控制工程第三章

自动控制原理课程的任务与体系结构第三章时间响应分析3.1时间响应及其组成3.3一阶系统3.4二阶系统3.6系统误差分析与计算3.2典型输入信号3.5高阶系统3.7函数在时间响应中的作用线性系统的时域分析(时间响应分析)时域法的作用和特点时域法是最基本的分析方法,学习复域法、频域法的基础

(1)直接在时间域中对系统进行分析校正，直观，准确；

(2)可以提供系统时间响应的全部信息；

(3)基于求解系统输出的解析解，比较烦琐。

稳：(基本要求)系统受脉冲扰动后能回到原来的平衡位置准:

(稳态要求）稳态输出与理想输出间的误差(稳态误差)要小快:

(动态要求)过渡过程要平稳，迅速

延迟时间t

d—阶跃响应第一次达到终值的50％所需的时间

上升时间t

r—阶跃响应从终值的10％上升到终值的90％所需的时间

有振荡时，可定义为从0到第一次达到终值所需的时间

峰值时间

t

p—阶跃响应越过终值达到第一个峰值所需的时间

调节时间

t

s—阶跃响应到达并保持在终值2％误差带内所需的最短时间

超调量

δ％—峰值超出终值的百分比线性系统时域性能指标

超调量σ%=AB100%时间td延迟h(t)t时间tr上升峰值时间tpBAh(t)t动态性能指标定义调节时间ts系统的时间响应分析时间响应及组成常系数线性微分方程的解的特点例1（课本）Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法3.1时间响应及其组成微分方程的解包括两部分：通解（自由响应）和特解（强迫响应）设系统的微分方程为方程的解为：通解自由响应瞬态响应特解强迫响应稳态响应设对应齐次微分方程的特征根Si(i=1、2……n)各不相同，则Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法3.1时间响应及其组成而y1(t)中包含两部分：由系统的初态引起的自由响应，称为零输入响应由输入引起的自由响应，称为零状态响应Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法3.1时间响应及其组成强迫响应零输入响应控制工程研究的往往就是系统的零状态响应若，则随着时间的增加，自由响应逐渐衰减，当时，自由响应趋于0，此时系统稳定，故自由响应又称为瞬态响应（暂态响应）。Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法3.1时间响应及其组成若，则随着时间的增加，自由响应逐渐增大，当时，自由响应也趋于无穷大，此时系统是不稳定的，自由响应不是瞬态响应（暂态响应）。而稳态响应一般就是强迫响应是大于0还是小于0，决定了自由响应是衰减还是发散，决定了系统稳定还是不稳定；而稳定时，的绝对值是大还是小，决定了自由响应是快速衰减还是慢速衰减，决定了系统是快速还是瞒速趋于稳定响应Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法3.1时间响应及其组成在很大程度上决定了自由响应的振荡情况，决定了系统的响应在规定时间内接近稳态响应的情况，影响着响应的准确性，也就是说系统的自由响应反映了系统的“稳、准、快”的性能。若线性定常微分方程的输入函数有导数项，即方程形式为：若输入仅为，对方程求导Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法3.1时间响应及其组成以作为新的输入函数，则作为新的输出函数也就是说此时所产生的输出为的导数故当以的n阶导数作为输入时，所产生的输出就为的n阶导数从系统的角度来说，对同一线性定常系统，若输入函数等于某函数的导函数，则该输入函数所引起的响应函数也就等于该函数的响应函数的导函数，即：

典型输入信号在时间域进行分析时，为了比较不同系统的控制性能，需要规定一些具有典型意义的输入信号建立分析比较的基础。这些信号称为控制系统的典型输入信号。第三章时域分析法3.2典型输入信号Collegeofmechanical&electronicengineering通常规定控制系统的初始状态为零状态。即在外作用加于系统之前，被控量及其各阶导数相对于平衡工作点的增量为零，系统处于相对平衡状态。

典型初始状态典型输入信号§3.1.2时域法常用的典型输入信号一阶系统一阶系统Ф(s)

