2022-2023学年湖南省益阳市第十七中学高二数学理联考试卷含解析

2022-2023学年湖南省益阳市第十七中学高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知随机变量X服从正态分布N（3，σ2），若P（1＜X＜5）=3P（X≥5），则P（X≤1）等于（）A．0.2B．0.25C．0.3D．0.4参考答案：A考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．

专题：计算题；概率与统计．分析：随机变量X服从正态分布N（3，σ2），可得图象关于x=3对称，利用P（1＜X＜5）=3P（X≥5），P（1＜X＜5）+2P（X≥5）=1，即可得出结论．解答：解：∵随机变量X服从正态分布N（3，σ2），∴图象关于x=3对称，∵P（1＜X＜5）=3P（X≥5），P（1＜X＜5）+2P（X≥5）=1，∴P（X≤1）=P（X≥5）=0.2，故选：A．点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，注意根据正态曲线的对称性解决问题．2.某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a＋b的最大值为()A.B.C.4D.参考答案：C3.函数f(x)＝x3－3x－3一定有零点的区间是A．(2，3)

B．(1，2)

C．(0，1)

D．(－1，0)参考答案：A4.表示的图形是（

）A.一条射线 B.一条直线 C.一条线段 D.圆参考答案：A【分析】在极坐标系中，极角为定值，且过极点的图形为直线，注意到，故为射线．【详解】表示过极点的直线，因，故其表示的图形是一条射线（如图）故选A．【点睛】一般地，表示过极点的直线，表示圆心为极点半径为的圆．5.设变量x，y满足则点P（x+y，x﹣y）所在区域的面积为（）A．2 B．1 C．1 D．参考答案：B【考点】简单线性规划．【分析】令s=x+y，t=x﹣y，则点P（x+y，x﹣y）为P（s，t），由已知不等式组得到s、t的约束条件，作出可行域后由三角形的面积公式求得答案．【解答】解：令s=x+y，t=x﹣y，则点P（x+y，x﹣y）为P（s，t），由s=x+y，t=x﹣y，得s≤1x=，y=又x≥0，y≥0∴s+t≥0．s﹣t≥0；∴s，t满足约束条件，作出可行域如图，A（1，1），B（1，﹣1），O（0，0）．∴点P（x+y，x﹣y）所在区域的面积为：=1．故选：B．6.设，则下列正确的是（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】依据的单调性即可得出的大小关系。【详解】而，所以最小。又，，所以，即有，因此，故选B。【点睛】本题主要考查利用函数的单调性比较大小。7.为了得到函数，只需要把图象上所有的点的

(

)A.横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变

B.横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变C.纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变

D.纵坐标缩小到原来的倍，横坐标不变参考答案：A略8.数列{an}中，an+1=，a1=2，则a4为（）A.

B.

C.

D.参考答案：D略9.设函数是定义在上的奇函数，且对任意都有，当时，，则的值为（

）A.

B．

C．

D．参考答案：B10.的展开式的第二项为（

）A．－5

B．

C．10

D．10x参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.经过点A（5，2），B（3，﹣2），且圆心在直线2x﹣y﹣3=0上的圆的方程为．参考答案：（x﹣2）2+（y﹣1）2=10【考点】J1：圆的标准方程．【分析】求出直线AB垂直平分线的方程，与已知直线联立求出方程组的解集，得到圆心的坐标，再利用两点间的距离公式求出圆的半径，由圆心坐标和半径写出圆的标准方程．【解答】解：过点A（5，2），B（3，﹣2）的直线AB的斜率为：kAB==2，∴直线AB的垂直平分线斜率为k=﹣，垂直平分线方程为y﹣0=﹣（x﹣4），即y=﹣x+2；与直线2x﹣y﹣3=0联立，解得：x=2，y=1，即所求圆的圆心坐标为C（2，1），又所求圆的半径r=|CA|==，则所求圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=10．故答案为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=10．12.盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是

