2022-2023学年江苏省扬州市高邮朝阳中学高三数学理模拟试卷含解析

2022-2023学年江苏省扬州市高邮朝阳中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若对?x，y∈[0，+∞），不等式4ax≤ex+y﹣2+ex﹣y﹣2+2恒成立，则实数a的最大值是（）A． B．1 C．2 D．参考答案：D【考点】函数恒成立问题．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用基本不等式和参数分离可得a≤在x＞0时恒成立，构造函数g（x）=，通过求导判断单调性求得g（x）的最小值即可得到a的最大值．【解答】解：当x=0时，不等式即为0≤ey﹣2+e﹣y﹣2+2，显然成立；当x＞0时，设f（x）=ex+y﹣2+ex﹣y﹣2+2，不等式4ax≤ex+y﹣2+ex﹣y﹣2+2恒成立，即为不等式4ax≤f（x）恒成立．即有f（x）=ex﹣2（ey+e﹣y）+2≥ex﹣2?2+2=2+2ex﹣2（当且仅当y=0时，取等号），由题意可得4ax≤2+2ex﹣2，即有a≤在x＞0时恒成立，令g（x）=，g′（x）=，令g′（x）=0，即有（x﹣1）ex﹣2=1，令h（x）=（x﹣1）ex﹣2，h′（x）=xex﹣2，当x＞0时h（x）递增，由于h（2）=1，即有（x﹣1）ex﹣2=1的根为2，当x＞2时，g（x）递增，0＜x＜2时，g（x）递减，即有x=2时，g（x）取得最小值，为，则有a≤．当x=2，y=0时，a取得最大值．故选：D【点评】本题考查不等式恒成立问题注意转化为求函数的最值问题，运用参数分离和构造函数运用导数判断单调性是解题的关键．2.复数在复平面上对应的点的坐标是A．

B.

C.

D.

参考答案：D因为复数，因此在复平面上对应的点的坐标是，选D3.曲线y=ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+8=0的最短距离是（）A． B．2 C．3 D．0参考答案：B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的最值及其几何意义；点到直线的距离公式．【分析】在曲线y=ln（2x﹣1）上设出一点，然后求出该点处的导数值，由该导数值等于直线2x﹣y+8=0的斜率求出点的坐标，然后由点到直线的距离公式求解．【解答】解：设曲线y=ln（2x﹣1）上的一点是P（m，n），则过P的切线必与直线2x﹣y+8=0平行．由，所以切线的斜率．解得m=1，n=ln（2﹣1）=0．即P（1，0）到直线的最短距离是d=．故选B．4.如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是（

）A.24π

B.36π

C.48π

D.60π参考答案：C5.f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，对?x1∈－1,2，?x0∈－1,2，使g(x1)＝f(x0)，则a的取值范围是()A．

B．C．3，＋∞)

D．(0,3参考答案：A6.（x2+2）展开式中x2项的系数250,则实数m的值为（

） A．±5 B．5 C． D．参考答案：7.设，且，符合此条件的（A、B、C）的种数 （

）

A．500

B．75

C．972

D．125

参考答案：A8.函数，，的零点分别是a，b，c则（

）A．a＜b＜c

B．c＜b＜a

C．c＜a＜b

D．b＜a＜c参考答案：A9.已知函数，是定义在R上的奇函数，当时，，则函数的大致图象为参考答案：D因为函数为偶函数，为奇函数，所以为奇函数，图象关于原点对称，排除A,B.当时，，，所以，排除C，选D.10.设函数．则在区间内（

）

A．存在唯一的零点,且数列单调递增

B．存在唯一的零点,且数列单调递减

C．存在唯一的零点,且数列非单调数列

D．不存在零点参考答案：A,因为，所以，所以函数在上单调递增。，，因为，所以，所以函数在上只有一个零点，选A.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知菱形，若，，则向量在上的投影为

.参考答案：【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/平面向量的坐标表示/向量的度量计算.【试题分析】如图所示，因为四边形是菱形，则.因为,所以,在中，由余弦定理,则向量在上的投影为，故答案为.

HP112.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S6＞S7＞S5，则满足SkSk+1＜0的正整数k=

．参考答案：12考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：解题首先由S6＞S7＞S5得到a6，a7的符号，进而推理出S12S13＜0得答案．解答： 解：依题意a6=S6﹣S5＞0，a7=S7﹣S6＜0，则，，，∴S12S13＜0，即满足SkSk+1＜0的正整数k=12．故答案为：12．点评：本题考查数列的前n项和与通项an关系的应用，考查了等差数列的性质，是中档题．13.若直线和平行，则实数的值为______________.参考答案：-3或2略14.（5分）（2015?嘉峪关校级三模）设命题p：2x2﹣3x+1≤0，命题q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是．参考答案：【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：集合．【分析】：利用不等式的解法，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．解：由2x2﹣3x+1≤0得≤x≤1，即p：≤x≤1，由x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0得（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0，即a≤x≤a+1，即q：a≤x≤a+1，若q是p的必要不充分条件，则，即，即0≤a≤，故答案为：．【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用不等式的解法求出不等式的解是解决本题的关键，比较基础．15.抛掷一枚质地均匀的骰子，记向上的点数是偶数的事件为A，向上的点数大于2且小于或等于5的事件为B，则事件A∪B的概率P（A∪B）=．参考答案：考点：古典概型及其概率计算公式；概率的基本性质．专题：概率与统计．分析：由题意分别可得P（A），P（B），P（AB），而P（A∪B）=P（A）+P（B）﹣P（AB），代入计算可得．解答：解：由题意抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的点数共6种可能，其中为偶数的有2，4，6三种可能，故P（A）=，向上的点数大于2且小于或等于5有3，4，5三种可能，故P（B）=，而积事件AB只有4一种可能，故P（AB）=，故P（A∪B）=P（A）+P（B）﹣P（AB）==故答案为：点评：本题考查古典概型的求解，涉及概率的基本性质和全概率公式，属基础题．16.15．在实数集R中，我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”，类似的，我们在平面向量集上也可以定义一个称“序”的关系，记为“”．定义如下：对于任意两个向量，当且仅当“x1>x2”或“xl=x2且y1>y2”．按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：①若②若

