2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛

2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：A题 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：045A012所属学校（请填写完整的全名）：德州学院参赛队员(打印并签名)：1.王艳丽2.刘萍3.李德峰指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：赵琳琳 日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：车道被占用对城市道路通行能力的影响摘要交通事故经常导致车道被占用，即使时间短，也极易引起交通堵塞，甚至会出现区域性拥堵。针对此类问题，本文在分析道路堵塞时交通流特性的基础上，利用车流波动理论，分析得到了车辆排队长度与道路交通能力、事故持续时间与上游车流量之间的关系，推算出排队延伸到上游所需的时间。针对问题一，描述实际通行能力的变化过程，经过多次反复观察视频，统计车辆的变化数据，根据数据建立通行能力模型，得出视频1中横断面的实际通行能力的变化过程是先下降再逐渐回升最后恢复到原来水平。针对问题二，参考问题一所建立的模型，给出视频2中横断面实际通行能力，并且得出视频2中的通行能力与视频1中存在着差异，原因是所占车道不同。进一步分析得出视频2中事故发生在车道一和车道二，而视频1中事故发生在车道二和车道三，从而得出横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力存在影响。针对问题三，利用道路堵塞时交通流的特性，根据车流波动理论，推导出交通事故后路段车辆排队长度与实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系，推导出估算它们之间关系的公式，进一步估算出排队长度计算模型：。针对问题四，鉴于事故持续不撤离，使问题简化，利用问题三所建立的模型，把相关数据带入到公式：计算可得经过4.27分钟后车辆排队长度将达到上游路口。关键词：通行能力车流波动车流量排队长度一、问题重述随着我国经济和城市化进程不断快速发展，城市化道路拥堵问题日益严峻，快速交通和慢速交通的冲突和沿路开设道口过多都是导致路面交通拥堵的原因，造成道路的使用效率不高，不仅导致道路拥堵，而且还存在安全隐患。车道被占用是指因交通事故、路边停车、占道施工等因素，导致车道或道路横断面通行能力在单位时间内降低的现象。由于城市道路具有交通流密度大、连续性强等特点，一条车道被占用，也可能降低路段所有车道的通行能力，即使时间短，也可能引起车辆排队，出现交通阻塞。如处理不当，甚至出现区域性拥堵。车道被占用的情况种类繁多、复杂，正确估算车道被占用对城市道路通行能力的影响程度，将为交通管理部门正确引导车辆行驶、审批占道施工、设计道路渠化方案、设置路边停车位和设置非港湾式公交车站等提供理论依据。视频1（附件1）和视频2（附件2）中的两个交通事故处于同一路段的同一横断面，且完全占用两条车道。请研究以下问题：1.根据视频1（附件1），描述视频中交通事故发生至撤离期间,事故所处横断面实际通行能力的变化过程。2.根据问题1所得结论，结合视频2（附件2），分析说明同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。3.构建数学模型，分析视频1（附件1）中交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系。4.假如视频1（附件1）中的交通事故所处横断面距离上游路口变为140米，路段下游方向需求不变，路段上游车流量为1500pcu/h,事故发生时车辆初始排队长度为零，且事故持续不撤离。请估算，从事故发生开始，经过多长时间，车辆排队长度将到达上游路口。二、问题假设1、在事故中，救护车对其他车辆通行能力的影响忽略不计；2、大型客车相当于两辆小型客车；3、自行车对其他车辆的影响忽略不计；4、在观看视频统计车辆的数量时，视频的晃动对统计结果忽略不计；5、出租车在路边停车，乘客上下车时对其他车辆的影响忽略不计；6、忽略车辆跨道对其他车辆的影响。