小学奥数之牛吃草问题解法

小学奥数之牛吃草问题解法6-1-10.牛吃草问题（一）讲课目的1.理解牛吃草这种题目的解题步骤，掌握牛吃草问题的解题思路.初步认识牛吃草的变式题，会将一些变式题与牛吃草问题进行差别与联系知识精讲英国科学家牛顿在他的《一般算术》一书中，有一道对于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长．后代把这种问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”．“牛吃草”问题主要波及三个量：草的数目、牛的头数、时间．难点在于跟着时间的增添，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定．“牛吃草”问题是小学应用题中的难点．解“牛吃草”问题的主要依据：①草的每天生长量不变；②每头牛每天的食草量不变；③草的总量草场原有的草量重生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值④重生的草量每天生长量天数．同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：⑴设定1头牛1天吃草量为“1；”⑴草的生长速度(对应牛的头数好多天数对应牛的头数较少天数)(好多天数较少天数)；⑴本来的草量对应牛的头数吃的天数草的生长速度吃的天数；⑴吃的天数本来的草量(牛的头数草的生长速度)；⑴牛的头数本来的草量吃的天数草的生长速度．“牛吃草”问题有好多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的实质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题．例题精讲模块一、一块地的“牛吃草问题”【例1】牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供多少头牛吃18周？【考点】牛吃草问题【难度】3星【题型】解答【重点词】比较思想方法【分析】设1头牛1周的吃草量为“1”，草的生长速度为(239276)(96)15，原有草量为(2715)672，可供72181519（头）牛吃18周【答案】19头牛【坚固】有一块匀速生长的草场，可供12头牛吃25天，或可供24头牛吃10天．那么它可供几头牛吃20天？【考点】牛吃草问题【难度】3星【题型】解答【重点词】比较思想方法【分析】设1头牛1天的吃草量为“1”那么，251015天生长的草量为1225241060，所以每天生长的草量为60154；原有草量为：24410200．20天里，草场共供给草200420280，能够让2802014头牛吃20天．【答案】14头牛【坚固】牧场有一片青草，每天长势相同，已知70头牛24天把草吃完，30头牛60天把草吃完，则头牛96天能够把草吃完．【考点】牛吃草问题【难度】3星【题型】填空【重点词】湖北省，创新杯，比较思想方法【分析】设1头牛1天的吃草量为“1，”那么每天重生长的草量为30607024602410，牧场3原有草量为10601600，要吃961030天，需要16009620(头)牛．33【答案】20头牛【坚固】一牧场放牛58头，7天把草吃完；若放牛50头，则9天吃完．假定草的生长量每天相等，每头牛每天的吃草量也相同，那么放多少头牛6天能够把草吃完?【考点】牛吃草问题【难度】3星【题型】解答【重点词】比较思想方法【分析】设1头牛1天的吃草量为1个单位，则每天生长的草量为：(509587)(97)22，原有草量为：509229252，(252226)664(头)【答案】64头牛【例2】青青一牧场，牧草喂牛羊；放牛二十七，六周密吃光。改养廿三只，九周走他方；若养二十一，可作几周粮？（注：“廿”的读音与“念”相同。“廿”即二十之意。）题目翻译过来是：一牧场长满青草，27头牛6个礼拜能够吃完，或许23头牛9个礼拜能够吃完。假如21头牛，要几个礼拜才能够吃完？（注：牧场的草每天都在生长）【考点】牛吃草问题【难度】3星【题型】解答【重点词】比较思想方法【分析】设1头牛1天的吃草量为“1”，27头牛吃6周共吃了276162份；23头牛吃9周共吃了239207份．第二种吃法比第一种吃法多吃了20716245份草，这45份草是牧场的草963周生长出来的，所以每周生长的草量为45315，那么原有草量为：16261572．供21头牛吃，如有15头牛去吃每周生长的草，剩下6头牛需要72612(周)可将原有牧草吃完，即它可供21头牛吃12周．【答案】12周【坚固】牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长．这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天．供头牛可吃几日？【考点】牛吃草问题【难度】3星【题型】解答【重点词】比较思想方法【分析】设1头牛1天的吃草量为“1，”10头牛吃20天共吃了1020200份；15头牛吃10天共吃了1510150份．第一种吃法比第二种吃法多吃了20015050份草，这50份草是牧场的草201010天生长出来的，所以每天生长的草量为50105，那么原有草量为：200520100．供25头牛吃，如有5头牛去吃每天生长的草，剩下20头牛需要100205(天)可将原有牧草吃完，即它可供25头牛吃5天．【答案】5天【例3】因为天气渐渐冷起来，牧场上的草不只不生长，反而以固定的速度在减少．已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天．照此计算，能够供多少头牛吃10天？【考点】牛吃草问题【难度】3星【题型】解答【重点词】比较思想方法【分析】设1头牛1天的吃草量为“1，”那么每天自然减少的草量为：2051566510，原有草量为：

