适用于老高考新教材2023届高考数学二轮总复习专题六函数与导数课件

专题六函数与导数上篇内容索引010203高考小题突破8函数的图象与性质高考小题突破9基本初等函数、函数的应用高考小题突破10导数的简单应用04◎高考增分大题六导数的综合应用内容索引050607培优拓展导数应用中的函数构造培优拓展洛必达法则速求参数范围培优拓展双变量问题的转化08培优拓展极值点偏移问题考情分析1.从题型和题量上看,高考对本专题考查量多为一道压轴解答题和四道左右小题,题型覆盖全面,总体难度较大,分值占比较高,约在32~37分.2.从考查内容上看,小题主要考查函数的图象、性质,指数、对数的运算及大小比较,导数的几何意义,构造新函数解不等式等;解答题主要涉及利用导数研究函数的极值、最值、单调性等性质,函数的零点等,综合性强,有较好的区分度.3.核心素养:逻辑推理、数学运算、数学抽象等.备考策略1.夯实基础,掌握函数的图象和性质等基础性的重点知识,为解答综合性问题做好准备.2.理解并记忆一些必要的二级结论.本专题二级结论很多,如能掌握,对解答问题大有益处.3.重视一些扩充的解题技巧,如洛必达法则、隐零点问题、极值点偏移问题等.4.提升运算正确率.函数与导数综合题尤其是解答题,运算量很大,需要在平时备考中加以训练.真题感悟1.(2022·全国甲·文12)已知9m=10,a=10m-11,b=8m-9,则(

)A.a>0>b B.a>b>0C.b>a>0 D.b>0>a答案A

2.(2022·全国乙·理12)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7.若y=g(x)的图象关于直线x=2对称,g(2)=4,则

f(k)=(

)A.-21 B.-22 C.-23 D.-24答案D

解析

由g(x)的图象关于直线x=2对称,可知g(x)=g(4-x).∵f(x)+g(2-x)=5,∴f(-x)+g(2+x)=5.又g(2-x)=g(2+x),∴f(x)=f(-x).∵g(x)-f(x-4)=7,∴g(4-x)-f(-x)=7.又g(x)=g(4-x),∴f(x-4)=f(-x)=f(x).∴f(x)的周期为4.当x=0时,f(0)+g(2)=5,∴f(0)=5-g(2)=1,∴f(4)=f(0)=1.当x=2时,g(2)-f(-2)=7,∴f(-2)=g(2)-7=-3,∴f(2)=f(-2)=-3.当x=1时,f(1)+g(1)=5,g(1)-f(-3)=7,又f(-3)=f(1),∴g(1)-f(1)=7,∴f(1)=-1,∴f(-1)=f(1)=-1,∴f(3)=f(-1)=-1.3.(2021·全国乙·理10)设a≠0,若x=a为函数f(x)=a(x-a)2(x-b)的极大值点,则(

)A.a<b

B.a>b

C.ab<a2 D.ab>a2答案D

解析

因为f(x)=a(x-a)2(x-b),所以f'(x)=2a(x-a)(x-b)+a(x-a)2内,f'(x)<0,函数f(x)单调递减.此时a(a-b)<0,即a2<ab.综上可得a2<ab.故选D.4.(2021·全国甲·理13)曲线y=在点(-1,-3)处的切线方程为

.

答案

5x-y+2=0

(1)若f(x)≥0,求a的取值范围;(2)证明:若f(x)有两个零点x1,x2,则x1x2<1.f'(x)<0,f(x)单调递减,当x>1时,f'(x)>0,f(x)单调递增.则f(x)min=f(1)=e+1-a.要使得f(x)≥0恒成立,即满足f(x)min=e+1-a≥0,∴a≤e+1.故a的取值范围为(-∞,e+1].又x-1<0,∴F'(x)>0,∴F(x)在(0,1)上单调递增.又F(1)=f(1)-f(1)=0,(1)当a=2时,求f(x)的单调区间;(2)若曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点,求a的取值范围.(方法二

构造差函数)由曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点知f(x)=1,即xa=ax在区间(0,+∞)内有两个解,取对数得方程aln

x=xln

a在区间(0,+∞)内有两个根.当0<a<1时,ln

a<0,x∈(0,+∞),a-xln

a>0,g'(x)>0,g(x)在区间(0,+∞)内单调递增,所以g(x)在(0,+∞)内最多只有一个零点,不符合题意;当x→+∞时,有aln

x<xln

a,即g(x)<0,由函数g(x)=aln

x-xln

a在(0,+∞)内有两单调递增区间为(e,+∞),所以h(a)≥h(e)=0,当且仅当a=e时取等号,故h(a)>0的解为a>1且a≠e.所以实数a的取值范围为(1,e)∪(e,+∞).(方法三

分离法:一曲一直)知识精要1.函数的概念(1)求函数定义域的方法是依据使含自变量x的代数式有意义列出相应的不等式(组)求解.误区警示函数的定义域必须写成集合或区间的形式.(2)求函数的值域要优先考虑定义域,常用方法:配方法、分离常数法、换元法、单调性法、基本不等式法、数形结合法.2.函数的性质(1)奇偶性:①定义:若函数的定义域关于原点对称,则有:f(x)是偶函数⇔f(-x)=f(x);f(x)是奇函数⇔f(-x)=-f(x).②判断方法:定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数).(2)单调性的判断方法:定义法、图象法、导数法.这是函数具有奇偶性的重要前提

