《线性代数》第一章 n阶行列式

线性代数信息与统计学院第一章n阶行列式

第二节行列式的性质第四节克莱姆法则第三节行列式按行(列)展开

第一节行列式的概念

本章的基本要求与重难点深刻理解n阶行列式的定义。熟记行列式的性质。熟练掌握行列式的计算。重点：行列式的计算。难点：n阶行列式的计算。第1节行列式的概念行列式起源于解方程组引例方程组系数行列式称为二阶行列式。二阶行列式（determinant）给定a、b、c、d四个复数，称为二阶行列式。其中元素aij

的第一个下标i

为行标，第二个下标

j

为列标。即

aij

位于行列式的第i行第j列。为方便记主对角线副对角线二阶行列式的计算对角线法则例如说明1.行列式是一个数；2.计算规则：对角线法则；3.每一项都是不同行不同列的两个数相乘，前面的正负号不同；共有4.一行一列称为1阶行列式，记为5.二行二列称为2阶行列式三行三列称为3阶行列式

…

n行n列称为n阶行列式What’sthe三阶行列式?称为三阶行列式。可用下面的对角线法则记忆例1解按对角线法则，有例2证明证明：中，6项的行下标全为123，而列下标分别为在三阶行列式，共有；每一项都是不同行不同列的三个数相乘，前面的正负号不同123，231，312此三项均为正号132，213，321此三项均为负号为了给出n阶行列式的定义，下面给出全排列及其逆序数的概念及性质。Howtoexplainthen阶行列式？Inordertogivethedefinitionofthen阶行列式，wewillgivethefollowingdefinition!Pleasegivemeyourattention!!!!全排列及其逆序数定义由1，2，···，n

组成的有序数组称为一个n级全排列。（简称排列）记为j1j2

···jn.例如32541是一个5级全排列83251467是一个8级全排列3级全排列的全体共有6种，分别为123，231，312，132，213，321n级全排列的种数为定义在一个排列

中，若某个较大的数排在一个较小的数前面，即，

则称这两个数组成此排列的一个逆序。例如排列32514中

我们规定各元素之间有一个标准次序,n个不同的自然数，规定由小到大为自然排序（标准次序）。如：123…n

是自然排序排列的逆序数32514逆序逆序逆序定义一个排列j1j2

···jn中所有逆序的总数称为此排列的逆序数。记为（j1j2

···jn）例如

排列32514

中32514逆序数为31故此排列的逆序数为

(32541)=3+1+0+1+0=5.说明：

(1234…n)=01.分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数；2.这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.计算排列逆序数的方法步骤42531于是排列42531的逆序数为

7为奇数，称为奇排列5的前面没有比5大的数,其逆序数为0;3的前面比1大的数有3个,故逆序数为2;1的前面比1大的数有4个,故逆序数为4;例1(1)求排列42531的逆序数.解在排列42531中,4排在首位,逆序数为0;2的前面比2大的数只有一个4,故逆序数为1于是此排列的逆序数为4的前面比4大的数n-2,其逆序数为n-2;6的前面比6大的数有3个,故逆序数为n-3;…2n的前面比2n大的数有0个,故逆序数为0;解:共n个数

共n个数2的前面比2大的数只有一个n-1,故逆序数为n-1讨论奇偶性：定义（p2）:

排列的奇偶性逆序数为奇数的排列称为奇排列逆序数为偶数的排列称为偶排列.当时为偶排列；当时为奇排列.定义在排列中，将任意两个数对调，其余数不动，这种对排列的变换叫做对换．将相邻两个数对调，叫做相邻对换．例如3251431524231

321定理1

一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．证明设排列为对换与除外，其它元素的逆序数不改变.当时，的逆序数不变;经对换后的逆序数增加1,经对换后的逆序数不变，的逆序数减少1.因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.设排列为当时，现来对换与次相邻对换次相邻对换次相邻对换所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.n阶行列式的定义三阶行列式说明（1）三阶行列式共有6项，即项．（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．（3）在行标按顺序排列后，下列标排列的逆序数决定每项的“+、-”号，偶“+”、奇“-”．例如列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为偶排列奇排列（4）3阶行列式的一般项为：