2010

5150；10天吃完需要牛的头数是：

1501010

5(头)．【答案】5头【坚固】因为天气渐渐冷起来，牧场上的草不只不长，反而以固定的速度在减少。假如某块草地上的草可供25头牛吃4天，或可供16头牛吃6天，那么可供多少头牛吃12天？【考点】牛吃草问题【难度】3星【题型】解答【重点词】比较思想方法【分析】设1头牛1天吃的草为“1。”牧场上的草每天自然减少(254166)(64)2；本来牧场有草(252)4108，12天吃完需要牛的头数是：1081227(头)或(108122)127（头）。【答案】7头【例4】因为天气渐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少．经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天．那么，可供11头牛吃几日？【考点】牛吃草问题【难度】3星【题型】解答【重点词】比较思想方法【分析】设1头牛1天的吃草量为“1，”651天自然减少的草量为2051664，原有草量为：2045120．如有11头牛来吃草，每天草减少11415；所以可供11头牛吃120158(天)．【答案】8天【坚固】因为天气渐渐冷起来，牧场上的草不只不长，反而以固定的速度在减少。假如某块草地上的草可供25头牛吃4天，或可供16头牛吃6天，那么可供10头牛吃多少天？【考点】牛吃草问题【难度】3星【题型】解答【重点词】比较思想方法【分析】设1头牛1天吃的草为“1。”牧场上的草每天自然减少(254166)(64)2本来牧场有草(252)4108可供10头牛吃的天数是：108(102)9(天)。【答案】9天模块二、牛羊一同吃草的“牛吃草问题”【例5】一块匀速生长的草地，可供16头牛吃20天或许供100只羊吃12天．假如一头牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量，那么这块草地可供10头牛和75只羊一同吃多少天？【考点】牛吃草问题【难度】4星【题型】解答【重点词】比较思想方法【分析】设1头牛1天的吃草量为“1”因为一头牛一天吃草量等于，5只羊一天的吃草量，所以100只羊吃12天相当于20头牛吃12天．那么每天生长的草量为16202012201210，原有草量为：161020120．10头牛和75只羊1天一同吃的草量，相当于25头牛一天吃的草量；25头牛中，如有10头牛去吃每天生长的草，那么剩下的15头牛需要120158天能够把原有草量吃完，即这块草地可供10头牛和75只羊一同吃8天．【答案】

