导数在研究函数中应用

1（1）f(x)=x3+3x（2）f(x)=sinx-x，x˛(0,p)（3）f(x)=x-1x 5.3-4f(x)sinxxx˛(0,pf(xsinxx在(0,p5.3-4（2）f(x)=11x˛(-¥0)¨(0,+¥x(x)

>0f(x=11在区间(-¥0)和(0,+¥5.3-4（3）x2f¢(x)x=1x4f¢x)=0f(x图象的大致形)x<1x4f¢x0f(x在区间(-¥,1)和(4,+¥上都单调递)点”．综上，函数f(x)图象的大致形状如图5.3-5所示．调递减，在(0,+¥)上单调递增.f¢x2x20x>1f¢x2x20xf(x在(1,+¥上单调递增，在(-¥,1)单调递减f(x在(0,+¥上单调递增，在(-¥0)单调递减f(xax2bxcf(x的单调区间即可f¢x2axb(a0)f¢x0xb 当a0f¢(xx<-

当a<0时，f¢(x)单调递减，则x<- a0f(x在(-¥,b(

a<

f(x

))axbf(xxbf(x的左右导数不相等，故此处不可导例 求函数f(x)=1x3-1x2-2x+1的单调区间 fx)1x31x22x+1的定义域为Rf(x x2f＋0—0＋ff(-1)=6f =-f(x在(-¥-1)和(2,+¥上单调递增，在(-1,2)5.3-6所4x0f(xlnxg(x)=115.3-8xf(x)g(x的图象与C1C2f(xlnxg(x)=11xf¢(x)=1，g¢(x)=1 x=1f¢x)g¢x)=1；g)f(xg(x在(0,+¥上都是增函数．在区间(0,1g(xf的图象要“陡峭”；在区间(1,+¥g(xf(x的图象要“平缓”．f(x)g(x的图象依次是图5.3-8中的C2C1．ff

=x3-x2-x)（2）f(x的单调递减区间为(1,1)，单调递增区间为(-¥1和(1,+¥ 【详解】(1)fx3xx3f(x3-3x23(1x)(1x，f'(x)=0x=1x1，f(x的单调递减区间为(-¥-1)和(1,+¥，单调递增区间为(-1,1);(2)f(xx3x2xf(x3x22x-1(x-1)(3x+1)，f'(x)=0x=1x1，3f(x的单调递减区间为(1,1)3)单调递增区间为(-¥1和(1,+¥)3f(x2x36x27在区间(02,x˛(0,2)f¢x)6x2-12x0，对应区间的单调性，即可画出yf(x)图象的大致形状．)))axbf(xbxcf(xcxdf(xdxef(x5f(x1x34x43f(x1x34x43f¢(x)=x2-4=(x+2)(x-2)x2fx2f＋0—0＋f3-3f(-2)=283x2f(x4f(2)=-3f(x1x34x45.3-123fx=3x-

54，极大值为（4）f(12.1f¢x0xxx 1 + f-0+f↘-↗

f(x6x2x2的极小值为49，无极大值x-3+¥f+0-0+f↗↘-↗（3）fx6+12xx3Rf¢(x123x2x-22+¥f-0+0-f↘-↗↘（4）fx3xx3Rf¢(x3-3x2x(-¥，-11+¥f-0+0-f↘-↗2↘6f(x1x34x40,3350,3x2f(x1x34x434f(2)=-3f(0)=4，f(3)=1f(x1x34x40,34，最小值是4 f(x1x34x40,3上的图象（5.3-16）3 f(x)=6+12x-x，˛-3 20（2）] 可得f(x)的最小值为f )=6 --2=- f(-3)=-27+81=54，f3=27-81=-54f4=64-108=-44，f(-4)=-64+108=44 （3）f(x6+12xx，˛3,3f¢(x=123xf(2=6+24-8=22，f3=6+36-27=15，f(-1)=6-4+1=55 f(xf(22f318．f(xx-1lnx(x0)f(xx˛(0,+¥上单调性并f(xx-1lnx(x0)f¢(x=11，f¢(1=110 f(xf(1)=1-1-ln10x-1lnx0x˛(0,+¥x-1lnxx˛(0+¥得证.7f(x(x+1)exf(xf(xf(xf(xa(a˛R数．解：（1）x˛R．+)ex=ex+(x=(x+2)exxfxf—0＋f-f(x在区间(-¥-2)上单调递减，在区间(-2,+¥上单调递增．x2f(x)f(-2)1．x1f(x0x1f(x0f(xA-2,1B(-1,0)C(0,1) e2 f(x)=x+1fi0（3）fxa(a˛Ryf(xya的交点个f(x)a(a˛R的解的个数有如下结论：当a<-10个；当a当a