三、符号说明：车辆行驶的速度()；：一条机动车道的路段基本通行能力()；：连续车流的车头间距()；：车道数；：路段可能通行能力；：路段基本通行能力；：各影响因素的折减系数；：为集散波的波速；：车流流量；：车流密度；四、问题分析关于问题一，要求描述视频中交通事故发生至撤离期间，事故所处横断面实际通行能力的变化过程。首先观察视频1中事故发生后车辆行驶的变化情况并统计出各时间段的车辆数同时计算出实际通行量，然后建立通行能力的模型并计算出相关数据，最后将实际通行量与模型数据作比较，从而得出实际通行能力的变化过程。关于问题二，首先通过视频2统计出各个时间段的车辆数，并利用时间长度和车辆数计算出车流量，即实际通行能力，然后利用问题一的结论和问题二的实际通行量作比较，得出同一横断面交通事故所占车道不同对横断面实际通行能力影响的差异。关于问题三，要求构建数学模型，分析视频1（附件1）中交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系，首先我们要寻找四者之间的关系，要找出什么样的模型才能将四者都联系起来，然后根据联系建立相关的模型。关于问题四，要借助问题三的数据和模型进行求解，不过题目已给出排队长度和上游车流量且说明在此之间事故持续不撤离，这就简化了问题三的模型，只要将相关数据代入相关模型中便可得出排队时间。五、模型的建立及求解5.1问题一模型的建立及求解5.1.1道路通行能力道路通行能力【1】是指道路上某一点某一车道或某一断面处，单位时间内可能通过的最大交通实体（车辆或行人）数，用或用辆/昼夜或辆/秒表示。车辆多指小汽车，当有其他车辆混入时，均采用等效通行能力的当量标准车辆。基本通行能力【2】是指道路和交通都处于理想条件下，由技术性能相同的一种标准车，以最小的车头间距连续行驶的理想交通流，在单位时间内通过道路断面的最大车辆数。理想的道路条件主要是指车道宽度不小于3.65，路旁的侧向净距不小于1.75；理想的交通条件是指车辆组成为单一的标准车，在一条车道上以相同的速度连续不断地行驶，各车辆之间保持与车速相适应的最小车头间隔，且无任何方向的干扰。可能通行能力【2】是在实际道路、交通控制和环境条件下，单位时间内通过道路上某一均匀段或者某一横段面上的最大可车辆数。可能通行能力是在理论通行能力的基础上考虑实际的地形、道路和交通条件的影响，用折减系数乘以理论通行能力，即得实际道路、交通在一定环境条件的可能通行能力。路段上一条车道的基本通行能力，可按车头间距和车头时距两种方法计算。其计算公式为：。连续车流条件下的车头间距可按下式计算：。式中：---停车时的车辆安全车间距()；---车辆的车身长度()；---行驶速度()；---与车重、路段阻力系数、粘着系数及坡道相关的系数；---驾驶员在反应时间内车辆行驶的距离()，,=1.2s左右。根据(CJJ37-90)[3]一条车道的理论通行能力可按表一取值：表一：一条车道理论通行能力()6050403020C0()17301690164015501380注：表中为计算行车速度由于基本通行能力计算时不考虑道路和交通条件的影响，因此多车道的基本通行能力可按下式计算： 式中：---车道数；---条车道的路段基本通行能力；---一条机动车道的路段基本通行能力。可能通行能力可按下式计算：式中：---路段可能通行能力；---路段基本通行能力；----各影响因素的折减系数。5.1.2城市道路通行能力的影响因素5.1.2.1多车道对路段通行能力的影响在多车道的情况下，同向行驶的车辆由于超车、停车等原因影响了另一条车道的通行能力，其影响用折减系数来表示。据观测，自路中心线起第一条车道的折减系数假设为1.00，则其余车道的折减系数依次为：第二条车道为0.800.89；第三条车道为0.650.78；第四条车道为0.500.65；第五条车道为0.400.52。5.1.2.2车道宽度对路段通行能力的影响车道宽度对车辆的行车速度有很大的影响，车道宽度达不到要求，则必然影响车速，从而影响路段的通行能力。