天津市西青区2022-2023学年高二数学上学期期中阶段性检测试题含解析

Page13天津市西青区2022-2023学年高二数学上学期期中阶段性检测试题一、单选题（本题共9小题，每小题5分，共45分）1.已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出斜率，再由直线的点斜式方程求解即可.【详解】由题意知：直线的斜率为，则直线的方程为.故选：C.2.圆的圆心和半径分别是（）A.， B.， C.， D.，【答案】D【解析】【分析】先化为标准方程，再求圆心半径即可.【详解】先化为标准方程可得，故圆心为，半径为.故选：D.3.已知椭圆的两个焦点为，，过的直线交椭圆于，两点，若的周长为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】运用椭圆的定义进行求解即可.【详解】由.因为，是椭圆的上的点，、是椭圆的焦点，所以，因此的周长为，故选：D4.双曲线的渐近线方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】将双曲线化为标准方程，再根据渐近线的方程求解即可【详解】由题意，的渐近线方程为故选：C5.已知两圆分别为圆和圆，这两圆的位置关系是（）A.相离 B.相交 C.内切 D.外切【答案】B【解析】【分析】先求出两圆圆心和半径，再由两圆圆心之间的距离和两圆半径和及半径差比较大小即可求解.【详解】由题意得，圆圆心，半径为7；圆，圆心，半径为4，两圆心之间的距离为，因为，故这两圆的位置关系是相交.故选：B.6.直线被圆所截得的弦长为（）A. B.4 C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用直线被圆截得的弦长公式求解即可.【详解】由题意圆心，圆C的半径为3，故C到的距离为，故所求弦长为.故选：A.7已知直线，当变化时，所有直线都恒过点（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】将直线方程整理为，从而可得直线所过的定点.【详解】可化为，∴直线过定点，故选：D.8.点关于直线的对称点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据点关于线对称的特点，利用中点坐标公式及两直线垂直的斜率的关系即可求解.【详解】设点关于直线的对称点的坐标为，则，解得.所以点的坐标为故选：A.9.已知从点发出的一束光线，经x轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据反射性质，结合圆的性质、直线斜率公式进行求解即可.【详解】设点的坐标为，圆的圆心坐标为，设是x轴上一点，因为反射光线恰好平分圆的圆周，所以反射光线经过点，由反射的性质可知：，于是，所以反射光线所在的直线方程为：，故选：A二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分）10.已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，它的长轴长等于圆的直径，则椭圆的标准方程是______.【答案】【解析】【分析】利用配方化简得到圆的半径为4，所以椭圆的长轴为4，根据离心率求出，根据勾股定理求出得到椭圆的解析式即可．【详解】解：依题意可设椭圆的标准方程为，半焦距为，由，半径为4，故有，又，，，所以椭圆的标准方程是.故答案为：.11.已知双曲线C：的一个焦点是，则它的离心率为______．【答案】##【解析】【分析】根据题意求出即可得出离心率.【详解】由题可得，所以，所以离心率.故答案为：.12.若直线：与直线：平行，则直线与之间的距离为______．【答案】【解析】【分析】先根据直线与平行求出参数，再由两平行直线间的距离公式可得答案.【详解】∵直线与平行，∴，解得，∴直线：，直线：，∴直线与之间的距离．故答案为：13.过双曲线的右焦点作倾斜角为30°的直线l，直线l与双曲线交于不同的两点A，B，则AB的长为______．【答案】【解析】【分析】根据直线与双曲线相交，由韦达定理以及弦长公式即可求解.【详解】双曲线的右焦点为，所以直线l的方程为．由，得．设，，则，，所以．故答案为：【点睛】若直线与双曲线（，）交于，两点，则或（）．14.已知动点与两个定点，的距离之比为，则动点的轨迹方程为______.【答案】【解析】【分析】设点，然后根据动点与两个定点的距离比为1:2列等式，整理即可得到动点的轨迹方程.【详解】设点，则，整理得，所以动点的轨迹方程为.故答案为：.15.