标准形式及h(s)一阶系统动态性能指标

一阶系统单位阶跃响应的特点响应分为两部分

瞬态响应：表示系统输出量从初态到终态的变化过程（动态/过渡过程）

稳态响应：1表示时，系统的输出状态

，随时间的推移，指数增大，

且无振荡。，无稳态误差；Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法3.3一阶系统，即经过时间T，系统响应达到其稳态输出值的63.2%，从而可以通过实验测量惯性环节的时间常数T；

时间常数T反映了系统响应的快慢。通常工程中当响应曲线达到并保持在稳态值95%~98%时，认为系统响应过程基本结束。从而惯性环节的过渡过程时间为。Collegeofmechanical&electronicengineering

第三章时域分析法3.3一阶系统

一阶系统的单位脉冲响应xo(t)1/T0t0.368

1T斜率xo(t)TCollegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法3.3一阶系统

一阶系统单位脉冲响应的特点

xo

(0)=1/T,随时间的推移，xo(t)指数衰减；对于实际系统，通常应用具有较小脉冲宽度（脉冲宽度小于0.1T）和有限幅值的脉冲代替理想脉冲信号。

瞬态响应：

稳态响应：0Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法3.3一阶系统例1系统如图所示，现采用负反馈方式，欲将系统调节时间减小到原来的0.1倍，且保证原放大倍数不变，试确定参数Ko

和KH的取值。

例：一阶系统结构图如图3-45所示。要求系统闭环增益，调节时间s，试确定参数解由结构图写出闭环系统传递函数令闭环增益，得：令调节时间，得：。的值。

§3.2.3一阶系统的典型响应

r(t)R(s)C(s)=F(s)R(s)c(t)一阶系统典型响应

d(t)11(t)

t一阶系统的典型响应例2已知单位反馈系统的单位阶跃响应

试求闭环传函F(s),单位脉冲响应w(t),开环传函G(s)。

解．二阶系统传递函数标准形式及分类√ξ2-1S1,2=-ξωn±ωnS1,2=-ξωn-ωn=S1,2=±jωn0＜ξ＜1ξ＝1ξ＝0ξ＞1j0j0j0j0二阶系统单位阶跃响应-±j√1-ξ2

ωnS1,2=ωnξh(t)=1T2tT1T21e+T1tT2T11e+h(t)=1-(1+ωnt)e-ω

tnh(t)=1-cosωntj0j0j0j0T11T21ξ＞1ξ＝10＜ξ＜1ξ＝0sin(ωdt+β)e-ξωt

h(t)=√1-ξ211n过阻尼临界阻尼欠阻尼零阻尼

欠阻尼二阶系统（振荡环节）：0<

<1具有一对共轭复数极点：系统时域响应含有衰减的复指数振荡项：其中，称为有阻尼固有频率。Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法3.4二阶系统

临界阻尼二阶系统：

＝1具有两个相等的负实数极点：系统时域响应含有衰减项：

过阻尼二阶系统：

>1具有两个不相等的负实数极点：系统包含两类瞬态衰减分量：Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法3.4二阶系统

零阻尼二阶系统：

＝0具有一对共轭虚极点：

负阻尼二阶系统：

<0极点实部大于零，响应发散，系统不稳定。系统时域响应含有复指数振荡项：Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法3.4二阶系统不同阻尼比下，极点分布的情况Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法3.4二阶系统

二阶系统的单位阶跃响应

欠阻尼（0<

<1）状态

其中，Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法3.4二阶系统

欠阻尼二阶系统单位阶跃响应的特点

瞬态分量为振幅等于的阻尼

正弦振荡，其振幅衰减的快慢由

和

n决定。有阻尼固有频率；

振荡频率随

减小而加大,增加

可以降低振荡，但系统快速性降低。

一定时，n越大，瞬态响应分量衰减越迅速，系统响应快速性越好。

，无稳态误差；

Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法3.4二阶系统欠阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线5101500.20.40.60.811.21.41.61.82tpxo(t)