在城市道路设计中，标准车道宽度为3.50，当车道宽度大于该值时，不影响通行能力；当车道宽度小于该值时，车辆行驶速度下降，通行能力减小。车道宽度对通行能力的折减系数可按下式确定【2】：式中：----一条机动车道的宽度()。除了以上的影响因素外，路段的通行能力还受到交通条件、侧向净空、视距条件等各种因素的影响。问题一的求解根据建立的模型本文运用40的速度，40是标准标准路段的速度，而我们所求的基本通行能力是道路和交通都处于理想条件下的，故基本通行能力为1640。同时我们取第二车道的条折减系数为0.85，第三条车道的折减系数为0.70，又由于车道宽度为3.25，故根据公式得出车道宽度对通行能力的折减系数为0.875.根据可能通行能力公式得出各车道的可能通行能力如下表所示：表二：各车道的通行能力车道车道一车道二车道三通行能力143512201005表三：车辆换算系数车辆类型小客车大型客车大型货车铰接车换算系数122.53根据视频1（附件一）得出事故从发生至撤离时间各时间段的车辆并计算出此时间段的车流量，由于一个表格放不开，本文用了两个表格，如下表所示：表二各时间段的车辆和车流时间段00:03:55-00:04:1000:04:24-00:06:3000:06:30-00:07:1800:07:18-00：09:2500:09:40-00:11:30车辆544103536车流量120012387509921178时间段0:11:30-00:12：0500:12:20-00:13:2400:13:37-00;14:3700:14:52-00:19:12车辆10201890车流量1028112510801246注：由于视频中存在暂停时刻，故时间段是不连接的。根据每个车道在各时间段的通行能力和实际通行量作对比，可以的得出交通事故从发生至撤离期间，事故所处横断面实际通行能力的变化过程，如图所示：图一由图可得，各车道的通行能力不尽相同，而实际通行能力的变化过程由图可知，在车祸刚发生时，即00:03:25-00;04:10这个时间段内车道的通行能力几乎没有发生变化，说明在车祸刚发生时没有出现拥堵现象；在00:04:24-00:06:30这个时间段内车道的通行能力急剧下降说明此时间段内车道拥堵严重；在00:06:30-00:07:18和00:07:18-00:09:25这两个时间段车流量逐渐回升，通行能力逐渐增强，车道拥堵开始减弱；从00:09:40-00:11:30、00:11:30-00:12:05、00:12:20-00:13:24、00:13:37-00:14:37、00:14:52-00:19:12这几个时间段内车道的通行能力处在徘徊阶段且变化篇幅不大，出现此现象的原因可能是由于上游十字路口红绿灯的变化，当出现红灯时，车辆只来至小区路口，车辆较少，通行能力较强，当出现绿灯时，上游车辆就蜂拥而至，车辆增多，通行能力减弱，故出现徘徊现象。总体来说，车道的通行能力在在事故发生至撤离之间，发生如下变化先不大变化→急剧下降→逐渐上升→处于徘徊状态上面我们通过数据分析得到了事故横断面实际通行能力的变化过程，事实上，通过多次观察视频，我们也可以看出在前一阶段事故没发生，交通顺畅，没发生任何拥堵现象；之后事故发生，从交通事故发生至撤离期间，由于部分车道被出事车辆所占用，因此该路段的通行能力下降。当上游交通需求量大于路段现行通行能力时，就会形成排队；当事故解除以后，路段通行能力有所回升，此时排队仍然存在，根据流量密度关系，此时的通行能力还达不到该路段原有通行能力。当排队彻底消散以后，通行能力恢复到原有水平，该路段恢复正常行车。这与我们所建立的模型相吻合。5.2问题二模型的建立及求解本题同样根据视频2（附件二）得出事故从发生至撤离时间各时间段的车辆并计算出此时间段的车流量，如表所示：表三各时间段的车辆和实际车流量时间段00:02:45-00:04:4500:04：45-00:07:4500:07:45-00:10:1500;10：28-00：12:1800:12:18-00:15:08车辆4667504556车流量13801340120014731186时间段00:15:08-00:16:1000:16:10-00:18:5000:19;03-00:19:4800:20:02-00:21:0500:21:20-00:24:20车辆1560162262车流量8711350128012571240然后将视频一所计算的车流量和视频二所计算的车流量进行对比，即实际通行量之间的对比。