或a018某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是0.8pr2制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm． 2y=f(r)=0.2·3pr3-0.8pr2=0.8p -

，0<r„6得r2．当r˛(0,2)f¢(r0；当r˛(2,6)f¢(r0因此，当半径r2f¢(r0f(r径r<2f¢(r0f(r半径为6cm半径为2cm时，利润最小，这时f(2)0，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子即可证明sinxx，进而画出yxysinx的图象.f(xx˛(0,pf(x)f(0)0xsinx0x˛(0,p上恒成立，则sinxxx˛(0,p得证如图，用铁丝围成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为am2．为使所4

-pr4 时r的值即可

pr22所以矩形的宽为2r，设矩形的长为h，则矩形的面积为2rhpr22rha，即hap， = (2+p)r=f(r

+(2p)rf(ra+(2prf(rr44

+(2+p)=2

r 所以函数f(r)在(0, )上单调递减，在( 所以当即r= 时，函数f(r)取得最小值.即圆的半径r （1）f(x=-2x+11 （2）f(x=x+cosx，x˛(0,p)fx=2x- （4）f(x=2x3+f¢x=1-sinx>0，x˛p

2 x˛(0上单调递增，即单增区间为(0 f¢x20x˛R上单调递增，即单增区间为(-¥+¥，无单减f（3）f

=x2+2x-=3x+

f（4）f

=2x2-3x+=x3+x2-x【答案】(1)单调减区间为(-¥-1)，单调增区间为(-1,+¥单调减区间为(-¥3，单调增区间为(3+¥ 单调增区间为(-¥-1)和(1+¥，单调减区间为(-11, （3（4）所以抛物线的对称轴为x1，f(x)2x2-3x3，所以抛物线的对称轴为x=3，4 (x)=0x1x13f(x)的单调增区间为(-¥-1)和

+¥，单调减区间为(11, 速度为0.f(xf(x（2）（3）（4）x˛(-¥x3f¢x0f(xx˛(x3x5，f¢x0f(xx˛(x5+¥f¢x0f(x单增；则函数f(xx3处取极大值；（1）f

=6x2+x+

（2）f(x=x3-12xf

f

=48x-（极小值-10；（4）-128，极大值128.∴x<-

)f(xf(147，无极大值 )x2f¢x)0f(x)单调递增；f(xf(-2)=16f(2)16))x2f¢x)0f(x)单调递增；f(xf(-2)22f(2)10)))增；x4f¢x)0f(x单调递减；f(xf(-4128f(4)=128（1）f（2）f

=6x2+x+2，x˛-=x3-12x，x˛-3, f(x=6-12x+x，˛-3f(x=48x-x3，x˛-3,

f(xf(x在区间内的最值

)

f(xx˛1,1f(16·(1)2+(1247 f(-1)=7，f(1)=9f(xx˛1,1上最大值为947)2x£3f¢x)0f(x)单调递增；f(xx˛3,3f(-2)=16f(2)16f(-3)=9，f(3)=-9f(xx˛3,3上最大值为16，最小值为-163f(xx

--

f(1

) )

)f(xx˛3,5f(4)=128f(-3117，f(5=115f(xx˛-3,5上最大值为128，最小值为-1172

l-+，利用导数求它的最小值，进而确定S l

∴两个正方形的面积和Sl

+(4-

2x-

=4x-2∴x

S¢=08 故当0x

<x

∴当2将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，做成一2a6所以方盒的容积V(a2x)2x(0xa；2V'(x)=-4(a-2x)x+(a-2x)2=(a-2x)(a-6x)=0(0<x<a26 1n1，2，3，…，nnx=ain1 nnf(x=(xain

1 1nf(x=(xain

xainn1 1 f¢x=2(xai2(x-ai n1n则当x 1 1 x˛ () 1 1nf(x=(xain

x=ai时，取得最小值nn【详解】先求出利 关 的函数关系式LpqC(251q)q-1004q1q221q-100,q˛(0,200),q=84 38y(1bx·40%)c(xac(5b4x)(xac[-4x2(4a5b)x5ab 8

5

88（1）ex>1+x，x„0（2）lnx<x<ex，x>0可证ex