=0.2

=0.4

=0.6

=0.8tCollegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法3.4二阶系统

临界阻尼（

=1）状态

10txo(t)

特点

单调上升，无振荡、无超调；

0,)1(1)(³+-=-tettxtnonww，无稳态误差；

Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法3.4二阶系统

过阻尼（

>1）状态01txo(t)

特点

单调上升，无振荡，过渡过程时间长

，无稳态误差；

Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法3.4二阶系统

无阻尼（

=0）状态

210txo(t)

特点频率为

n的等幅振荡。0,cos1)(³-=tttxnowCollegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法3.4二阶系统

负阻尼（

<0）状态

0txo(t)-1<

<0t0xo(t)

<-1

-1<

<0：输出表达式与欠阻尼状态相同。

<-1：输出表达式与过阻尼状态相同。

特点：振荡发散

特点：单调发散

Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法3.4二阶系统

几点结论

二阶系统的阻尼比

决定了其振荡特性：Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法3.4二阶系统

<0时，阶跃响应发散，系统不稳定；

>1时，无振荡，过渡过程长；0<

<1时，有振荡，

愈小，振荡愈严重，

但响应愈快，

=0时，出现等幅振荡。Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法3.4二阶系统

一定时，n越大，瞬态响应分量衰减越迅速，即系统能够更快达到稳态值，响应的快速性越好。

工程中除了一些不允许产生振荡的应用，如指示和记录仪表系统等，通常采用欠阻尼系统，且阻尼比通常选择在0.4~0.8之间，以保证系统的快速性同时又不至于产生过大的振荡。Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法3.4二阶系统

二阶系统的性能指标

控制系统的时域性能指标

控制系统的性能指标是评价系统动态品质的定量指标，是定量分析的基础。系统的时域性能指标通常通过系统的单位阶跃响应进行定义。常见的性能指标有：上升时间tr、峰值时间tp、调整时间ts、最大超调量Mp、振荡次数N、稳态误差ess。Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法3.4二阶系统单位阶跃响应上升时间峰值时间调整时间稳态误差Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法3.4二阶系统

评价系统快速性的性能指标

上升时间tr(risetime)响应曲线从零时刻出发首次到达稳态值所需时间。对无超调(过阻尼)系统，上升时间一般定义为响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需的时间。

峰值时间tp(peaktime)响应曲线从零上升到第一个峰值所需时间。

Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法3.4二阶系统

调整时间ts(settlingtime)响应曲线到达并保持在允许误差范围（稳态值的2%或5%）内所需的时间。

最大超调量Mp(maximumovershoot)响应曲线的最大峰值与稳态值之差。通常用百分数表示：

评价系统平稳性的性能指标

Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法3.4二阶系统

振荡次数N在调整时间ts内系统响应曲线的振荡次数。实测时，可按响应曲线穿越稳态值次数的一半计数。稳态误差ess

系统进入稳态后期望值与实际值之差。

评价系统准确性的性能指标

Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法3.4二阶系统

欠阻尼二阶系统的时域性能指标

上升时间tr根据上升时间的定义有：欠阻尼二阶系统的阶跃响应为：Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法3.4二阶系统从而：显然，

一定，

n越大，tr越小；

n一定，

越大，tr越大。即：Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法3.4二阶系统

峰值时间tp，并将t=tp代入可得：

令即：

Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法3.4二阶系统根据tp的定义解上方程可得：

可见，峰值时间等于阻尼振荡周期的一半。且

一定，

n越大，tp越小；

n一定，

越大，tp越大。Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法3.4二阶系统

最大超调量Mp显然，Mp仅与阻尼比

有关。最大超调量直接说明了系统的阻尼特性。

越大，Mp越小，系统的平稳性越好，当

=0.4~0.8时，可以求得相应的Mp=25.4%~1.5%。Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法3.4二阶系统00.10.20.30.40.50.60.70.80.910102030405060708090100Mp