作图如下：图二由图可知，视频2所计算的实际通行量和视频1所计算的实际通行量存在很大的差异，由问题一知，视频1的实际通行量的变化过程是先不大变化再急剧下降再逐渐上升最后处于徘徊状态，而视频2的实际通行量的变化过程是先缓慢变化后快速恢复然后再急剧下降接着恢复正常，最后趋于平衡。视频1中，事故发生在二三车道上；视频2中，事故发生在一二车道上。可见，当事故发生在一二车道上时，车辆最大拥堵期不会立马出现，而是经过一些小拥堵之后再出现，而当事故发生在二三车道上时，车辆经过一个小的缓冲之后会立马出现最大拥堵期。因此当同一横断面交通事故所占车道不同时对横断面实际通行能力的影响是存在差异的。另一方面是由于车道中车辆转道比例不同，根据附件3可得，车道中的左转流量比例为35%，直行流量比例为44%,右转流量比例为21%。根据常识，我们都知道，路面上车道之间的线若为虚线，则车辆在道路上可跨道行驶，用路面上总车辆乘以转向比例，便可得出当堵塞不同车道时，横断面的实际通行能力是不同的。5.3问题三模型的建立及求解5.3.1车流波动理论【4】车流波动理论是将交通流比拟为流体，把车流密度的疏密变化比拟成水波的起伏而抽象为车流波。车流波动理论就是假设车流因道路或交通状况的改变而引起车流密度的改变时，在车流中产生车流波的传播，分析车流波的传播速度是求车流流量和密度同车速之间的关系的一种理论。假设上游交通需求量大于事发路段现有通行能力，到达车流在事故地点陆续减慢速度甚至停车而集结成密度较高的队列，事故解除后，由于路段通行能力的恢复，排队车辆又陆续加速而疏散成一列具有适当密度的车队，车流中两种不同密度部分的分界面经过一辆辆车向车队候补传播的现象，车流波动车队密度由低密度状态向高密度状态转变的分界面所体现的车流波称为集结波，由高密度状态向低密度状态转变的分界面称为消散波，密度分界面沿道路移动的速度称为波速。从事故发生至事故解除期间，上游车流由高速低密的畅通状态转变为低速高密的拥挤状态，从而形成集结波，波面以一定的速度向车队的后方传播；事故解除以后，除了集结波继续向车队后方传播外，在车队的前方又形成了消散波，波面同样向车队后方传播。由车流波动理论可知，波速公式为：式中：为集散波的波速（），为前后两种车流状态的流量（辆/），为前后两种车流状态的密度（辆/），根据交通模型，交通量，行车速度，车流密度三者的关系为：1993年格林希尔次提出了速度-密度线性关系模型：式中：为畅行速度，即车流密度为零时，车辆最大速度；为阻塞密度，即车流密度集到所有车辆无法移动时的密度。由以上公式可以推导出波速与密度的关系：5.3.2事故发生后排队长度由于事故发生时阻塞了部分车道，该路段通行能力下降；相应密度上升；交通事故处理所需时间为；事故解除后到车队消散前通行能力回升为；车流密度相应地下降为。首先假设两波相遇之前该路段需求流量为，设两波相遇的时间为，集结波波速为，消散波波速为，则根据两波相遇时波传动的距离相等这一关系可知【5】：其中：则：若，则说明在车队消散之前该路段上游需求流量发生了变化，需求量变为，相应的密度变为。所以可得：其中：则：当行车速度时，车道宽度为3.75，当行车速度时，车道宽度为3.5，可见，速度越大，车道宽度越宽，通行能力越大。当车道宽度时，就应该考虑车辆通行能力的折减系数，也是畅行速度的折减系数，如下表所示：表四【6】车道宽度畅行速度的折减系数3.51.03.250.943.00.852.750.77综上所述：若，则交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系如下：若，则交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系如下：根据视频1中车辆在事故发生后的变化可以推断出,路段车辆排队长度与事故横断面实际交通能力，事故持续时间，路段上游车流量成正相关，即事故横断面实际通行能力越大，事故持续时间越长，路段上游车流量越大路段车辆排队长度越长。这与本文所建立的模型相吻合