(3)周期性的常用结论:若f(x+a)=-f(x)或f(x+a)=±

(a≠0),则T=2a;若f(x+a)=f(x-b),则T=a+b;若f(x)的图象有两条对称轴直线x=a和直线x=b(a≠b),则T=2|b-a|;若f(x)的图象有两个对称中心(a,0)和(b,0)(a≠b),则T=2|b-a|(可类比正、余弦函数).等式中自变量x的系数同号

误区警示若f(x)是奇函数且在原点有定义,则f(0)=0;若函数f(x)是周期为T的奇函数,则必有f=0.3.函数的图象(1)函数图象的判断方法:①找特殊点;②看性质:根据函数性质判断图象的位置、对称性、变化趋势等;③看变换:看函数是由基本初等函数经过怎样的变换得到的.(2)若y=f(x)的图象关于直线x=a对称,则有f(a+x)=f(a-x)或f(2a-x)=f(x)或f(x+2a)=f(-x);若y=f(x)对∀x∈R都有f(a-x)=f(b+x),则f(x)的图象关于直线等式中自变量x的系数异号

(3)函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称,函数y=f(a-x)与y=f(b+x)的图象关于直线x=对称;y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称;y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点中心对称.(4)利用图象可解决函数的最值、方程与不等式的解以及求参数的取值范围等问题.4.指数运算与对数运算的常用结论

(4)对数值符号规律:已知a>0,且a≠1,b>0,则logab>0⇔(a-1)(b-1)>0;logab<0⇔(a-1)(b-1)<0.误区警示对数的倒数法则:logab=

(a,b>0,且a,b≠1).5.指数函数与对数函数的图象和性质

(1)指数型函数y=k·amx+n+p(a>0,且a≠1,m≠0)的图象经过的定点为,对数型函数y=k·loga(mx+n)+p(a>0,且a≠1,m≠0)的图象所经过的定点为

.

根据a0=1推知

根据loga1=0推知

(2)函数y=loga|x|(a>0,且a≠1)是偶函数,图象关于y轴对称,当a>1时,在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增;当0<a<1时,在区间(-∞,0)上单调递增,在区间(0,+∞)上单调递减.(3)函数y=|logax|(a>0,且a≠1)是非奇非偶函数,图象在x轴上方及x轴上,在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增.当0<a<1与a>1时结论相同

6.函数的零点问题(1)函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象交点的横坐标.(2)确定函数零点的常用方法:①直接解方程法;②利用零点存在性定理;③数形结合,利用两个函数图象的交点求解.误区警示函数的零点是一个实数,而不是几何图形.7.导数的几何意义函数f(x)在x=x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,即曲线f(x)在点P处的切线的斜率k=f'(x0),相应的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).误区警示求曲线的切线方程时,要注意是在点P处的切线还是过点P的切线,前者点P为切点,后者点P不一定为切点.8.利用导数研究函数的单调性(1)导数与函数单调性的关系.①f'(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件,如函数f(x)=x3在区间(-∞,+∞)上单调递增,但f'(x)≥0.②f'(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件,如函数f(x)在某个区间内恒有f'(x)=0,则f(x)为常数函数.(2)求单调区间(或证明单调性),只要在函数定义域内解(或证明)不等式f'(x)>0或f'(x)<0.(3)若f(x)在区间D上单调递增,转化为在区间D上f'(x)≥0恒成立;若f(x)在区间D上单调递减,转化为在区间D上f'(x)≤0恒成立(注意:f'(x)=0在区间D的任意子区间上不恒成立).注意带“=”

(4)若f(x)在区间D上存在单调递增区间,转化为f'(x)>0在区间D上有解;若f(x)在区间D上存在单调递减区间,转化为f'(x)<0在区间D上有解.

注意不带“=”9.利用导数研究函数的极值、最值(1)若f'(x0)=0,且在x0附近左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,则f(x0)为函数f(x)的极大值;若f'(x0)=0,且在x0附近左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,则f(x0)为函数f(x)的极小值.(2)设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,在区间(a,b)内可导,则f(x)在区间[a,b]上必有最大值和最小值,且在极值点或端点处取得.(3)若函数在开区间或无穷区间上有唯一的极值,则其即为相应的最值.

这个条件不可少

误区警示若函数的导数存在,则某点处的导数等于零是函数在该点取得极值的必要不充分条件,因此已知极值点求参数值时要注意检验.10.与ex,ln

x有关的常用不等式的结论(1)由在函数f(x)=ex图象上任一点(m,f(m))处的切线方程为y-em=em(x-m),得ex≥em(x+1)-mem,当且仅当x=m时,等号成立.当m=0时,有ex≥x+1;当m=1时,有ex≥ex.称为“切线放缩”

称为“切线放缩”误区警示不等式证明中两个常用的放缩不等式:ex≥x+1,ln

x≤x-1.高考小题突破8

考点一函数及其表示考向1函数的定义域与值域

A.M=N

B.M∩N=⌀C.M⊆N

D.N⊆M答案

(1)(-∞,0)∪(0,1]