二阶系统Mp—

图Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法3.4二阶系统当

n一定时,

越大，ts越小。当

一定时，

n越大，ts越小，系统响应越快。当0<

<0.7时，

调整时间tsCollegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法3.4二阶系统

振荡次数NN仅与

有关。与Mp一样直接说明了系统的阻尼特性。

越大，N越小，系统平稳性越好。对欠阻尼二阶系统，振荡周期则2122xwpwp-==nddTCollegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法3.4二阶系统

二阶系统的动态性能由

n和

决定。

结论

一般选择在0.4~0.8之间，然后再调整

n以获得合适的瞬态响应时间。

一定，

n越大，系统响应快速性越好，tr、tp、ts越小。增加

可以降低振荡，减小超调量Mp和振荡次数N，但系统快速性降低，tr、tp增加；通常根据允许的最大超调量来确定

。Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法3.4二阶系统

例题1图a)所示机械系统，当在质量块m上施加f(t)=8.9N的阶跃力后，m的位移时间响应如图b)。试求系统的质量m

、弹性系数K,粘性阻尼系数C的值。

mf(t)KCxo(t)a)00.030.00292t/s13xo(t)/mtpb)Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法3.4二阶系统解：根据牛顿第二定律：其中，系统的传递函数为：Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法3.4二阶系统由于F(s)=L[f(t)]=L[8.9]=8.9/s，因此根据拉氏变换的终值定理：

K=8.9/0.03=297N/mKKCsmsssXxsoso9.89.8lim)(lim)(200=++==¥®®由图b)知，因此：Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法3.4二阶系统又由图b)知：解得：

=0.6又由：代入

，可得

n=1.96rad/s根据解得m=77.3Kg，C=181.8Nm/sCollegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法3.4二阶系统

例题2已知单位反馈系统的开环传递函数为：

求K=200时，系统单位阶跃响应的动态性能指标。若K增大到1500或减小到13.5，试分析动态性能指标的变化情况。

Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法3.4二阶系统解：系统闭环传递函数为：1）K=200时

n=31.6rad/s，

=0.545Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法3.4二阶系统Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法3.4二阶系统2）K=1500时

n=86.2rad/s，

=0.2，同样可计算得：

tr=0.021s，tp=0.037s，Mp=52.7%ts=0.174s，N=2.34可见，增大K，

减小，

n提高，引起tp减小，Mp增大，而ts无变化Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法3.4二阶系统即系统可以视为由两个时间常数不同的一阶系统串联组成，其中

T1=0.481s,T2=0.0308s3）K=13.5时

n=8.22rad/s，

=2.1，系统工作于过阻尼状态，传递函数可以改写为：

Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法3.4二阶系统显然，ts比前两种情形要大得多，虽然系统无超调，但过渡过程缓慢。对于过阻尼系统，tp，Mp，N已无意义，而调整时间ts间可以通过其中时间常数大的一阶系统进行估算，即：

ts=3T1=1.443sCollegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法3.4二阶系统Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法3.5高阶系统*定义：用高阶微分方程描述的系统称为高阶系统。由于求高阶系统的时间响应很困难，所以通常总是将多数高阶系统化为一、二阶系统加以分析。通常对于高阶系统来说，离虚轴最近的一个或两个闭环极点在时间响应中起主导作用，而其他离虚轴较远的极点，他们在时间响应中相应的分量衰减较快，只起次要作用，可以忽略。这时，高阶系统的时域分析就转化为相应的一、二阶系统。这就是所谓的主导极点的概念，将在后面的章节中介绍。

控制系统的偏差与误差H(s)

Xi(s)Xo(s)B(s)

(s)G(s)

偏差信号

(s)

(s)=Xi(s)－B(s)＝Xi(s)－H(s)Xo(s)偏差信号

(s)定义为系统输入Xi(s)与系统反馈信号B(s)之差，即：Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法3.6系统误差分析与计算

误差信号E

(s)误差信号E(s)定义为系统期望输出Xor(s)与系统实际输出Xo(s)之差，即：E

(s)=Xor(s)－Xo(s)控制系统的期望输出Xor(s)为偏差信号

(s)