③若④对于任意向量其中真命题的序号为_____．参考答案：①②③17.圆（θ为参数）上的点P到直线（t为参数）的距离最小值是______．参考答案：【分析】化成直角坐标方程后用点到直线的距离，再减去半径．【详解】由得x2+（y-1）2=1，由，得x-2y-3=0，圆心（0，1）到直线x-2y-3=0的距离，所以所求距离的最小值为．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，已知F是抛物线C：的焦点，过E(﹣l，0)的直线与抛物线分別交于A，B两点（点A，B在x轴的上方）．（1）设直线AF，BF的斜率分別为，，证明：；（2）若ABF的面积为4，求直线的方程．参考答案：(1)见解析；(2)【分析】（1）设直线的方程为x＝my﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立抛物线方程利用韦达定理可得.（2）S△ABF＝S△EFB﹣S△EFA＝|y1﹣y2|＝．解得m即可．【详解】（1）当直线的斜率为0时，直线与抛物线只有一个交点，不合题意．当直线的斜率不为0时，设直线的方程为x＝my﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立抛物线方程可得得y2﹣4my+4＝0，可得y1+y2＝4m，y1y2＝4∴.（2）S△ABF＝S△EFB﹣S△EFA＝|y1﹣y2|＝．解得m＝（负值舍去）．∴直线的方程为：．【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，韦达定理的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．19.在平面直角坐标系中，是抛物线的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过三点的圆的圆心为，点到抛物线的准线的距离为．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）是否存在点，使得直线与抛物线相切于点若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。

参考答案：（Ⅰ）由⊙Q过M、F、O三点可知，Q一定在线段FO的中垂线上，所以

（Ⅱ）设存在点M(),

切线MQ：，令

所以Q()，由可得

解方程得，存在M

20.已知函数.（Ⅰ）当时，求的最大值；（Ⅱ）若对恒成立，求实数a的取值范围.参考答案：（Ⅰ）1；（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）当时求出的单调性，根据单调性即可求出最大值。（Ⅱ）求出的单调性。当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，再判断出的单调性即可。【详解】（Ⅰ）当时，，定义域为..令，得.当时，，单调递增，当时，，单调递减所以.（Ⅱ），.令，得.当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以.依题意有，设，则，所以在上单调递增.又，故，即实数的取值范围为.【点睛】本题考查了利用函数的单调性求最值、求含参数的范围、恒成立的问题。是高考中的必考点，也是高考中的压轴题。在解答时应该仔细审题。21.如图，在锐角△ABC中，D为AC边的中点，且BC=，O为△ABC外接圆的圆心，且cos∠AOC=﹣．（1）求∠ABC的余弦值，（2）求△ABC的面积．参考答案：【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（Ⅰ）由圆的性质可知∠AOC=2∠ABC.2cos2∠ABC﹣1=﹣．解得cos∠ABC．（Ⅱ）过点C作CE∥BA，与DB的延长线交于点E，连接AE在△BCE中，由余弦定理解得CE=2，AB=2．可得△ABC的面积s=．【解答】解：（Ⅰ）由圆的性质可知∠AOC=2∠ABC．∵cos∠AOC=﹣．∴2cos2∠ABC﹣1=﹣．解得cos∠ABC=．（Ⅱ）过点C作CE∥BA，与DB的延长线交于点E，连接AE又∵D为AC边的中点，所以D为平行四边形ABCE对角线的交点．∴cos∠BCE=﹣cos∠ABC=﹣．在△BCE中，BC=2，BE=2DB=4，cos∠BCE=﹣．由余弦定理得BE2=BC2+CE2﹣2×BC×CE×cos∠BCE，解得CE=2，∴AB=2．∵cos∠ABC=，∴∴△ABC的面积s=．22.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若对恒成立，求a的取值范围.参考答案：（1）详见解析；（2）.【分析】（1）求得函数的导函数，分类讨论即可求解函数的单调性，得到答案；（2）由题意，即，当时，转化为，令，，利用导数求得函数的单调性与最值，即可得到结论．【详解】（1）由题意，函数，可得，当时，，单调减区间为，没有增区间.当时，当，；当或，.∴单调增区间为与，单调减区间.当时，对成立，单调增区间，没有减区间.