2022年山西省晋中市赵壁中学高二数学文下学期期末试卷含解析

2022年山西省晋中市赵壁中学高二数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知等差数列{an}满足=28，则其前10项之和为（

）（A）140

（B）280

（C）168

（D）56，参考答案：A略2.袋中装有3个黑球，4个白球，从中任取4个球，则①至少有1个白球和至少有1个黑球；

②至少有2个白球和恰有3个黑球；③至少有1个黑球和全是白球；

④恰有1个白球和至多有1个黑球.在上述事件中，是互斥事件但不是对立事件的为（

）A．①

B．②

C.③

D．④参考答案：D①至少有1个白球和至少有1个黑球，能同时发生，故不是互斥事件；②至少有2个白球和恰有3个黑球，既不能同时发生，也不能同时不发生，故二者是对立事件；③至少有1个黑球和全是白球，既不能同时发生，也不能同时不发生，故二者是对立事件；④恰有1个白球和至多有1个黑球，不能同时发生，但能同时不发生，故二者是互斥事件不是对立事件.故选：D

3.已知函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为(

)A. B. C. D.参考答案：A【分析】令，这样原不等式可以转化为，构造新函数，求导，并结合已知条件，可以判断出的单调性，利用单调性，从而可以解得，也就可以求解出，得到答案.【详解】解:令，则，令，则，在上单调递增，，故选A.【点睛】本题考查了利用转化法、构造函数法、求导法解决不等式解集问题，考查了数学运算能力和推理论证能力.4.函数在定义域R内可导，若，且当时，，设，，，则（

）A． B． C． D．参考答案：C5.在平面直角坐标系中，曲线C：经过伸缩变换后，所得曲线的焦点坐标为（

）．A.

B．

C．

D．参考答案：D略6.若双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线3x﹣y+1=0平行，则此双曲线的离心率是（）A． B． C．3 D．参考答案：D【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的一条渐近线与直线3x﹣y+1=0平行，得b=3a，再由双曲线基本量的平方关系，得出a、c的关系式，结合离心率的定义，可得该双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线的一条渐近线与直3x﹣y+1=0平行∴双曲线的渐近线方程为y=±3x∴=3，得b=3a，c=a此时，离心率e==．故选：D．7.下列直线中，斜率为，且不经过第一象限的是(

)

A．3x＋4y＋7=0

B．4x＋3y＋7=0C．4x＋3y-42=0

D．3x＋4y-42=0参考答案：B略8.在正方体中，与垂直的一个平面是

（）A．平面

B．平面

C．平面

D．平面参考答案：Ｄ9.若且满足，则的最小值是（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：D略10.已知两条直线y=ax﹣2和y=（2﹣a）x+1互相平行，则a等于（）A．﹣1 B．2 C．1 D．0参考答案：C【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】计算题；规律型；直线与圆．【分析】直接利用平行线的充要条件列出方程求解即可．【解答】解：两条直线y=ax﹣2和y=（2﹣a）x+1互相平行，可知：1=，解得a=1．故选：C．【点评】本题考查平行线之间的关系，考查计算能力．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.随机变量的取值为0,1,2，若，，则________.参考答案：设时的概率为，则，解得，故考点：方差.12.在等比数列{an}中，若a3，a15是方程x2﹣6x+8=0的根，则=．参考答案：2【考点】等比数列的通项公式．【分析】由韦达定理得a3a15=8，由等比数列通项公式性质得：=8，由此能求出的值．【解答】解：∵在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2﹣6x+8=0的根，∴a3a15=8，解方程x2﹣6x+8=0，得或，∴a9＞0，由等比数列通项公式性质得：=8，∴=a9=．故答案为：2．【点评】本题考查等比数列中两项积与另一项的比值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．13.函数=的最小值是

.参考答案：14.如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形，，平面分别与三棱锥的四条棱交于，若直线，直线，则平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值等于_______________________

参考答案：15.若函数

则

.参考答案：16.已知___________________.参考答案：17.已知的取值如表所示：从散点图分析，与线性相关，且，则__________参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分16分）某班级共派出n+1个男生和n个女生参加学校运动会的入场仪式，其中男生倪某为领队.入场时，领队男生倪某必须排第一个，然后女生整体在男生的前面，排成一路纵队入场，共有种排法；入场后，又需从男生（含男生倪某）和女生中各选一名代表到主席台服务，共有种选法.（1）试求和；

（2）判断和的大小（），并用数学归纳法证明.