8天【坚固】有一片草场，草每天的生长速度相同。若14头牛30天可将草吃完，70只羊16天也可将草吃完(4只羊一天的吃草量相当于1头牛一天的吃草量)。那么，17头牛和20只羊多少天可将草吃完?【考点】牛吃草问题【难度】4星【题型】解答【重点词】希望杯，六年级，二试，第13题，比较思想方法【分析】“4只羊一天的吃草量相当于1头牛一天的吃草量”，所以能够设一只羊一天的食量为1，那么14头牛30天吃了144301680单位草量，而70只羊16天吃了16701120单位草量，所以草场在每天内增添了(16801120)(3016)40草量，本来的草量为11204016480草量，所以假如安排17头牛和20只羊，即每天食草88草量，经过10天，可将草吃完。【答案】10天【坚固】一片牧草，每天生长的速度相同。此刻这片牧草可供20头牛吃12天，或可供60只羊吃24天。假如1头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么12头牛与88只羊一同吃能够吃几日？【考点】牛吃草问题【难度】4星【题型】解答【重点词】比较思想方法【分析】设1头牛1天的吃草量为“1，”60只羊的吃草量等于15头牛的吃草量，88只羊的吃草量等于22头牛的吃草量，所以草的生长速度为(15242012)(2412)10，原有草量为(2010)12120，12头牛与88只羊一同吃能够吃120(122210)5（天）【答案】5天【坚固】一片旺盛的草地，每天的生长速度相同，此刻这片青草16头牛可吃15天，也同意供100只羊吃6天，而4只羊的吃草量相当于1头牛的吃草量，那么8头牛与48只羊一同吃，能够吃多少天?【考点】牛吃草问题【难度】4星【题型】解答【重点词】比较思想方法【分析】设１头牛１天的吃草量为“１”，摘录条件，将它们转变为以下形式方便分析16头牛15天16×15＝240：原有草量＋15天生长的草量100只羊（25头牛）6天25×6＝150：原有草量＋6天生长的草量从上易发现：1天生长的草量＝10；那么原有草量：150－10×6＝90；8头牛与48只羊相当于20头牛的吃草量，其中10头牛去吃重生草，那么剩下的10头牛吃原有草，90只要9天，所以8头牛与48只羊一同吃，能够吃9天。【答案】9天【例6】一片匀速生长的牧草，假如让马和牛去吃，15天将草吃尽；假如让马和羊去吃，20天将草吃尽；假如让牛和羊去吃，30天将草吃尽．已知牛和羊每天的吃草量的和等于马每天的吃草量．此刻让马、牛、羊一同去吃草，几日能够将这片牧草吃尽？【考点】牛吃草问题【难度】4星【题型】解答【重点词】比较思想方法【分析】设1匹马1天吃草量为“1，”依据题意，有：15天马和牛吃草量原有草量15天重生长草量⑴20天马和羊吃草量原有草量20天重生长草量⑴30天牛和羊(等于马)吃草量原有草量30天重生长草量⑴由(1)2(3)可得：30天牛吃草量原有草量，所以：牛每天吃草量原有草量30；由⑴可知，30天羊吃草量30天重生长草量，所以：羊每天吃草量每天重生长草量；设马每天吃的草为3份将上述结果带入⑴得：原有草量60，所以牛每天吃草量2．这样假仿佛时放牧牛、羊、马，能够让羊去吃重生长的草，牛和马吃原有的草，能够吃：2312(天)．【答案】12天【坚固】此刻有牛、羊、马吃一块草地的草，牛、马吃需要45天吃完，于是马、羊吃需要60天吃完，于是牛、羊吃需要90天吃完，牛、羊一同吃草的速度为马吃草的速度，求马、牛、羊一同吃，需多少时间?【考点】牛吃草问题【难度】4星【题型】解答【重点词】比较思想方法【分析】牛、马45天吃了原有45天新长的草⑴牛、马90天吃了2原有90天新长的草⑴马、羊60天吃了原有60天新长的草⑴牛、羊90天吃了原有90天新长的草⑴马90天吃了原有90天新长的草⑴所以，由⑴、⑴知，牛吃了90天，吃了原有的草；再联合⑴知，羊吃了90天，吃了90天新长的草，所以，能够将羊视为专门吃新长的草．所以，⑴知马60天吃完原有的草，⑴知牛90天吃完原有的草．此刻将牛、马、羊放在一同吃；仍是让羊吃新长的草，牛、马一同吃原有的草.11所需时间为1()36天.9060所以，牛、羊、马一同吃，需36天．【答案】36天模块三、“牛”吃草问题的变例【例7】林子里有猴子喜爱吃的野果，23只猴子可在9周内吃光，21只猴子可在12周内吃光，问假如要4周吃光野果，则需有多少只猴子一同吃？（假定野果生长的速度不变）【考点】牛吃草问题【难度】3星【题型】解答【重点词】比较思想方法【分析】设一只猴子一周吃的野果为“”，则野果的生长速度是(2112239)(129)15，原有的野果1为(2315)972，假如要4周吃光野果，则需有7241533只猴子一同吃【答案】33只猴子【例8】清晨6点，某火车进口处已有945名游客等候检票进站，此时，每分钟还有若干人前来进口处准备进站．这样，假如建立4个检票口，15分钟能够放完游客，假如建立8个检票口，7分钟能够放完游客．现要求5分钟放完，需建立几个检票口?【考点】牛吃草问题【难度】3星【题型】解答【重点词】比较思想方法【分析】设1个检票口1分钟放进1个单位的游客．⑴1分钟新来多少个单位的游客：(41587)(157)12⑴检票口开放时已有多少个单位的游客在等候：4×１５－1×15=52122⑴5分时间内检票口共需放进多少个单位的游客：521+1×5=555551122⑴建立几个检票口：(个)【答案】11个【坚固】某商场均匀每小时有60人排队付款，每一个收银台每小时能对付80人，某天某时段内，该超市只有一个收银台工作，付款开始4小时就没有顾客排队了，假如当时有两个收银台工作，那么付款开始__________小时就没有人排队了。【考点】牛吃草问题【难度】3星【题型】填空【重点词】2010年，希望杯，第八届，六年级，一试，第8题【分析】牛吃草问题。设1个收银员1小时办理1份（80人），⑴每小时新增人：603份，原有人数：80414341份，从2人中分出3来专门办理“新增草量”，则1(23)0.8（小时），⑴0.8444小时后就无人排队。