(2)B

增分技巧确定函数定义域的基本方法(1)对于给出解析式的函数,其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合,只需构建不等式(组)求解即可.(2)对于复合函数,确定其定义域的一般步骤是:若已知f(x)的定义域为[a,b],则其复合函数f(g(x))的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求得.(3)对于含字母参数的函数,确定其定义域,要根据具体情况对字母参数进行分类讨论.答案

(1)(3,4)

(2)2

考向2分段函数及其应用典例突破2(1)(2022·湖南湘潭三模)已知a>0,且a≠1,函数增分技巧解决分段函数问题的基本策略(1)分类讨论:已知函数值(或范围)求自变量的值(或范围)时,常常先根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围,然后综合各段的结果即可求解.(2)数形结合:求解分段函数问题时,画出函数的图象,对代数问题进行转化,结合图形直观地分析判断,可以快速准确地解决问题.考点二函数的性质及应用考向1函数的周期性与奇偶性典例突破3(2021·全国甲·理12)设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,答案D

解析

∵f(x+1)是奇函数,∴f(-x+1)=-f(x+1).∴f(x+2)=f(x+1+1)=-f(-x).∴f(2-x)=f(1-x+1)=-f(x).∵f(x+2)是偶函数,∴f(x+2)=f(2-x),∴-f(-x)=-f(x),即f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数.∵f(x+4)=f[(x+2)+2]=f[-(x+2)+2]=f(-x)=f(x),∴函数f(x)的周期为4,∴f(3)=f(1)=0.∵f(0)=f(-1+1)=-f(1+1)=-f(2),∴f(0)=-f(2).∵当x∈[1,2]时,f(x)=ax2+b,∴由f(1)=0得a+b=0.∵f(0)+f(3)=6,∴f(0)=6,∴f(2)=-6.增分技巧函数奇偶性、周期性应用技巧(1)具有奇偶性的函数,在关于原点对称的区间上,函数值、单调性、图象都有密切的联系,可通过原点一侧图象对应函数的性质得出另一侧图象对应函数的性质.(2)根据函数的周期性,可以转化函数的解析式、图象、性质,将不在已知区间上的问题转化为已知区间上的问题进行求解.(3)函数的周期性往往通过奇偶性与对称性得到,当函数有两条对称轴(或两个对称中心、一条对称轴和一个对称中心)时,都能推出函数的周期,例如,若函数f(x)有一条对称轴为直线x=a和相邻的一个对称中心(b,0),则4|a-b|就是f(x)的一个周期.对点练3(2022·新高考Ⅱ·8)若函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1,则

f(k)=(

)A.-3 B.-2 C.0 D.1答案A

解析

令y=1,得f(x+1)+f(x-1)=f(x)·f(1)=f(x),即f(x+1)=f(x)-f(x-1).从而f(x+2)=f(x+1)-f(x),f(x+3)=f(x+2)-f(x+1).消去f(x+2)和f(x+1),得到f(x+3)=-f(x),从而f(x+6)=f(x),故f(x)的周期为6.令x=1,y=0,得f(1)+f(1)=f(1)·f(0),得f(0)=2,f(2)=f(1)-f(0)=1-2=-1,f(3)=f(2)-f(1)=-1-1=-2,f(4)=f(3)-f(2)=-2-(-1)=-1,f(5)=f(4)-f(3)=-1-(-2)=1,f(6)=f(5)-f(4)=1-(-1)=2,考向2函数的单调性与奇偶性典例突破4(1)(2022·广东茂名二模)已知f(x)=x-sinx,则不等式f(2m+1)+f(1-m)>0的解集为(

)A.(-∞,-2) B.(-2,+∞) C.(0,+∞) D.(-∞,0)(2)(2022·山东聊城二模)已知f(x)为R上的奇函数,f(2)=2,若对∀x1,x2∈(0,+∞),当x1>x2时,都有(x1-x2)[]<0,则不等式(x+1)f(x+1)>4的解集为(

