时点N向左运动，求经过多长时间点M与点N相距30个单位长度？（3）若点M、N同时向右运动，求经过多长时间点M、N相遇？并求出此时点N对应的数．（4）若点M、N、P同时都向右运动，当点M与点N相遇后，点M、P继续以原来的速度向右运动，点N改变运动方向，以原来的速度向左运动，求从开始运动后，经过多长时间点P到点M、N的距离相等？【答案】（1）14；（2）4；（3）7秒，此时N点对应的数是13；（4）秒或7秒或秒【解析】【分析】（1）由题意根据两点间的距离公式即可求出A、B两点的距离；（2）根据题意设经过x秒点M与点N相距30个单位，由点M从A点出发速度为每秒1个单位，点N从点B出发速度为M点的3倍，得出x+3x+14=30求解即可；（3）由题意根据追及问题即时间等于路程除以速度差求出点M、N相遇时间，进而代入时间得出点N对应的数；（4）根据题意设从开始运动后，相遇前经过t秒点P到点M、N的距离相等，或相遇后经过t秒点P到点M、N的距离相等，根据PM=PN列出方程，进而求解即可．【详解】解：（1）∵数轴上两点A、B对应的数分别是6，-8，∴A、B两点的距离为6-（-8）=14．故答案为：14；（2）设经过x秒点M与点N相距30个单位．依题意可列方程为：x+3x+14=30，解方程，得x=4．答：经过4秒点M与点N相距30个单位；；（3）点M与点N相遇的时间为14÷（3﹣1）=7秒，此时N点对应的数是﹣8+7×3=13；（4）点M与点N相遇的时间为14÷（3﹣1）=7秒，设从开始运动后，相遇前经过t秒点P到点M、N的距离相等．依题意可列方程为：0.5t-（-8+3t）=6+t-0.5t，解得t=，设从开始运动后，相遇后经过t秒点P到点M、N的距离相等．依题意可列方程为：（t+6）-0.5t=0.5t-[13-3（t-7）]，解得t=．所以秒或7秒或秒，点P到点M、N的距离相等.【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题和一元一次方程的应用，利用行程问题的基本数量关系，以及数轴直观解决问题即可．10．已知数轴上两点对应的数分别是，，为数轴上三个动点，点从点出发速度为每秒个单位，点从点出发速度为点的倍，点从原点出发速度为每秒个单位.若点向右运动，同时点向左运动，求多长时间点与点相距个单位？若点同时都向右运动，求多长时间点到点的距离相等？【答案】（1）5秒；（2）秒或秒【解析】【分析】（1）设经过x秒点M与点N相距54个单位，由点M从A点出发速度为每秒2个单位，点N从点B出发速度为M点的3倍，得出2x+6x+14=54求出即可；（2）首先设经过t秒点P到点M，N的距离相等，得出（2t+6）-t=（6t-8）-t或（2t+6）-t=t-（6t-8），进而求出即可．【详解】解：（1）设经过x秒点M与点N相距54个单位．依题意可列方程为：2x+6x+14=54，解方程，得x=5．

∴经过5秒点与点相距个单位．（2）设经过t秒点P到点M，N的距离相等．（2t+6）-t=（6t-8）-t或（2t+6）-t=t-（6t-8），t+6=5t-8或t+6=8-5t或∴经过秒或秒点到点的距离相等【点睛】此题主要考查了数轴、一元一次方程的应用，根据已知点运动速度得出以及距离之间的关系得出等式是解题关键．11．已知数轴上两点A，B对应的数分别是﹣10，8，P，Q，N为数轴上三个动点，点P从点A出发速度为每秒2个单位，点Q从点B出发，速度为点P的2倍，点N从原点出发，速度为每秒1个单位．（1）若P，Q两点不动，动点N是线段AB的三等分点时，点N所表示的数是；（2）若点P向左运动，同时点Q向右运动，求多长时间点P与点Q相距32个单位？（3）若点P，Q，N同时都向右运动求多长时间点N到点P和点Q的距离相等？【答案】（1）2或﹣4；（2）经秒点P与点Q相距32个单位；（3）经过0.5秒点N到P，Q两点的距离相等【解析】【分析】（1）根据A、B所表示的数可得AB＝18，再由动点N是线段AB的三等分点可得答案；（2）设经过t秒点P与点Q相距32个单位，由题意得P的运动距离+AB的长+Q的运动距离＝32，根据等量关系列出方程，再解即可；（3）设经过x秒点N到P，Q两点的距离相等，根据题意可得等量关系：P、N的距离＝N、Q的距离，根据等量关系列出方程，再解即可．【详解】解：（1）∵A，B对应的数分别是﹣10，8，∴AB＝18，∵动点N是线段AB的三等分点，∴N点表示的数为2或﹣4，故答案为：2或﹣4；（2）设经过t秒点P与点Q相距32个单位，由题意得：2t+18+4t＝32，解得，t＝，答：设经秒点P与点Q相距32个单位；（3）设经过x秒点N到P，Q两点的距离相等，由题意得：10﹣2x+x＝8﹣x+4x，解得，x＝0.5，答：经过0.5秒点N到P，Q两点的距离相等．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题关键是正确理解题意，找出等量关系，设出未知数，列出方程．12．已知代数式M＝（a﹣16）x3+20x2+10x+9是关于x的二次多项式，且二次项系数为b．如图，在数轴上有A、B、C三个点，且A、B、C三点所表示的数分别是a、b、c，已知AC＝6AB．（1）直接依次写出a、b、c的值：，，；（2）若动点P、Q分别从C、O两点同时出发，向右运动，且点Q不超过点A．在运动过程中，E为线段AP的中点，F为线段BQ的中点，若动点P的速度为每秒2个单位长度，动点Q的速度为每秒3个单位长度，则的值是；（3）若动点P、Q分别从A、B两点同时出发，都以每秒2个单位长度