已知圆的方程为，点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线、，、为切点，则四边形的面积的最小值为______【答案】【解析】【分析】依题意可得，由点到直线的距离公式结合勾股定理求出的最小值，即可求得四边形的面积的最小值；【详解】解：由圆，得到圆心，半径由题意可得：，，，，在中，由勾股定理可得：，当最小时，最小，此时所求的面积也最小，点是直线上的动点，当时，有最小值，此时，所求四边形的面积的最小值为；故答案为：三、解答题（本题共5小题，每小题15分，共75分）16.已知点，，.（1）求过点且与平行直线方程；（2）求过点且与垂直的直线方程；（3）若中点为，求过点与的直线方程；【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】根据题意得到直线斜率，然后用点斜式求直线方程，最后整理为一般式即可.【小问1详解】根据题意得斜率为，所以过点与平行的直线方程为，整理得.【小问2详解】由（1）得与垂直的直线的斜率为，所以过点且与垂直的直线方程为，整理得.【小问3详解】由题意得，又，所以，直线的方程为，整理得.17.已知圆C的圆心为原点，且与直线相切，直线过点．（1）求圆C的标准方程；（2）若直线与圆C相切，求直线的方程．（3）若直线被圆C所截得的弦长为，求直线的方程．【答案】（1）（2），或（3）或【解析】【分析】（1）利用点到直线的距离求出半径，即可得到圆C的标准方程；（2）分类讨论直线斜率不存在与存在的情况，当斜率存在时，设出直线，利用点到直线距离等于半径求出斜率，即可求解；（3）分类讨论直线斜率不存在与存在的情况，利用圆的垂径定理，列出弦长公式进行求解.【小问1详解】圆心到直线的距离，所以圆的半径为，所以；【小问2详解】当直线斜率不存在时，圆心到直线的距离为，不相切．直线斜率存，设直线，由，得所以切线方程为，或．小问3详解】当直线斜率不存在时，，直线被圆所截得的弦长为，符合题意；当直线斜率存在时，设直线，由，解得：，故的方程是，即，综上所述，直线的方程为或18.解答下列两个小题：（1）双曲线：离心率为，且点在双曲线上，求的方程；（2）双曲线实轴长为2，且双曲线与椭圆的焦点相同，求双曲线的标准方程．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由可得，再将点代入方程，联立解出答案，可得答案.

（2）先求出椭圆的焦点，则双曲线的焦点在轴上，由条件可得，且，从而得出答案.【详解】（1）由，得，即，又，即，双曲线的方程即为，点坐标代入得，解得．所以，双曲线的方程为．（2）椭圆的焦点为，设双曲线的方程为，所以，且，所以，所以，双曲线的方程为．19.已知椭圆的焦点与双曲线的焦点相同.（1）求椭圆的方程；（2）若，直线与椭圆交于，两点，且直线，的斜率都存在.①求的取值范围.②试问这直线，的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）（2）①的取值范围是；②直线，的斜率之积不是定值，理由见解析.【解析】【分析】（1）由于的焦点与的焦点相同，得，解得，进而可得椭圆的方程；（2）①联立直线与椭圆的方程，由，解得，又直线，的斜率都存在，所以，进而可得答案；②设，，，，结合韦达定理可得，，计算，即可得出答案．【小问1详解】解：椭圆的焦点与双曲线的焦点相同所以，所以，则的方程为．【小问2详解】解：①联立，得，其中，解得．又直线，的斜率都存在，所以，故的取值范围是；②直线，的斜率之积不是定值，理由如下：设,，,，则，，则，故直线，的斜率之积不是定值．20.已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为，（1）求C的方程；（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.【答案】（1）；（2）18.【解析】【分析】(1)由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程；(2)首先利用几何关系找到三角形面积最大时点N的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定点N到直线AM的距离即可求得三角形面积的最大值.【详解】(1)由题意可知直线AM的方程为：，即.当y=0时，解得，所以a=4，椭圆过点M(2，3)，可得，解得b2=12.所以C的方程：.(2)设与直线AM平行的直线方程为：，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值.联立直线方程与椭圆方程，可得：，化简可得：，所以，即m2=64，解得m=±8，与AM距离比较远的