＝0时的实际输出值，即实际输出等于期望输出：

Xo(s)＝Xor(s)Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法3.6系统误差分析与计算H(s)

Xi(s)Xo(s)B(s)

(s)G(s)由：

(s)=Xi(s)－H(s)Xor(s)＝0可得：Xor(s)＝Xi(s)/H(s)

对于单位反馈系统，H(s)＝1，Xor(s)＝Xi(s)

偏差信号

(s)与误差信号E

(s)的关系对单位反馈系统：E(s)＝

(s)Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法3.6系统误差分析与计算系统在给定输入作用下的偏差传递函数为：

即：

稳态偏差系统的稳态误差及其计算Collegeofmechanical&electronicengineeringH(s)

Xi(s)Xo(s)B(s)

(s)G(s)第三章时域分析法3.6系统误差分析与计算当s

(s)的极点均位于s平面左半平面（包括坐标原点）时，根据拉氏变换的终值定理，有：Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法3.6系统误差分析与计算当sE(s)的极点均位于s平面左半平面（包括坐标原点）时，根据拉氏变换的终值定理，有：稳态误差：系统的期望输出与实际输出在稳定状态（）下的差值，即误差信号e(t)的稳态分量：

稳态误差(steady-stateerror)Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法3.6系统误差分析与计算稳态误差：对于单位反馈系统：显然，系统稳态偏差(误差)决定于输入Xi(s)和开环传递函数G(s)H(s)，即决定于输入信号的特性及系统的结构和参数。

Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法3.6系统误差分析与计算

例题已知单位反馈系统的开环传递函数为：

G(s)=1/Ts求其在单位阶跃输入、单位速度输入、单位加速度输入下的稳态误差。解：该单位反馈系统在输入作用下的误差传递函数为：Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法3.6系统误差分析与计算在单位阶跃输入下的稳态误差为：在单位速度输入下的稳态误差为：在单位加速度输入下的稳态误差为：Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法3.6系统误差分析与计算此例表明，输入信号不同，系统的稳态误差也不相同。

稳态误差系数

稳态位置误差（偏差）系数

Staticpositionerrorconstant单位阶跃输入时系统的稳态偏差称为稳态位置误差（偏差）系数。其中，Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法3.6系统误差分析与计算

稳态速度误差（偏差）系数

Staticvelocityerrorconstant单位速度输入时系统的稳态偏差称为稳态速度误差（偏差）系数。其中，对于单位反馈系统，易知：Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法3.6系统误差分析与计算

稳态加速度误差（偏差）系数

Staticaccelerationerrorconstant单位加速度输入时系统的稳态偏差称为稳态加速度误差（偏差）系数。其中，对于单位反馈系统，易知：Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法3.6系统误差分析与计算

结论当输入信号形式一定后，系统是否存在稳态误差取决于系统的开环传递函数。

对于单位反馈系统，易知：Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法3.6系统误差分析与计算

系统类型将系统的开环传递函数写成如下形式：

则：

Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法3.6系统误差分析与计算即系统的稳态偏差（误差）取决于系统的开环增益、输入信号以及开环传递函数中积分环节的个数v。根据系统开环传递函数中积分环节的个数，当v=0,1,2,…时，系统分别称为0型、I型、Ⅱ型、……系统。

Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法3.6系统误差分析与计算

不同类型系统的稳态误差系数及稳态误差

0型系统xi(t)xo(t)t0xi(t)xo(t)0型系统的单位阶跃响应Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法3.6系统误差分析与计算

I型系统xi(t)xo(t)t0xi(t)xo(t)I型系统的单位速度响应Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法3.6系统误差分析与计算

Ⅱ型系统xi(t)xo(t)t0xi(t)xo(t)II型系统的单位加速度响应Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法3.6系统误差分析与计算表1系统的稳态误差系数及稳态偏差00K

II型

00K

I型

00K0型单位加速度输入单位速度输入单位阶跃输入KaKvKp稳态偏差稳态误差系数系统类型Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法3.6系统误差分析与计算Collegeofmechanical&ele