)A.(-3,1)B.(-3,-1)∪(-1,1)C.(-∞,-1)∪(-1,1)D.(-∞,-3)∪(1,+∞)答案

(1)B

(2)B

解析

(1)由题意知f(x)的定义域为R,且f(-x)=-x+sin

x=-f(x),得f(x)为奇函数,且f'(x)=1-cos

x≥0,f'(x)=0在定义域的任意子区间上不恒成立,所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.由f(2m+1)+f(1-m)>0得f(2m+1)>f(m-1),即2m+1>m-1,解得m>-2.即x1f(x1)<x2f(x2),设g(x)=xf(x),则g(x)在(0,+∞)上单调递减,而g(x+1)=(x+1)f(x+1)>4=2f(2)=g(2),则0<x+1<2,解得-1<x<1.因为f(x)为R上的奇函数,所以g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x),则g(x)为R上的偶函数,故g(x)在(-∞,0)上单调递增,g(x+1)=(x+1)f(x+1)>4=g(-2),则-2<x+1<0,解得-3<x<-1.当x=-1时,(x+1)f(x+1)=0<4.综上,原不等式的解集为(-3,-1)∪(-1,1).增分技巧函数单调性与奇偶性应用中应注意的问题(1)判断函数的奇偶性,首先必须检验定义域是否关于原点对称,复合函数的奇偶性可回归到奇偶性的定义进行判断,分段函数的奇偶性,要分段讨论,也可以利用图象判断.(2)已知奇偶性求参数值时,一般利用奇、偶函数的定义,也可采用特殊值法.特别地,若函数f(x)是奇函数且在x=0处有定义,则可利用f(0)=0求得参数值.(3)奇偶性与单调性的应用主要涉及利用单调性求最值、进行大小比较、解抽象函数不等式等,解题时要注意几个方面:一是函数定义域的限制,二是函数单调性的判定,三是等价转化思想与数形结合思想的运用,如已知f(x)为偶函数且在区间[0,+∞)内单调递增,那么形如f(m)>f(n)的不等式均可转化为f(|m|)>f(|n|),从而有|m|>|n|,这样避免了分类讨论,可简化解题过程.对点练4(1)(2022·天津南开三模)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x)在[0,+∞)上单调递增,记,b=f(2.30.3),c=f(log210),则a,b,c的大小关系为(

)A.a<b<c B.c<a<bC.b<c<a D.a<c<b(2)(2022·重庆名校联盟模拟)已知函数f(x)=2|x|+x2-28,则不等式f(x2-3x)≤4的解集为

.

答案

(1)A

(2)[-1,4]

解析

(1)因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,所以

=f(log32),又因为0<log32<1,1<2.30.3<2.3,log210>3,且f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以f(log32)<f(2.30.3)<f(log210),即a<b<c.(2)函数f(x)的定义域为R,f(-x)=2|-x|+(-x)2-28=2|x|+x2-28=f(x),所以函数f(x)为偶函数,当x≥0时,f(x)=2x+x2-28单调递增.因为f(4)=24+42-28=4,则f(x2-3x)≤4=f(4),所以f(|x2-3x|)≤f(4),所以|x2-3x|≤4,所以-4≤x2-3x≤4.因为x2-3x+4=>0恒成立,故x2-3x≥-4恒成立,由x2-3x≤4可得x2-3x-4≤0,解得-1≤x≤4.因此原不等式的解集为[-1,4].考点三函数的图象及应用考向1根据解析式识别函数图象典例突破5(2022·全国甲·理5)函数y=(3x-3-x)cosx在区间

上的图象大致为(

)答案A

解析

设f(x)=(3x-3-x)cos

x,则f(-x)=(3-x-3x)cos(-x)=-f(x),所以函数为奇函数,排除B,D选项.又f(1)=(3-3-1)cos

1>0,故选A.增分技巧根据函数解析式识别函数图象的基本方法是由解析式研究函数的性质,诸如:定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、特殊点处的函数值等,由此确定图象应该满足的几何特征,诸如:对称性、变化趋势、范围等,从而对照选项作出判断,通常从以下几方面入手:(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置.(2)从函数的值域,判断图象的上下位置.(3)从函数的单调性,判断图象的变化趋势.(4)从函数的奇偶性,判断图象的对称性.(5)从函数在特殊点处的函数值,排除不符合要求的图象.对点练5(2022·广东韶关二模)函数f(x)=的图象大致为(

)答案A

当x>0时,f(x)>0;当x→+∞时,函数y=ex-e-x的增长速度比y=x2的增长速度快,所以f(x)→0,故排除C.考向2由图象确定函数解析式典例突破6(2022·全国乙·文8)下图是下列四个函数中的某个函数在区间[-3,3]的大致图象,则该函数是(

)答案A

增分技巧由函数图象确定其解析式的基本方法(1)将图象的左右、上下分布情况与函数的定义域、值域进行对照.(2)从图象的变化趋势,分析函数的单调性,与解析式对照.(3)从图象的对称性特征,分析函数的奇偶性,与解析式对照.(4)从图象的循环往复特征,分析函数的周期性,与解析式对照.对点练6(2022·浙江嘉兴二模)已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可能是(

)(e≈2.71828是自然对数的底数)答案B

高考小题突破9考点一基本初等函数的图象与性质典例突破1(2022·山东潍坊模拟)若函数f(x)=(k-1)ax-a-x(a>0,且a≠1)在R上既是奇函数,又是减函数,则g(x)=loga(x+k)的图象是(

)A.(-∞,0] B.(-1,0]C.(-1,0]∪[1,+∞) D.[1,+∞)答案

(1)A

(2)C解析

(1)由于f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=k-1-1=0,k=2,所以g(x)=loga(x+2),x>-2,因为f(x)=ax-为减函数,所以0<a<1.所以g(x)为(-2,+∞)上的减函数,g(-1)=0,所以A选项正确.增分技巧基本初等函数的图象与性质应用技巧(1)指数函数与对数函数的图象分别经过定点(0,1)和(1,0),在进行图象识别与判断中注意对图象所经过定点的分析.(2)与指数函数和对数函数有关的函数的奇偶性,在利用定义判断时,注意对f(-x)表达式的变形与转化,以便得出f(x)与f(-x)的关系.(3)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数,其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质,然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断.对点练1(1)(2022·湖北黄冈模拟)若a>0,b>0,且ab=1,a≠1,则函数y=ax与函数y=-logbx在同一坐标系中的图象可能是(