【答案】0.8小时【坚固】2006年夏季，我国某地域受到了严重干旱，政府为认识决村名饮水问题，在山下的一眼泉水旁修了一个蓄水池，每小时有40立方米泉水注入池中。第一周开动5台抽水机2.5小时就把一池水抽完，接着第二周开动8台抽水机1.5小时就把一池水抽完。后出处于旱情严重，开动13台抽水机同时供水，请问几小时能够把这池水抽完？【考点】牛吃草问题【难度】3星【题型】填空【重点词】希望杯，六年级，二试，第14题【分析】一台抽水机一小时的抽水量为40×(2.5-1.5)÷(5×2.5-8×1.（5)=80立方米），池水的总量为2.5×(80×5-40)=900（立方米）。所以，使用13台抽水机，抽完池水需要的时间为900÷(80×13-40)=0.（9小时）。【答案】0.9小时【例9】一水库原有存水量必定，河水每天均匀入库.5台抽水机连续20天可抽干；6台相同的抽水机连续15天可抽干.若要求6天抽干，需要多少台相同的抽水机？【考点】牛吃草问题【难度】3星【题型】解答【重点词】比较思想方法【分析】水库原有的水与20天流入的水可供多少台抽水机抽1天？205100(台).水库原有的水与15天流入的水可供多少台抽水机抽1天？61590(台).每天流入的水可供多少台抽水机抽1天？(10090)(2015)2(台).原有的水可供多少台抽水机抽1天？10020260(台).若6天抽完，共需抽水机多少台？606212(台).【答案】12台【坚固】一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.假如10人淘水，3小时淘完；如5人淘水，8小时淘完.假如要求2小时淘完，要安排多少人淘水？【考点】牛吃草问题【难度】3星【题型】解答【重点词】比较思想方法【分析】设1人1小时淘出的水量是“1，”淘水速度是(58103)(83)2，原有水量(102)324，要求2小时淘完，要安排242214人淘水【答案】14人【坚固】北京密云水库建有10个泄洪洞，此刻水库的水位已经超出安全线，并且水量还在以一个不变的速度增添，为了防洪，需要调理泄洪的速度，假定每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若翻开一个泄洪闸，30个小时此后水位降至安全线；若同时翻开两个泄洪闸，10个小时后水位降至安全线．依据抗洪局势，需要用2个小时使水位降至安全线以下，则最少需要同时翻开泄洪闸的数目为多少个？【考点】牛吃草问题【难度】3星【题型】解答【重点词】比较思想方法【分析】本题是牛吃草问题的变形，假定每个泄洪洞每小时泄洪的量为1，则水库每小时增添的水量为(130210)(3010)0.5，原有的水量超出安全线的部分有(10.5)3015．假如要用2个小时使水位降至安全线以下，最少需要开1520.58个泄洪闸．【答案】8个【坚固】有一个蓄水池装了9根相同的水管，其中一根是进水管，其余8根是出水管．开始时，进水管以均匀的速度不断地向蓄水池灌水．此后，想翻开出水管，使池内的水所有排光．假仿佛时翻开8根出水管，则3小时可排尽池内的水；假如仅翻开5根出水管，则需6小时才能排尽池内的水．若要在4.5小时内排尽池内的水，那么应当同时翻开多少根出水管？【考点】牛吃草问题【难度】3星【题型】解答【重点词】希望杯,五年级,二试，比较思想方法【分析】设1根出水管1小时排水的量为“1”那么进水管每小时进水量为，5683632，池内原有水量为82318．要在4.5小时内排尽池内的水，应当同时翻开184.526根出水管．【答案】6根【例10】一个蓄水池装有9根水管，其中1根为进水管，其余8根为相同的出水管。开始进水管以均匀的速度不断地向这个蓄水池蓄水。池内注入了一些水后，有人想把出水管也翻开，使池内的水再所有排光。假如把8根出水管所有翻开，需要3小时可将池内的水排光；而若仅翻开3根出水管，则需要18小时。问假如想要在8小时内将池中的水所有排光，最少要翻开几根出水管？【考点】牛吃草问题【难度】4星【题型】解答【重点词】比较思想方法【分析】设1根排水管1小时排水为“”，进水速度为(31883)(183)2，原有水量为(82)318，1假如想要在8小时内将池中的水所有排光，最少要翻开18824.25根出水管，每根出水管1小时排水1份，又出水管的根数是整数，故最少要翻开5根出水管。【答案】5根【坚固】火车站的检票处检票前已有一些人等候检票进站，假如每分钟前来检票处排队检票的人数必定，那么当开一个检票口时，27分钟后就无人排队；当开两个检票口时，12分钟就无人排队．假如要在6分钟后就无人排队，那么最少需要开个检票口．【考点】牛吃草问题【难度】4星【题型】填空【重点词】学而思杯，5年级，第7题【分析】2711223，327120.2，27270.221.6，21.660.23.8，最少需要开四个检票口【答案】4个检票口【例11】库房里原有一批存货，此后连续运货进仓，且每天运进的货相同多。用相同的汽车运货出仓，假如每天用4辆汽车，则9天恰巧运完；假如每天用5辆汽车，则6天恰巧运完。库房里原有的存货若用1辆汽车运则需要多少天运完？【考点】牛吃草问题【难度】3星【题型】解答【重点词】比较思想方法【分析】设1辆汽车1天运货为“”，进货速度为(9456)(96)2，原有存货为(42)918，仓1库里原有的存货若用1辆汽车运则需要18118（天）【答案】18天【坚固】一个蓄水池，每分钟流入4立方米水.假如翻开5个水龙头，2小时半就把水池水放空，假如打开8个水龙头，1小时半就把水池水放空.此刻翻开13个水龙头，问要多少时间才能把水放空？【考点】牛吃草问题【难度】3星【题型】解答【重点词】比较思想方法【分析】列表分析以下：第一次：原有水+2.5小时的流入水=5个水龙头2.5小时的除去水第二次：原有水+1.5小时的流入水=8个水龙头1.5小时的除去水先计算1个水龙头每分钟放出水量.2小时半比1小时半多60分钟，多流入水4×60=240（立方米）.