北京三中2024届高一上数学期末学业质量监测试题含解析

北京三中2024届高一上数学期末学业质量监测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设集合，则（）A.{1，3} B.{3，5}C.{5，7} D.{1，7}2．已知的值为A.3 B.8C.4 D.3．已知函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是A. B.C. D.4．已知是定义域为的单调函数，且对任意实数，都有，则的值为（）A.0 B.C. D.15．下列函数中，在定义域内既是单调函数，又是奇函数的是（）A. B.C. D.6．要证明命题“所有实数的平方都是正数”是假命题，只需（）A.证明所有实数的平方都不是正数B.证明平方是正数的实数有无限多个C.至少找到一个实数，其平方是正数D.至少找到一个实数，其平方不是正数7．设集合U={1,2,3,4},M={1,2,3},N={2,3,4},则∁A.{1，2}C.{2，4}8．下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（）A.，B.，C.，D.，9．“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分且不必要条件 D.既不充分也不必要条件10．函数y＝ln（1﹣x）的图象大致为（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若圆上有且仅有两个点到直线的距离等于1，则半径R的取值范围是_____12．已知函数，，那么函数图象与函数的图象的交点共有__________个13．已知是定义在R上的奇函数，当时，，则当时，______14．已知，，则的值为_______.15．已知函数，若在上是增函数，且直线与的图象在上恰有一个交点，则的取值范围是________.16．函数的最小正周期是________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．求下列各式的值（1）；（2）18．已知，（1）若，求a的值；（2）若函数在内有且只有一个零点，求实数a的取值范围19．已知，求下列各式的值：（1）；（2）.20．已知，且，求的值21．如图，在平面直角坐标系中，以轴的非负半轴为始边的锐角的终边与单位圆相交于点，已知的横坐标为.（1）求的值；（2）求的值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】先求出集合B，再求两集合的交集【题目详解】由，得，解得，所以，因为所以故选：B2、A【解题分析】主要考查指数式与对数式的互化和对数运算解：3、A【解题分析】因为，且各段单调，所以实数的取值范围是，选A.点睛：已知函数零点求参数的范围的常用方法，(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，然后数形结合求解4、B【解题分析】令，可以求得，即可求出解析式，进而求出函数值.【题目详解】根据题意，令，为常数，可得，且，所以时有，将代入，等式成立，所以是的一个解，因为随的增大而增大，所以可以判断为增函数，所以可知函数有唯一解，又因为，所以，即，所以.故选：B.【题目点拨】本题主要考查函数单调性和函数的表示方法，属于中档题.5、A【解题分析】根据解析式可直接判断出单调性和奇偶性.【题目详解】对于A：为奇函数且在上单调递增，满足题意；对于B：为非奇非偶函数，不合题意；对于C：为非奇非偶函数，不合题意；对于D：在整个定义域内不具有单调性，不合题意.故选：A.6、D【解题分析】全称命题是假命题，则其否定一定是真命题，判断选项.【题目详解】命题“所有实数的平方都是正数”是全称命题，若其为假命题，那么命题的否定是真命题，所以只需“至少找到一个实数，其平方不是正数.故选：D7、D【解题分析】∵M∩N={2,3},∴8、B【解题分析】根据相等函数的判定方法，逐项判断，即可得出结果.【题目详解】A选项，因为的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故A错；B选项，因为的定义域为，的定义域也为，且与对应关系一致，是同一函数，故B正确；C选项，因为的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故C错；D选项，因为的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故D错.故选：B.9、A【解题分析】解指数不等式和对数不等式，求出两个命题的等价命题，进而根据充要条件的定义，可得答案【题目详解】“”“”，“”“”，“”是“”的充分而不必要条件，故“”是“”的的充分而不必要条件，故选：10、C【解题分析】根据函数的定义域和特殊点，判断出正确选项.【题目详解】由，解得，也即函数的定义域为，由此排除A,B选项.当时，，由此排除D选项.所以正确的为C选项.故选：C【题目点拨】本小题主要考查函数图像识别，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】根据题意分析出直线与圆的位置关系,再求半径的范围.【题目详解】圆心到直线的距离为2，又圆（x﹣1）2+（y+1）2＝R2上有且仅有两个点到直线4x+3y＝11的距离等于1，满足，即：|R﹣2|＜1，解得1＜R＜3故半径R的取值范围是1＜R＜3（画图）故答案为:【题目点拨】本题考查直线与圆的位置关系,考查数形结合的思想,属于中档题.12、8【解题分析】在同一坐标系中，分别画出函数，及函数的图像，如图所示：由图可知，两个函数的图象共有8个交点故答案为8点睛：解决函数与方程问题的基本思想就是数形结合思想和等价转化思想，运用函数图象来研究函数零点或方程解的个数，在画函数图象时，切忌随手一画，可利用零点存在定理，结合函数图象的性质，如单调性，奇偶性，将问题简化．13、【解题分析】根据奇函数的性质求解【题目详解】时，，是奇函数，此时故答案为：14、－.【解题分析】将和分别平方计算可得.【题目详解】∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴,故答案为：－.【点晴】此题考同脚三角函数基本关系式应用，属于简单题.15、【解题分析】由正弦函数的单调性以及图象的分析得出的取值范围.【题目详解】因为在上是增函数，所以，解得因为直线与的图象在上恰有一个交点，所以，解得，综上.故答案为：16、【解题分析】直接利用三角函数的周期公式，求出函数的周期即可.【题目详解】函数中，.故答案为：【题目点拨】本题考查三角函数的周期公式的应用，是基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解题分析】(1)首先利用公式降幂，然后将写为将化为即可得解；(2)将记为，记为，再用公式展开，然后化简求值.【题目详解】(1)原式=(2)原式=故答案为：2；-1【题目点拨】本题考查三角函数诱导公式，二倍角公式，两角和与差的余弦公式，属于基础题.18、（1）（2）【解题分析】(1)由即可列方程求出a的值；(2)化简f(x)解析式，利用进行换元，将问题转化为在内有且只有一个零点，在上无零点进行讨论.【小问1详解】由得，即，，解得，∵，∴；【小问2详解】，令，则当时，，，，在内有且只有一个零点等价于在内有且只有一个零点，在上无零点.∵a＞1，在内为增函数.①若在内有且只有一个零点，内无零点，故只需，解得；②若为的零点，内无零点，则，得，经检验，符合题意综上，实数a的取值范围是19、（1）；（2）.【解题分析】（1）求出的值，利用诱导公式结合弦化切可求得结果；（2）在代数式上除以，再结合弦化切可求得结果.【小问1详解】解：因为，则，原式【小问2详解】解：原式.20、【解题分析】利用同角三角函数的基本关系可求得的值，