)(2)(2022·山东淄博一模)若4x=5y=20,z=logxy,则x,y,z的大小关系为(

)A.x<y<z B.z<x<yC.y<x<z D.z<y<x答案

(1)B

(2)D

解析

(1)对数函数定义域是x>0,A错;C中指数函数图象0<a<1,则b>1,y=-logbx为减函数,C错;B,D中都有a>1,则0<b<1,因此y=-logbx为增函数,只有B符合.(2)∵4x=5y=20,根据指数与对数的关系和y=logax(a>1)为增函数,得x=log420>log416=2,y=log520,由log55<log520<log525,即1<log520<2,故1<y<2,∴1<y<x,可得logxy<logxx=1,即z<1.综上,z<y<x.考点二函数的零点考向1确定函数零点个数或区间

A.0 B.1 C.2 D.3(2)(2022·陕西西安铁一中学模拟)函数f(x)=的零点个数为(

)A.0 B.1 C.2 D.3答案

(1)C

(2)D

(2)当x>0时,f(x)=0⇒ln

x=x2-2x,则函数f(x)的零点个数为函数y=ln

x与函数y=x2-2x,x∈(0,+∞)的交点个数.作出两个函数的图象如下图所示,由图可知,当x>0时,函数f(x)的零点有两个,当x≤0时,由f(x)=x2-2x-3=0⇒x=-1(正值舍去),即当x≤0时,函数f(x)的零点有一个.综上,函数f(x)的零点个数为3.增分技巧函数零点个数的判断方法(1)直接法求零点:令f(x)=0,如果能求出解,则方程有几个解,函数f(x)就有几个零点.(2)零点存在性定理:若函数f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,则结合函数的性质(如单调性、奇偶性)即可确定函数f(x)零点的个数.(3)利用图象交点的个数:将函数变形为两个函数的差,画出两个函数的图象,看其交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.(4)形如f(g(x))的函数,可采用换元法,先令g(x)=t,求得当f(t)=0时t的值,然后根据函数g(x)的图象及性质确定当g(x)=t时x的值的个数即为f(g(x))的零点的个数,解答时注意数形结合,注意对函数f(x)与g(x)图象及性质的分析.对点练2(1)(2022·安徽安庆模拟)已知函数f(x)=则方程f(x)-2|x|=0的解的个数是(

)A.0 B.1 C.2 D.3(2)(2022·江西重点中学盟校模拟)已知函数f(x)=2x+x-4,g(x)=ex+x-4,h(x)=lnx+x-4的零点分别是a,b,c,则a,b,c的大小顺序是(

)A.a<b<c B.c<b<aC.b<a<c D.c<a<b答案

(1)C

(2)C

解析

(1)令f(x)-2|x|=0,得f(x)=2|x|,则函数f(x)-2|x|零点的个数即函数f(x)与函数y=2|x|的交点个数.作出函数f(x)与函数y=2|x|的图象,可知两个函数图象的交点的个数为2,故方程f(x)-2|x|=0的解的个数为2.(2)f(x)的零点可以看成y=2x与y=4-x的交点的横坐标,g(x)的零点可以看成y=ex与y=4-x的交点的横坐标,h(x)的零点可以看成y=ln

x与y=4-x的交点的横坐标,在同一坐标系分别画出y=2x,y=ex,y=ln

x,y=4-x的函数图象,如右图所示,可知c>a>b.考向2根据函数的零点求参数的值或范围典例突破3(2022·河北廊坊模拟)已知函数f(x)=|x2+3x+1|-a|x|,则下列结论正确的是(

)A.若f(x)没有零点,则a∈(-∞,0]B.若f(x)恰有2个零点,则a∈(1,5)C.若f(x)恰有3个零点,则a=1或a=5D.若f(x)恰有4个零点,则a∈(5,+∞)答案

C

由图可知:若f(x)没有零点,则a∈(-∞,0),故A错误;若f(x)恰有2个零点,则a∈{0}∪(1,5),故B错误;若f(x)恰有3个零点,则a=1或a=5,故C正确;若f(x)恰有4个零点,则a∈(0,1)∪(5,+∞),故D错误.增分技巧已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数的取值范围.(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题进行求解.(3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象,利用数形结合的方法求解.对点练3(1)(2022·浙江嘉兴模拟)已知函数f(x)=若方程f(x)-a=0有4个不同的实数解,则实数a的取值范围为

.

(2)(2022·广东茂名一模)已知函数f(x)=若x1,x2,x3均不相等,且f(x1)=f(x2)=f(x3),则x1x2x3的取值范围是

.