时间都用分钟作单位，1个水龙头每分钟放水量是240÷（5×150-8×）90=8（立方米），8个水龙头1个半小时放出的水量是8×8×，其90中90分钟内流入水量是4×90，所以本来水池中存有水8×8×90-4×90=（5400立方米）.翻开13个水龙头每分钟能够放出水8×13，除掉每分钟流入4，其余将放出原存的水，放空原存的5400，需要5400÷（8×13-）4=54（分钟）.所以翻开13个龙头，放空水池要54分钟.水池中的水，有两部分，原存有水与新流入的水，就需要分开考虑，解本题的重点是先求出池中原存有的水.这在题目中倒是隐含着的.【答案】54分钟【坚固】一只船发现漏水时，已经进了一些水，此刻水匀速进入船内，假如3人淘水40分钟能够淘完；6人淘水16分钟能够把水淘完，那么，5人淘水几分钟能够把水淘完？【考点】牛吃草问题【难度】3星【题型】解答【重点词】比较思想方法【分析】设1人1分钟淘出的水量是“1，”401624分钟的进水量为34061624，所以每分钟的进水量为24241，那么原有水量为：314080．5人淘水需要805120(分钟)把水淘完．【答案】20分钟【坚固】一个装满了水的水池有一个进水阀及三个口径相同的排水阀，假仿佛时翻开进水阀及一个排水阀，则30分钟能把水池的水排完，假仿佛时翻开进水阀及两个排水阀，则10分钟把水池的水排完．问：封闭进水阀并且同时翻开三个排水阀，需要多少分钟才能排完水池的水？【考点】牛吃草问题【难度】3星【题型】解答【重点词】比较思想方法【分析】设一个排水阀1分钟排水量为“1”那么进水阀，1分钟进水量5，水池原有水量为10.53015．封闭进水阀并且同时翻开三个排水阀，需要1535(分钟)才能排完水池的水．【答案】5分钟【坚固】一个蓄水池有1个进水口和15个出水口，水从进水口匀速流入．当池中有一半的水时，假如打开9个出水口，9小时能够把水排空．假如翻开7个出水口，18小时能够把水排空．假如是一满池水，翻开所有出水口放水，那么经过时分水池恰巧被排空．【考点】牛吃草问题【难度】3星【题型】填空【重点词】比较思想方法【分析】本题是牛吃草问题的变形．设每个出水口每小时的出水量为1，则进水口每小时的进水量为：(71899)(189)5，半池水的量为：(95)936，所以一池水的量为72．假如翻开所有15个出水口，排空水池所需要的时间为72(155)7.2小时，即7小时12分钟．【答案】7小时12分钟【例12】因为环境恶化、天气变暖，官厅水库的水在匀速减少，为了保证水库的水量，政府决定从上游的壶流河水库以及册田水库分别向官厅水库进行调水，已知这两个水库的每个闸门放水量是相同的，假仿佛时翻开壶流河水库的5个闸门30小时能够使官厅水库水量达到本来的标准，假如同时翻开册田水库的4个闸门40小时能够使官厅水库水量达到本来的标准，假如24小时使官厅水库水量达到本来的标准，问需同时翻开两个水库的几个闸门?【考点】牛吃草问题【难度】3星【题型】解答【重点词】比较思想方法【分析】设1个闸门1小时的放水量为“1”那么每小时自然减少的水量为：，40430540301，实质注入水量为：5130120；24小时蓄水需要翻开的闸门数是：1202416(个)．【答案】6个【例13】甲、乙、丙三个库房，各寄存着数目相同的面粉，甲库房用一台皮带输送机和12个工人，5小时可将甲库房内面粉搬完；乙库房用一台皮带输送机和28个工人，3小时可将库房内面粉搬完；丙库房现有2台皮带输送机，假如要用2小时把丙库房内面粉搬完，同时还要多少个工人？(每个工人每小时工效相同，每台皮带输送机每小时工效也相同，其余皮带输送机与工人一同往外搬运面粉)【考点】牛吃草问题【难度】3星【题型】解答【重点词】比较思想方法【分析】设1人1小时搬运的份数为“1，”那么一台皮带运输机1小时的工作量为2831255312，每个库房寄存的面粉总量为：12125120．那么,丙库房现有2台皮带输送机，假如要用2小时把丙库房内面粉搬完，需要120212236(人)．【答案】36人【例14】画展8:30开门，但早有人来排队入场，从第一个观众抵达时起，若每分钟来的观众相同多，假如开3个入场口，9点就不再有人排队；假如开5个入场口，8点45分就没有人排队。求第一个观众抵达的时间。【考点】牛吃草问题【难度】3星【题型】解答【重点词】比较思想方法【分析】设每分钟1个进口进入的人数为1个单位。8:30到9:00共30分钟3个进口共进入33090。8:30到8:45共15分钟5个进口共进入51575，15分钟到来的人数907515，每分钟到来15151。8：30从前原有人33013060。所以应排了60160（分钟），即第一个来人在7：30【答案】7：30【坚固】画展9点开门，但早有人来排队入场，从第一个观众抵达时起，若每分钟来的观众相同多，假如开3个入场口，9点9分就不再有人排队；假如开5个入场口，9点5分就没有人排队．求第一个观众抵达的时间．【考点】牛吃草问题【难度】3星【题型】解答【重点词】比较思想方法【分析】假如把入场口看作为“牛”，开门前原有的观众为“原有草量”，每分钟来的观众为“草的增添快度”，那么本题就是一个“牛吃草”问题．设每一个入场口每分钟经过“1”人，那么份4分钟来的人为39552，即1分钟来的人为240.5，原有的人为：30.5922.5．这些人抵达画展，所用时间为22.50.545(分)．所以第一个观众抵达的时间为8点15分．谈论：从表面上看这个问题与“牛吃草”问题相离很远，但认真意会，题目中每分钟来的观众相同多，近似于“草的生长速度”，入场口的数目近似于“牛”的数目，问题就变为“牛吃草”问题了．解决一个问题的方法常常能解决一类问题，重点在于能否掌握了问题的实质．【答案】8点15分钟【例15】假定地球上重生成的资源增添快度是必定的，照此计算，地球上的资源可供110亿人生活年；或供90亿人生活210年。为了令人类能够不断繁衍，地球上最多能养活多少人？【考点】牛吃草问题【难度】3星【题型】解答【重点词】比较思想方法【分析】(9021011090)(21090)75亿人。