为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和.说明：定义4(p3)二、n阶行列式规定一阶行列式其中

为行标排列的逆序数.阶行列式也可定义为事实上按行列式定义有记对于D中任意一项总有且仅有中的某一项与之对应并相等;反之,对于中任意一项也总有且仅有D中的某一项与之对应并相等,于是D与中的项可以一一对应并相等,从而其中是两个级排列，

为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和.注：n阶行列式的一般项为：更一般的我们有:定理（p7定理2）说明1、阶行列式是项的代数和;2、阶行列式的每项都是位于不同行、不同列个元素的乘积;3、一阶行列式不要与绝对值记号相混淆;4、的符号为思考题1.若n阶行列式D有一行(列)元素全为零,则D=?

例试判断是否都是六阶行列式中的项。解：故是六阶行列式中的项不是六阶行列式中的项几种行列式上三角行列式特点：主对角线以下的元素全为零。证明：上三角行列式解展开式中一般项是所以不为零的项只有例22.下三角行列式特点：对角线以上元素都是03.对角行列式特点：主对角线以外的元素都是0即行列式中不为零的项为逆序数：故例3计算行列式注：4.反对角行列式

解：行列式中不为零的项为逆序数：故练习：用定义计算行列式例5设证明证由行列式定义有由于所以故作业Yaobuyao?

第2节行列式的性质一、行列式的性质性质1

行列式与它的转置行列式相等说明：转置即行列互换行列位置相等.行列式称为行列式的转置行列式.

记证明按定义又因为行列式D可表示为故证毕例：例如性质2

互换行列式的两行（列）,行列式变号.证明设行列式是由行列式变换两行得到的,于是则有即当时,当时,推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.证明互换相同的两行，有故证毕互换第一，第二行，得：例如所以性质3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式.推论

行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．注：当k=-1时，例如所以第二列提取-5倍性质４

行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．证明第1行，第2行成比例性质5

若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.则D等于下列两个行列式之和：例如性质６

把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．例如例计算让第1列加到第3列，得让第2行乘以5加到第1行，得分析：利用性质把D化为上（下）三角行列式二、应用举例计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．例：计算行列式

分析：

第二列有一个0，先互换第二列第一列

记为c(1,2)

行row,简记r；列column简记c

行row,简记r；列column简记c

解：例2解综上可知，化三角形行列式的一般步骤如下将a11的下方化为0的过程中，若（1），则可通过换行（列）使（2）的下方化为0时，其它元素出现分数，则可通过性质“不漂亮”，即变化a11，以尽量避免出现分数.a22、a33……的下方化为0的过程依此类推.例3计算n阶行列式解将第都加到第一列得例3证明证明例4解第3节行列式按行（列）展开例如一、余子式与代数余子式在阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做元素的余子式，记作叫做元素的代数余子式．例如引理一个阶行列式，如果其中第行所有元素除外都为零，那末这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即．例如证当位于第一行第一列时,再证一般情形,得得中的余子式故得于是有定理３行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即证二、行列式按行（列）展开法则

（拉普拉斯展开定理）例1

计算行列式解按第1行展开，得方法2：按第2行展开例2计算

分析：第一行有2个零，按第一行展开

例3计算

解：

例4

总结：计算行列式最常用的两种方法1.化上（下）三角形法根据行列式的性质2.按某行某列展开→→降阶法先利用行列式的性质把原行列式的某行（列）的元素尽可能多地变为零，使该行（列）不为零的元素只有一个或两个；然后再按该行（列）展开降阶后进行计算。推论

行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证同理相同关于代数余子式的重要性质，可简记为例5

计算行列式解例6设

求第一行各元素的代数余子式之和

解：

例7范得蒙行列式例如例计算解：是3阶范得蒙行列式作业？第4节克莱姆法则课前复习余子式与代数余子式记作.划去后，留下来的阶行列式叫做元素的余子式，在阶行列式中，