答案

(1)(1,5]

(2)(2,3)

解析

(1)由题知方程f(x)-a=0有4个不同的实数解,即f(x)=a有4个不同的实数解.作出f(x)图象(如图所示),即直线y=a与曲线y=f(x)有4个交点.由图象易知1<a≤5,即a的取值范围是(1,5].(2)不妨设x1<x2<x3,画出函数f(x)的图象,由图可得|log2x1|=|log2x2|=-x3+3∈(0,1),所以log2x1=-log2x2,即x1x2=1,由f(x1)=f(x2)=f(x3)得,x3∈(2,3),所以x1x2x3的取值范围是(2,3).考点三函数模型及其应用典例突破4(1)(2022·辽宁协作体一模)果农采摘水果,采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度.已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t(单位:天)满足的函数关系式为h=m·at(a>0且a≠1).若采摘后10天,这种水果失去的新鲜度为10%,采摘后20天,这种水果失去的新鲜度为20%.那么采摘下来的这种水果多长时间后失去40%新鲜度(

)A.25天 B.30天

C.35天 D.40天(2)(2022·山东聊城一模)随着经济的发展和社会的进步,人们的环保意识日益增强.某化工厂产生的废气中污染物的含量为1.2mg/cm3,排放前每过滤一次,该污染物的含量都会减少20%,当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过0.2mg/cm3,若要使该工厂的废气达标排放,那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为(

)(参考数据:lg2≈0.3,lg3≈0.477)A.5 B.7 C.8 D.9答案

(1)B

(2)C

所以n≥7.77,又n∈N*,所以nmin=8,即该污染物排放前需要过滤的次数至少为8.增分技巧函数模型应用问题的两个关键点(1)认真读题,缜密审题,正确理解题意,明确问题的实际背景,然后进行抽象概括,将实际问题转化为数学问题.(2)合理建立函数模型,选取恰当的变量,寻找变量之间的内在联系,用恰当的代数式表示变量之间的关系,然后利用函数知识解决数学问题,从而解决实际问题.对点练4(2022·山东师大附中模拟)已知某电子产品电池充满时的电量为3000毫安,且在待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择.模式A:电量呈线性衰减,每小时耗电300毫安;模式B:电量呈指数衰减,即:从当前时刻算起,t小时后的电量为当前电量的

.现使该电子产品处于满电量待机状态时开启A模式,并在x小时后,切换为B模式,若使其在待机10小时后有超过5%的电量,则x的取值范围是(

)A.(1,2) B.(1,2] C.(8,9) D.[8,9)答案C

解析

由题意得,x小时后的电量为(3

000-300x)毫安,此时转为B模式,可得100<m<10,令m分别为1,2时,这个不等式左右两边大小相等,由函数y=x和y=2x-1的图象可知,该不等式的解集为1<m<2,所以1<10-x<2,得8<x<9.故选C.高考小题突破10考点一导数的几何意义(2)(2022·新高考Ⅰ·15)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是

.

答案

(1)y=-2x+2

(2)(-∞,-4)∪(0,+∞)增分技巧利用导数的几何意义解决切线问题的方法(1)已知切点(x0,y0),则曲线y=f(x)在点(x0,y0)处的切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0).(2)已知曲线y=f(x)的切线斜率k,求切点坐标(x0,y0)时,可根据f'(x0)=k解方程得到.(3)求曲线y=f(x)过点(x1,y1)的切线方程时,应设出切点(x0,y0),则切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0),再将点(x1,y1)的坐标代入切线方程,求出x0即得切线方程.(4)解决曲线y=f(x)和y=g(x)的公切线问题时,通常有两种方法:一是利用其中一条曲线在某点处的切线与另一条曲线相切,列出关系式求解;二是分别设出公切线与曲线y=f(x)和y=g(x)的切点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则有f'(x1)=g'(x2)=,据此列式求解.对点练1(1)(2022·安徽黄山二模)已知函数f(x)=x2-xf'(1),则曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为(

)A.3x-y-4=0 B.3x-y+4=0C.3x+y+4=0 D.3x+y-4=0(2)(2022·福建三明模拟)已知曲线y=e2x+2-x在点(x0,y0)处的切线平行于直线x-y-2=0,则切点坐标为

.

答案

(1)A

(2)(-1,2)

解析

(1)由f(x)=x2-xf'(1),得f'(x)=2x-f'(1),所以f'(1)=2-f'(1),得f'(1)=1,所以f(x)=x2-x,f'(x)=2x-1,所以f(2)=22-2=2,f'(2)=2×2-1=3,所以所求切线方程为y-2=3(x-2),即3x-y-4=0.(2)y=e2x+2-x,则y'=2e2x+2-1,考点二利用导数研究函数的单调性考向1求函数的单调区间典例突破2(2022·重庆八中高三检测)函数f(x)=e-xcosx(x∈(0,π))的单调递增区间为(

)答案D

增分技巧利用导数求函数的单调区间,其实质是转化为解不等式问题,但应注意以下几点:(1)首先确定函数的定义域,忽视定义域的限制易致错.(2)当函数在区间的端点处有定义时,单调区间可以写成闭区间也可以写成开区间,但当函数在区间的端点处没有定义时,单调区间只能写成开区间.(3)当函数具有多个单调递增区间(递减区间)时,不能用“∪”联结,而应该用“和”“及”等联结.对点练2(2022·河北张家口模拟)函数f(x)=的单调递减区间为

.