90【答案】

75亿人6-1-10.牛吃草问题（二）讲课目的3.理解牛吃草这种题目的解题步骤，掌握牛吃草问题的解题思路.初步认识牛吃草的变式题，会将一些变式题与牛吃草问题进行差别与联系知识精讲英国科学家牛顿在他的《一般算术》一书中，有一道对于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长．后代把这种问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”．“牛吃草”问题主要波及三个量：草的数目、牛的头数、时间．难点在于跟着时间的增添，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定．“牛吃草”问题是小学应用题中的难点．解“牛吃草”问题的主要依据：⑤草的每天生长量不变；⑥每头牛每天的食草量不变；⑦草的总量草场原有的草量重生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值⑧重生的草量每天生长量天数．同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：⑴设定1头牛1天吃草量为“1；”⑴草的生长速度(对应牛的头数好多天数对应牛的头数较少天数)(好多天数较少天数)；⑴本来的草量对应牛的头数吃的天数草的生长速度吃的天数；⑴吃的天数本来的草量(牛的头数草的生长速度)；⑴牛的头数本来的草量吃的天数草的生长速度．“牛吃草”问题有好多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的实质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题．例题精讲模块一、“牛”吃草问题的变例【例16】在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯．小强乘坐扶梯时，假如每秒向上迈一级台阶，那么他走过20级台阶后抵达地面；假如每秒向上迈两级台阶，那么走过30级台阶抵达地面．从站台到地面有级台阶．【考点】牛吃草问题【难度】3星【题型】填空【重点词】比较思想方法【分析】本题特别近似于“牛吃草问题”，如将题目改为：“在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯．小强乘坐扶梯时，假如每秒向上迈一级台阶，那么他走过20秒后抵达地面；假如每秒向上迈两级台阶，那么走过15秒抵达地面．问：从站台到地面有多少级台阶？”采纳牛吃草问题的方法，电梯20155秒内所走的阶数等于小强多走的阶数：21512010阶，电梯的速度为1052阶/秒，扶梯长度为20(12)60（阶）。【答案】60级【坚固】两个调皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒可走3级梯级，女孩每秒可走2级梯级，结果从扶梯的一端抵达另一端男孩走了100秒，女孩走了300秒。问：该扶梯共有多少级梯级？【考点】牛吃草问题【难度】3星【题型】解答【重点词】比较思想方法【分析】本题与牛吃草问题近似，其中扶梯的梯级总数相当于原有草量；而自动扶梯运转的速度则相当于草的增添快度。并且上楼的速度要分红两部分︰一部分是孩子自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度。自动扶梯的速度（女孩每秒走的梯级×女孩走的时间－男孩每秒走的梯级×男孩走的时间）÷（女孩走的时间－男孩走的时间）(23003100)(300100)1.5，自动扶梯的梯级总数＝女孩每秒走的梯级×女孩走的时间－自动扶梯的速度×女孩走的时间23001.5300600450150（级）所以自动扶梯共有150级的梯级。【答案】150级【坚固】自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个急性子的孩子嫌扶梯走的太慢，于是专家驶的扶梯上，男孩每秒向上走1梯级，女孩每3秒钟走2梯级。结果男孩用50秒抵达楼上，女孩用60秒抵达楼上。该楼梯共有多少级？【考点】牛吃草问题【难度】3星【题型】解答【重点词】比较思想方法【分析】该题属于草匀速减少的情况，扶梯的运转速度：(5016032)(6050)1。自动扶梯的梯级总数：50(11)100(级)【答案】100级【例17】小明从甲地步行去乙地，出发一段时间后，小亮有事去追赶他，若骑自行车，每小时行15千米，3小时能够追上；若骑摩托车，每小时行35千米，1小时能够追上；若开汽车，每小时行45千米，分钟能追上。【考点】牛吃草问题【难度】3星【题型】填空【重点词】比较思想方法【分析】本题是“牛吃草”和行程问题中的追及问题的联合．小明在312小时内走了15335110千米，那么小明的速度为1025(千米/时)，追及距离为155330(千米)．汽车去追的话需要：304553(小时)45(分钟)．【答案】45分钟4【例18】有固定速度行驶的甲车和乙车，假如甲车以此刻速度的2倍追赶乙车，5小时后甲车追上乙车；假如甲车以此刻速度的3倍追赶乙车，3小时后甲车追上乙车，那么假如甲车以此刻的速度去追赶乙车，问：几个小时后甲车追上乙车？【考点】牛吃草问题【难度】3星【题型】解答【重点词】比较思想方法【分析】分析知道甲车相当于“牛”，甲追赶乙的追及行程相当于“原有草量”，乙车相当于“重生长的草”．设甲车的速度为“1，”那么乙车532小时走的行程为25331，所以乙的速度为120.5，追及行程为：20.557.5．假如甲以此刻的速度追赶乙，追上的时间为：7.510.515(小时)．【答案】15小时【例19】快、中、慢三车同时从A地出发沿同一公路开往B地，途中有骑车人也在同方向前进，这三辆车分别用7分钟、8分钟、14分钟追上骑车人．已知快车每分钟行800米，慢车每分钟行600米，中速车的速度是多少？【考点】牛吃草问题【难度】3星【题型】解答【重点词】比较思想方法【分析】能够将骑车人与三辆车开始相差的距离看作原有草量，骑车人的速度看作草生长的速度，所以骑车人速度是：(600148007)(147)400(米/分)，开始相差的行程为：(600400)142800（米），因其中速车速度为：28008400750(米／分)．【答案】

750米/分【例

20】甲、乙、丙三车同时从A地出发到B地去．甲、乙两车的速度分别是每小时48千米．有一辆卡车同时从B地迎面开来，分别在它们出发后6小时、

60千米和每小时7小时、8小时先后与甲、乙、丙车相遇，求丙车的速度．【考点】牛吃草问题【难度】3星【题型】解答【重点词】比较思想方法【分析】相遇问题能够看作是草匀速减少的过程，全程看作是原有草量，卡车速度看作是草匀速减少的速度。所以卡车速度为：(606487)(76)24（千米/时），全程：(6024)6504（千米），丙车速度为：50482439（千米/时）【答案】39千米/小时【坚固】小新、正南、妮妮三人同时从学校出发到公园去．小新、正南两人的速度分别是每分钟20米和每分钟16米．在他们出发的同时，风间从公园迎面走来，分别在他们出发后6分钟、7分钟、分钟先后与小新、正南、妮妮相遇，求妮妮的速度．【考点】牛吃草问题【难度】3星【题型】解答【重点词】比较思想方法【分析】当小新细风间相遇时，正南落伍小新6201624(米)，依题意知正南细风间走这24米需要761(分钟)，正南细风间的速度和为：24124(米／分)，风间的速度为：24168(米／分)，学校到公园的距离为：247168(米)．所以妮妮的速度为：1688813(米／分)．【答案】13米/分钟【例21】小方用一个有洞的杯子从水缸里往三个相同的容积的空桶中舀水。第一个桶距水缸有1米，小方用3次恰巧把桶装满；第二个桶距水缸有2米，小方用4次恰巧把桶装满。第三个桶距水缸有3米，那么小方要多少次才能把它装满（假定小方走路的速度不变，水从杯中流出的速度也不变）【考点】牛吃草问题【难度】4星【题型】解答【重点词】比较思想方法【分析】小方装第二个桶比第一个桶多用了一杯水，同时多走了24135米路，所以从杯中流出的速度是150.2（杯/米），于是1桶水原有水量等于330.22.4杯水，所以小方要2.4(130.2)6次才能把第三个桶装满。【答案】6次【例22】有一个水池，池底存了一些水，并且还有泉水不断涌出。为了将水池里的水抽干，原计划调来8台抽水机同时工作。但出于节俭时间的考虑，实质调来了9台抽水机，这样比原计划节俭了8小时。工程师们测算出，假如最先调来10台抽水机，将会比原计划节俭12小时。这样，将水池的水抽干后，为了保持池中素来没有水，还应当最少留下台抽水机。【考点】牛吃草问题【难度】4星【题型】填空【重点词】比较思想方法，陈省身杯，五年级【分析】设每台抽水机每小时抽1个单位的水，原计划需要t小时抽完，则原计划8个小时抽的水量为8t9台抽水机时抽水量为9(t8)，10台抽水机时抽水量为10(t12)所以，8个小时的出水量为8t9(t8)72t，12个小时的出水量为8t10(t12)1202t，而泉水的出水速度是必定的，所以1202t1.5(72t)，解得t24，所以每小时出水量为(7224)86，所以需要留下台抽水机。【答案】6台抽水机