参考答案：解：（1），.．...........................4分

（2）因为，所以，，，由此猜想：当时，都有，即.下面用数学归纳法证明（）............................6分①时，该不等式显然成立........................................8分②假设当时，不等式成立，即，................10分则当时，，要证当时不等式成立.只要证：，只要证：..................................................13分

令，因为，所以在上单调递减，从而，而，所以成立.则当时，不等式也成立...........................................15分综合①、②得原不等式对任意的均成立...............................16分

19.（2016秋?邢台期末）已知F1（﹣c，0）、F2（c，0）分别是椭圆G：的左、右焦点，点M是椭圆上一点，且MF2⊥F1F2，|MF1|﹣|MF2|=a．（1）求椭圆G的方程；（2）若斜率为1的直线l与椭圆G交于A、B两点，以AB为底作等腰三角形，顶点为P（﹣3，2），求△PAB的面积．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由已知结合椭圆定义求得|MF1|=，|MF2|=，再由MF2⊥F1F2，利用勾股定理求得a值，则椭圆方程可求；（2）联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求出E的坐标，结合斜率求得m值，进一步求出A、B的坐标，得到AB所在直线方程，利用点到直线的距离公式求出P到AB的距离，代入三角形面积公式求得△PAB的面积．【解答】解：（1）∵|MF1|﹣|MF2|=a，|MF1|+|MF2|=2a，∴|MF1|=，|MF2|=，∵MF2⊥F1F2，∴．即，则，∵c2=a2﹣4，∴a2=12，∴椭圆；（2）设直线l的方程为y=x+m．由，得4x2+6mx+3m2﹣12=0．①设A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）（x1＜x2），AB的中点为E（x0，y0），则，．∵AB是等腰△PAB的底边，∴PE⊥AB．∴PE的斜率，解得m=2．此时方程①为4x2+12x=0，解得x1=﹣3，x2=0，∴y1=﹣1，y2=2，∴|AB|=3．此时，点P（﹣3，2）到直线AB：x﹣y+2=0的距离d=，∴△PAB的面积S=．【点评】本题考查椭圆标准方程的求法，考查了椭圆的简单性质，训练了直线与椭圆位置关系的应用，属中档题．20.已知动圆过定点P（2，0），且在y轴上截得弦长为4．（1）求动圆圆心的轨迹Q的方程；（2）已知点E（m，0）为一个定点，过E点分别作斜率为k1、k2的两条直线l1、l2，直线l1交轨迹Q于A、B两点，直线l2交轨迹Q于C、D两点，线段AB、CD的中点分别是M、N．若k1+k2=1，求证：直线MN恒过定点，并求出该定点的坐标．参考答案：【考点】抛物线的简单性质；轨迹方程．【分析】（1）设动圆圆心为O1（x，y），动圆与y轴交于R，S两点，由题意，得|O1P|=|O1S|，由此得到=，从而能求出动圆圆心的轨迹Q的方程．（2）由，得，由已知条件推导出M、N的坐标，由此能证明直线MN恒过定点（m，2）．【解答】解：（1）设动圆圆心为O1（x，y），动圆与y轴交于R，S两点．由题意，得|O1P|=|O1S|．当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥RS交RS于H，则H是RS的中点．∴|O1S|=．又|O1P|=，∴=，化简得y2=4x（x≠0）．又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标为（0，0）也满足方程y2=4x．∴动圆圆心的轨迹Q的方程为y2=4x．（2）证明：由，得．设A（x1，y1），B（x2，y2），则．因为AB中点，所以．同理，点．∴∴直线MN：，即y=k1k2（x﹣m）+2∴直线MN恒过定点（m，2）．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.(12分)设函数f(x)＝ax3－2bx2＋cx＋4d(a，b，c，d∈R)的图像关于原点对称，且x＝1时，f(x)取极小值－.(1)求a，b，c，d的值；(2)当x∈[－1,1]时，图像上是否存在两点，使得过两点处的切线互相垂直？试证明你的结论；(3)若x1，x2∈[－1,1]，求证：|f(x1)－f(x2)|≤.参考答案：(1)∵函数f(x)的图像关于原点对称，∴对任意实数x有f(－x)＝－f(x)，∴－ax3－2bx2－cx＋4d＝－ax3＋2bx2－cx－4d，即bx2－2d＝0恒成立，∴b＝0，d＝0，∴f(x)＝ax3＋cx，f′(x)＝3ax2＋c，∵当x＝1时，f(x)取极小值－，∴3a＋c＝0，且a＋c＝－，解得a＝，c＝－1.22.设点P为抛物线外一点，过点P作抛物线的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．（Ⅰ）若点P为(－1,0)，求直线AB的方程；（Ⅱ）若点P为圆上的点，记两切线PA，PB的斜率分别为，，求的取值范围．参考答案：(Ⅰ）：.（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）设直线PA方程为，直线PB方程为，分别与抛物线的方程联立方程组，根据直线与抛物线相切，分别求得的坐标，即可得到的方程；（Ⅱ）设，得直线PA方程为，直线PB方程为，联立方程组，得出时方程的两根，进而得出，即可求解.【详解】（Ⅰ）设直线PA方程为，直线PB方程为，由，可得，因为PA与抛物线相切，所以，取，则，即A（1，1）