答案

(-∞,1)

解析

当x<0时,f(x)=-x-2,则其在(-∞,0)上单调递减,当x≥0时,f(x)=(x-2)ex,则f'(x)=ex+(x-2)ex=(x-1)ex,当x>1时,f'(x)>0,则f(x)在(1,+∞)上单调递增.当0≤x<1时,f'(x)<0,所以f(x)在[0,1)上单调递减,又0-2=-2,f(0)=-2,故f(x)的单调递减区间为(-∞,1).考向2利用函数的单调性求参数的取值范围

答案

(1)B

(2)(4,5)

增分技巧已知函数单调性求参数取值范围问题注意点(1)已知函数单调性求参数取值范围问题主要采用等价转化法,但要注意函数在某一区间上单调递增(递减)与存在单调递增(递减)区间的区别,前者是恒成立问题,后者是不等式有解问题.(2)解决这类问题主要与参数处理相关,因此尽量采取措施合理地规避分类讨论,简化求解过程,否则就要运用分类讨论的思想解决问题.对点练3(1)(2022·湖南长沙模拟)已知函数f(x)=x3+mx2+nx+1的单调递减区间是(-3,1),则m+n的值为

.

(2)(2022·山东烟台高三期中)已知函数f(x)=exsinx-ax在(-π,0)上单调递增,则实数a的取值范围是

.

解析

(1)由题设,f'(x)=x2+2mx+n,由f(x)单调递减区间是(-3,1),∴f'(x)<0的解集为(-3,1),则-3,1是f'(x)=0的根,∴-2m=-3+1=-2,n=(-1)×3=-3,可得m=1,n=-3,故m+n=-2.(2)f(x)=exsin

x-ax,f'(x)=exsin

x+excos

x-a,因为函数f(x)=exsin

x-ax在(-π,0)上单调递增,所以x∈(-π,0),exsin

x+excos

x-a≥0恒成立,即x∈(-π,0),a≤ex(sin

x+cos

x)恒成立.考向3比较大小或解不等式

A.a>b>c B.c>a>bC.a>c>b D.c>b>a答案

(1)B

(2)B

仅当x=0时,等号成立.所以函数g(x)在[0,+∞)上单调递增,所以g(x)≥g(0)=0,即f'(x)≥0恒成立,所以函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,又函数f(x)为偶函数,所以函数f(x)在区间(-∞,0]上单调递减,增分技巧利用导数解不等式或比较大小的思路根据题目条件,通过已知函数或构造辅助函数,利用导数研究函数的单调性,把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性,再由单调性比较大小或解不等式问题.对点练4(2022·辽宁大连二模)下列不等式正确的是(

)答案B

考点三利用导数研究函数的极值、最值C.极大值,且极大值为0D.极小值,且极小值为0(2)(2022·全国乙·文11)函数f(x)=cosx+(x+1)sinx+1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为(

)答案

(1)A

(2)D

增分技巧利用导数研究函数极值、最值的方法(1)若求极值,则先求方程f'(x)=0的根,再检查f'(x)在方程根的左右函数值的符号.(2)若已知极值大小或存在情况,则转化为已知方程f'(x)=0根的大小或存在情况来求解.(3)求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值时,在得到极值的基础上,结合区间端点的函数值f(a),f(b)与f(x)的各极值进行比较,从而得到函数的最值.(2)(2022·陕西安康二模)若函数f(x)=ex-ax2-2ax有两个极值点,则实数a的取值范围为(

)答案

(1)B

(2)D

时,若b≥0,则

x>0时,f'(x)<0,f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,当x→+∞时,f(x)→-∞,当x→0+时,f(x)→+∞,无最大值,不符合题意.当b<0时,易知函数f(x)(2)由f(x)=ex-ax2-2ax,得f'(x)=ex-2ax-2a.因为函数f(x)=ex-ax2-2ax有两个极值点,所以f'(x)=ex-2ax-2a=0有两个不同的根,则2a≠0,考点四利用导数解决实际问题典例突破6(2022·新高考Ⅰ·8)已知正四棱锥的侧棱长为l,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π,且3≤l≤3,则该正四棱锥体积的取值范围是(

)答案C

解析

本题主要考查球与几何体的切、接问题.记正四棱锥高与侧棱的夹角为θ,高为h,底面中心到底面各顶点的距离为m.∵正四棱锥外接球的体积为36π,∴外接球的半径R=3.增分技巧利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)建模:分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x).(2)求导:求函数的导数f'(x),解方程f'(x)=0.(3)求最值:比较函数在区间端点和极值点处的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.(4)结论:回归实际问题作答.对点练6(2022·福建龙岩模拟)为了支援某地灾情,A地组织物流企业的汽车运输队从高速公路向该地运送物资.已知A地距离该地500km,设车队从A地匀速行驶到该地,高速公路限速为60km/h~110km/h.已知车队每小时运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成,可变部分与速度vkm/h的立方成正比,比例系数为b,固定部分为a元.若b=,a=104,为了使全程运输成本最低,车队速度v应为(