（结果用最简分数表示）．参考答案：13.一次数学测验后某班成绩均在（20，100]区间内，统计后画出的频率分布直方图如图，如分数在（60，70]分数段内有9人．则此班级的总人数为．参考答案：60【考点】频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系，求出样本容量即可．【解答】解：根据频率分布直方图，得；分数在（60，70]分数段内的频率为0.015×10=0.15，频数为9，∴样本容量是=60；∴此班级的总人数为60．故答案为：60．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应用频率=进行解答，是基础题．14.为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校200名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最多一组学生数为a，视力在4.6到5.0之间的频率为b，则a,b的值分别为

A．78,0.68

B．54,

0.78

C．78,0.78

D．54,

0.68参考答案：B15.直线l与圆

(a<3)相交于两点A，B，弦AB的中点为（0，1），则直线l的方程为

.参考答案：x-y+1=0

16.在中,则

___________________.参考答案：12略17.设椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为__________．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某厂两个车间某天各20名员工生产的产品数量如下图甲车间乙车间50，52，56，62，6556，66，67，68，7266，67，68，69，7372，74，75，75，7674，75，76，78，8176，77，77，78，7982，83，87，90，9780，81，84，88，98

（2）题(1)现在已经根据两组数据完成了乙车间的产量的茎叶图，请自己写出甲车间的茎叶图部分，并通过完整的茎叶图说明甲乙两个车间哪个车间的平均产量高?(2)对乙车间的产量，以组数为5进行分组，选组距为9构造下面的频率分布图表，并根据频率分布表求出乙车间产量的均值.区间频数频率

参考答案：（1）

甲车间

乙车间

由茎叶图可看出，乙车间的平均值要高

（2） 区间组中值频数频率(55,64]59.510.05(64,73]68.550.25(73,82]77.5110.55(82,91]86.520.1(91,100]95.510.05

19.抛物线的顶点在原点O，它与双曲线的一个交点是,且抛物线的准线经过双曲线的一个焦点且垂直于的实轴．（1）求抛物线C1的方程及其焦点F的坐标；（2）求双曲线C2的方程及其离心率e．参考答案：20.已知椭圆的焦距为，短半轴的长为2，过点斜率为1的直线与椭圆交于两点．（1）求椭圆的方程；（2）求弦的长．参考答案：（1）；（2）．试题分析：（1）由椭圆的焦距为，短半轴的长为，求得的值，进而得到的值，即可得到椭圆的方程；（2）设，把直线的方程代入椭圆的方程，利用韦达定理和弦长公式，即可求解弦的长．考点：椭圆的方程；弦长公式．【方法点晴】本题主要考查了椭圆的方程及弦长的问题，其中解答中涉及到椭圆的标准方程及其简单的几何性质、直线与圆锥曲线的弦长公式的应用，注重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，此类问题的解答中把直线的方程与圆锥曲线方程联立，利用方程的根与系数的关系是解答的关键，属于中档试题．21.（本小题满分13分）在数列中，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）猜想的表达式，并证明你的猜想．参考答案：（Ⅰ）

(3分)

（6分）（Ⅱ）猜想，

（7分）下面用数学归纳法证明：1)当n=1时，猜想正确；

（8分）2）假设当n=k时猜想正确，即那么即n=k+1时猜想也正确.

（12分）根据1），2）可知，对任意都有

（13分）略22.（13分）已知在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、E、F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点．求证：（1）EF∥平面ABCD；（2）平面AMN∥平面EFDB．参考答案：【考点】平面与平面平行的判定；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；数形结合；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）由已知得EF∥B1D1，BD∥B1D1，从而EF∥BD，由此能证明EF∥平面ABCD．（2）由已知得EF∥MN，MFAD，从而四边形ADFM是平行四边形，进而AM∥DF，由此能证明平面AMN∥平面EFDB．【解答】证明：（1）∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、E、F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点，∴EF∥B1D1，∵BD∥B1D1，∴EF∥BD，∵EF?平面ABCD