，6模块二、“牛”的数目发生变化【例23】有一牧场，17头牛30天可将草吃完，19头牛则24天能够吃完．现有若干头牛吃了卖掉了4头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完．问：本来有多少头牛吃草(草均匀生长【考点】牛吃草问题【难度】4星【题型】解答

6天后，)？【重点词】比较思想方法【分析】设

1头牛

1天的吃草量为“1”那么每天生长的草量为，

17301924

3024

9，原有草量为：

17

9

30240．现有若干头牛吃了那么原有草量需增添

6天后，卖掉了4头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完，假如不卖掉这428才能恰巧供这些牛吃8天，所以这些牛的头数为2408

4头牛，8940【答案】

(头)．40头【例24】某建筑工地动工前运进一批砖，动工后每天运进相同数目的砖，假如派15个工人砌砖墙，14天能够把砖用完，假如派20个工人，9天能够把砖用完，此刻派若干名工人砌了6天后，调走6名工人，其余工人又工作4天才砌完，问本来有多少工人来砌墙？【考点】牛吃草问题【难度】4星【题型】解答【重点词】比较思想方法【分析】动工前运进的砖相当于“原有草量”，动工后每天运进相同的砖相当于“重生长的草”，工人砌砖相当于“牛在吃草”．所以设1名工人1天砌砖数目为“1”，那么每天运来的砖原有砖的数目为：15614126．此刻派若干名工人砌了6天后，调走6名工人，其余工人又工作4天才砌完，假如不调走6名工人，那么这些工人共砌10天可砌完12661064210，所以原有工人2101021名．【答案】21名【例25】一片草地，可供5头牛吃30天，也可供4头牛吃40天，假如4头牛吃30天，又增添了2头牛一同吃，还能够再吃几日？【考点】牛吃草问题【难度】4星【题型】解答【重点词】比较思想方法【分析】设1头牛1天的吃草量为“1，”那么每天生长的草量为44053040301，原有草量为：5130120．假如4头牛吃30天，那么将会吃去30天的重生长草量以及时原有草量还剩1209030，而牛的头数变为6，此刻就相当于：“原有草量1，那么6头牛吃几日可将它吃完？”易得答案为：30616(天)．

90原有草量，此30，每天生长草量【答案】

6天【例26】某建筑工地动工前运进一批砖，动工后每天运进相同数目的砖，假如派250个工人砌砖墙，6天能够把砖用完，假如派160个工人，10天能够把砖用完，此刻派120名工人砌了10天后，又增添5名工人一同砌，还需要再砌几日能够把砖用完？【考点】牛吃草问题【难度】4星【题型】解答【重点词】比较思想方法【分析】动工前运进的砖相当于“原有草量”，动工后每天运进相同的砖相当于“重生长的草”，工人砌砖相当于“牛在吃草”．所以设1名工人1天砌砖数目为“1”，那么每天运来的砖为【答案】

16010250610625，原有砖的数目为：2502561350．假如120名工人砌10天，将会砌掉10天新运来的砖以及950原有的砖，还剩1350原有的砖未用，变为1205125人来砌砖，还需要：400125254(天)．4天

950

400的【坚固】食品厂动工前运进一批面粉，动工后每天运进相同数目的面粉，假如派5个工人加工食品30天能够把面粉用完，假如派4个工人，40天能够把面粉用完，此刻派4名工人加工了30天后，又增添了2名工人一同干，还需要几日加工完？【考点】牛吃草问题【难度】4星【题型】解答【重点词】比较思想方法【分析】动工前运进的面粉相当于“原有草量”，动工后每天运进相同的面粉相当于“重生长的草”，工人加工食品相当于“牛在吃草”．设1名工人1天用掉面粉的量为“1，”那么每天运来的面粉量为44053040301，原有面粉量为：5130120．假如4名工人干30天，那么将会加工掉30天新运来的面粉量以及90原有的面粉量，原有还剩1209030未加工，此后变为6名工人，还需要30616(天)能够加工完．【答案】6天模块三、多块地的“牛吃草问题”【例27】东升牧场南面一块2000平方米的牧场上长满牧草，牧草每天都在匀速生长，这片牧场可供18头牛吃16天，或许供27头牛吃8天．在东升牧场的西侧有一块6000平方米的牧场，可供多少头牛吃6天？【考点】牛吃草问题【难度】4星【题型】解答【重点词】比较思想方法【分析】设1头牛1天的吃草量为“1”，那么2000平方米的牧场上1688天生长的草量为181627872，即每天生长的草量为7289．那么2000平方米的牧场上原有草量为：18916144．则6000平方米的牧场每天生长的草量为14460002000432．6天里，该牧场共供给牧草

96000200027；原有草量为：432276594，能够让594699(头)【答案】

牛吃6天．99头牛【坚固】有甲、乙两块匀速生长的草地，甲草地的面积是乙草地面积的3倍．30头牛12天能吃完甲草地上的草，20头牛4天能吃完乙草地上的草．问几头牛10天能同时吃完两块草地上的草？【考点】牛吃草问题【难度】4星【题型】解答【重点词】比较思想方法【分析】设1头牛1天的吃草量为“1，”因为甲草地的面积是乙草地面积的3倍，把甲草地分红面积相等的3块，那么每块都与乙草地的面积相等．因为30头牛12天能吃完甲草地上的草，相当于每块上的草由10头牛12天吃完．那么条件变换为“10头牛12天能吃完乙草地上的草，20头牛4天也能吃完乙草地上的草”，可知每天乙草地长草量为10122041245，乙草地原有草量为：205460；则甲、乙两块草地每天的重生长草量为5420，原有草量为：604