)A.80km/h B.90km/h C.100km/h D.110km/h答案C

所以当v=102时y'=0,当60≤v<100时y'<0,当100<v≤110时y'>0,即函数在[60,100)上单调递减,在(100,110]上单调递增,所以当v=100时取得极小值,即最小值,所以v=100

km/h时全程运输成本最低.高考增分大题六增分1利用导数证明不等式考点一

构造函数,利用最值证明不等式典例突破1(2021·全国乙·理20)设函数f(x)=ln(a-x),已知x=0是函数y=xf(x)的极值点.(1)求a;(1)解

由题意,f(x)的定义域为(-∞,a).令p(x)=xf(x),则p(x)=xln(a-x),x∈(-∞,a),当x<0时,p'(x)>0,当0<x<1时,p'(x)<0,所以当a=1时,x=0是函数y=xf(x)的一个极大值点.因为当x∈(-∞,0)时,xln(1-x)<0,当x∈(0,1)时,xln(1-x)<0,所以需证明x+ln(1-x)>xln(1-x),即x+(1-x)ln(1-x)>0.令h(x)=x+(1-x)ln(1-x),x<1,所以h'(0)=0,当x∈(-∞,0)时,h'(x)<0,当x∈(0,1)时,h'(x)>0,所以x=0为h(x)的唯一极小值点,也是最小值点,所以当x∈(-∞,0)∪(0,1)增分技巧构造函数利用最值证明不等式在证明不等式f(x)>0(f(x)<0)时,可通过证明f(x)min>0(f(x)max<0)来实现,因此关键是求出函数f(x)的最小值(最大值).在求函数f(x)的最值时,主要利用导数通过单调性及极值求得,有以下几种情形:(1)直接求得f(x)的最值,且最值是一个具体的实数.(2)求得f(x)的最值,且最值是一个含有参数的代数式,再说明该代数式的最值大于0(小于0).(3)通过隐零点求得f(x)的最值,再说明含有隐零点的最值表达式大于0(小于0).对点练1(2022·湖南株洲一模)设函数f(x)=alnx+-1(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当x∈(0,1)时,证明:x2+x--1<exlnx.(2)证明

由(1)可知当a=1时,f(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞);当x=1时,f(x)取极小值f(1)=0,所以f(x)≥f(1)=0,又因为x∈(0,1),所以只需证ex<(x+1)2,令h(x)=ex-(x+1)2,则h'(x)=ex-2(x+1),令H(x)=h'(x)=ex-2(x+1),则H'(x)=ex-2,令H'(x)=ex-2=0,得x=ln

2,当0<x<ln

2时,H'(x)<0,H(x)单调递减,当ln

2<x<1时,H'(x)>0,H(x)单调递增,所以H(x)min=H(ln

2)=eln

2-2(ln

2+1)=-2ln

2<0,又H(0)=e0-2=-1<0,H(1)=e-4<0,所以在x∈(0,1)时,H(x)=h'(x)<0恒成立,所以h(x)在(0,1)上单调递减,所以h(x)<h(0)=0,即h(x)=ex-(x+1)2<0恒成立,即ex<(x+1)2恒成立,得证.考点二

放缩法构造函数证明不等式典例突破2(2022·新高考Ⅱ·22)已知函数f(x)=xeax-ex.(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;(2)当x>0时,f(x)<-1,求实数a的取值范围;(1)解

当a=1时,f(x)=xex-ex,f'(x)=xex.当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增.故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递减.(2)解

令g(x)=f(x)+1=xeax-ex+1,则g'(x)=(ax+1)eax-ex,且f(x)<-1转化为g(x)<0.因为g(0)=0,且x>0时,g(x)<0,所以g(x)在x>0时不能单调递增,否则存在x0∈(0,+∞)使得g(x0)>0,所以当x>0时,g'(x)≤0.记h(x)=g'(x),则h'(x)=(a2x+2a)eax-ex且h(0)=g'(0)=0,h'(0)=2a-1.增分技巧放缩法证明不等式在证明不等式时,若直接证明比较困难,可将不等式中的部分项进行放大或缩小,然后证明放缩后的不等式成立,再根据不等式的传递性证明原不等式成立.常用的放缩技巧有:(1)ex≥x+1;(2)ex-1≥x;(3)ln

x≤x-1;(4)ln(x+1)≤x等.对点练2(2022·山东菏泽二模)设函数f(x)=x2+2x-k(x+1)ln(x+1).当x≥0时,f(x)≥0恒成立,求k的最大值.解

f'(x)=2(x+1)-k[1+ln(x+1)],①当k≤2时,由x≥0得f'(x)=2(x+1)-k[1+ln(x+1)]≥2[x-ln(x+1)],所以φ(x)在(0,+∞)上单调递增,所以φ(x)≥φ(0)=0,即f'(x)≥0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(0)=0,因此f(x)≥0恒成立;考点三

分拆转化函数证明不等式典例突破3(2022·山东泰安模拟预测)已知函数f(x)=g(x)-lnx.当a≥1时,f'(x)≥0,f(x)在(0,+∞)上单调递增.当a<1时,若x∈(0,1-a),则f'(x)<0,f(x)单调递减;若x∈(1-a,+∞),则f'(x)>0,f(x)单调递增.综上所述,当a≥1时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a<1时,f(x)在(0,1-a)上单调递减,在(1-a,+∞)上单调递增.增分技巧1.若直接通过求导求函数的最值比较复杂或无从下手时,可将待证式进行变形,构造两个函数,从而找到可以传递的中间量,达到证明的目标.2.在证明过程中,等价转化是关键,如g(x)min≥f(x)max成立,从而可得f(x)≤g(x)恒成立.3.有时候不易变形为两个一般函数,也可以选取函数式中的一部分当作新的函数,对其进行分析,从而达到对整个函数性质的研究.对点练3(2022·陕西渭南模拟)设函数f(x)=ax2-(x+1)ln