典型例题：命题的否定中的一个易错点

命题的否定中的一个易错点在高二数学选修2-1中，我们学习了命题，其中对于命题的否定这一知识点，同学们处理的方式有所欠缺，有的是对命题的否定和否命题之间的区别把握不准，还有就是对命题的否定不全面，从而导致结果有所偏差。本文主要对于命题的否定中存在的一个易错点，和大家分享下，希望引起同学们的注意。首先，让我们来看一道逻辑用语中的习题：例：设函数fG）=.,W巨的定义域为a，若命题p:\5x2-a3eA与命题g:5eA有且只有一个为真命题，求实数a的取值范围。对于这道题目，同学给出了两种解法。解法1：由题意可知，p,g两个命题一真一假。可知，若p真g假，可知，若p真g假，I浩!2七Nv0〔125-aI3a-9八 v045-an<5a-9>0〔125-ap,g两个命题一真一假则需满足3兑<4：seO若p假g真，则需满足av-或a>1255a<3或a>45 「9\9/ 1*nae-、5<av125 [5,j二,3u（45,125）解法2：由题意命题p等价于｛^\3<av45｝，命题g等价于〔a|<av125若p真g假，则需满足3〈〃453<av45 -W-/pn-irm】、比t?lav9或a>125naeO若p假g真，则而满足〔5

-,3u[45,125)综上所述，a』9,31u[45,125)-,3u[45,125)综上所述，a』9,31u[45,125).- 5J，、5<av125aa』5、乍一看，两种解法都好像没有问题，为什么最终结果却不一样我们可以肯定，至少有一个解法是错误的，那么，到底那种解法是错的又错在哪里呢让我们来分析一下上述两种解法的思路，看能否从中找到破绽，通过仔细观察，不难发现，两种解法的本质区别在于：解法1中对命题的否定是直接改变命题中的不等式的符号方向得到的，而解法2中，对命题的否定是先求出原命题所满足的范围，然后将范围进行否定，从而得到否定形式所表示的范围。也就是说，两种解法在求命题的否定形式所表示的范围时采取了不同的方式：一种是先写写出否定形式，再求范围，另一种是先求范围，再对范围进行否定，从理论上讲，这两种方法都是对的，可为什么出现了上述不同的两种结果呢经过进一步的对比研究发现，其实解法1中对含不等式命题的否定不全面，从而导致了最终结果相差一个数字“45”。解法1中，命题p等价于3a一9>0，而它的否定形式被写成3a一9v0。45—a 45—a这个写法是有问题的，我们不妨从两个不等式所表示的范围来分析一下，3a—9 3a—9 >0o3<av45, v0oav3或a>45，45—a 45—a而我们知道，原命题与它的否定形式是对立的，也就是说，它们所表示的范围的并集应该是全集，而上述两种范围的并集并

非全集，正好缺一个数字“45”，看来我们已经找到了错误的根源。现在我们需要解决的问题应该就是，如何正确的对命题p:M>0进行否定其实，命题p包含了两层含义：一是分式45—a3a—9有意义，二是3a—9>0成立。因此，对于这个命题的否定应45—a 45—a该是3a—9v0或者分式3a—9无意义，即3a—9V0或a=9，那么现45—a 45—a 45—a在我们重新用解法1的思路进行求解。解法3：解法3：由题意可知，pq两个命题一真一假。p，q若p真q假，则需满足3<a3<a<45a<-或a2125=ae°545-a>5a—9 v0或a=1251125—a若p假q真，则需满足a<3或a>45 「-\9- »aa<3或a>45 「-\9- »a司-,3顼45,125)5<av125 L5J45—a _^jL>0I125—a综上所述，ag「?,3*〔45,125).L5J事实上，这个问题可以归结为含分式不等式的命题的否定，其实这个命题的否定中的一个误区，对于这类问题的否定，一定要注意，除了改变不等式的符号，还要加上分式无意义的情况，如果要彻底避免这类问题引