240．要

10天同时吃完两块草地上的草，需要

24010

2044(头)牛．【答案】

44头牛【例28】有一块1200平方米的牧场，每天都有一些草在匀速生长，这块牧场可供10头牛吃20天，或可供15头牛吃10天，还有一块3600平方米的牧场，每平方米的草量及生长量都与第一块牧场相同，问这片牧场可供75头牛吃多少天？【考点】牛吃草问题【难度】4星【题型】解答【重点词】比较思想方法【分析】设１头牛１天的吃草量为“１”，摘录条件，将它们转变为以下形式方便分析10头牛20天10×20＝200：原有草量＋20天生长的草量15头牛10天15×10＝150：原有草量＋10天生长的草量从上易发现：1200平方米牧场上20－10＝10天生长草量＝200－150＝50，即1天生长草量＝50÷10＝5；那么1200平方米牧场上原有草量：200－5×20＝100或150－5×10＝100。则3600平方米的牧场1天生长草量＝5×（3600÷1200）＝15；原有草量：100×（3600÷1200）＝300.75头牛里，如有15头牛去吃每天生长的草，剩下60头牛需要300÷60＝5（天）可将原有草吃完，即它可供75头牛吃5天。【答案】5天【例

29】有三块草地，面积分别为5公顷、15公顷和24公顷．草地上的草相同厚，并且长得相同快．第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天．问：第三块草地可供多少头牛吃80天？【考点】牛吃草问题【难度】4星【题型】解答【重点词】比较思想方法【分析】(法1)设1头牛1天吃草量为“1，”第一块草地可供10头牛吃30天，说明1公顷草地30天供给1030560份草；第二块草地可供28头牛吃45天，说明1公顷草地45天供给28451584份草；所以1公顷草地每天重生长的草量为846045301.6份，1公顷原有草量为601.63012．24公顷草地每天重生长的草量为1.62438.4；24公顷草地原有草量为1224288．那么24公顷草地80天可供给草量为：28838.4803360，所以共需要牛的头数是：33608042(头)牛．(法2)此刻是3块面积不一样样的草地，要解决这个问题，也能够将3块草地的面积一致同来．因为5,15,24120，那么题中条件可转变为：120公顷草地可供240头牛吃30天，也可供224头牛吃45天．【答案】

设1头牛1天的吃草量为“1，”那么120公顷草地每天重生长的草量为22445240304530192，120公顷草地原有草量为240192地可供144080192210(头)牛吃80天，那么24公顷草地可供210542头牛

301440．120公顷草42(头)牛吃80天．【坚固】三块牧场，场上的草长得相同密，并且长得相同快，它们的面积分别是3公顷、10公顷和24公顷．第一块牧场饲养12头牛，能够保持4周；第二块牧场饲养25头牛，能够保持8周．问第三块牧场上饲养多少头牛恰巧能够保持18周？【考点】牛吃草问题【难度】4星【题型】解答【重点词】比较思想方法【分析】设1头牛1周吃草量为“1．”第一块牧场饲养12头牛，能够保持4周，相当于1公顷牧场可供4头牛吃4周；第二块牧场饲养20头牛，能够保持8周，相当于1公顷牧场可供2.5头牛吃8周．那么1公顷牧场1周重生长的草量为2.5844841，1公顷牧场原有草量为41412．24公顷牧场每天重生长的草量为18周，需要饲养：288182440(头)牛．【答案】40头牛

124

24，原有草量为

12

24

288，若想保持【坚固】17头牛吃28公亩的草，84天能够吃完；22头牛吃相同牧场33公亩的草54天可吃完，几头牛吃相同牧场40公亩的草，24天可吃完？(假定每公亩牧草原草量相等，且匀速生长)【考点】牛吃草问题【难度】4星【题型】解答【重点词】比较思想方法【分析】设1头牛1天吃1份牧草，22头牛54天吃掉54221188份，说明每公亩牧场54天供给11883336份牧草；17头牛84天吃掉17841428份，说明每公亩牧场84天供给14282851份牧草．每公亩牧场845430天多供给513615份牧草，说明每公亩牧场每天的牧草生长量为15300.5份，原有草量为510.5849份．假如是40公亩的牧场，原有草量为940360份，每天新长出0.54020份，24天共供给牧草3602024840份，可供8402435头牛吃24天．【答案】

35头牛【坚固】有三片牧场，场上草长得相同密，并且长得相同快．它们的面积分别是

31公顷、10公顷和

24公3顷．已知12头牛4礼拜吃完第一片牧场的草，21头牛9礼拜吃完第二片牧场的草，那么多少头牛18礼拜才能吃完第三片牧场的草?【考点】牛吃草问题【难度】4星【题型】解答【重点词】比较思想方法【分析】因为三片牧场的公顷数不一致，给计算带来困难，假如将其均转变为1公顷时的情况．原条件：

31公顷

12头牛

4礼拜310公顷

21头牛

9礼拜转变：相当于把

31公顷草地切割成

31块，每块一公顷，有

3.6头牛来吃，所以吃的时间不变，3

3相当于把10公顷草地切割成10块，每块一公顷，有1公顷3.6头牛4礼拜3.6×4＝14.4：1公顷原有草量＋4礼拜1公顷重生草量1公顷2.1头牛9礼拜2.1×9＝18.9：

2.1头牛来吃，所以吃的时间不变【答案】

1公顷原有草量＋9礼拜1公顷重生草量分析得：1天1公顷重生草量＝（18.9－14.4）÷（9－4）＝0.9；1公顷原有草量＝14.4－0.9×4＝10.8；24公顷1天重生草量＝0.9×24＝21.6；24公顷原有草量＝10.8×