基于排队论的高速公路收费服务台优化设计

基于排队论的高速公路收费服务台优化设计

随着经济的快速发展，人们的生产、生活和审美情趣越来越快，这就要求交通为人们提供一个快速、安全的旅行平台。应该说,高速公路的出现,极大程度地满足了人们的出行需求。但近年来由高速公路带来的问题不容忽视。解决高速公路收费站的问题成为百姓十大愿望之一。在交通高峰期,收费站经常出现拥挤现象,甚至车辆在收费广场内多次变换车道、抢占收费车道,大大增加了车辆间发生交织和冲突的几率;而且在恶劣天气条件下,能见度低,驾驶员在接近收费站的过程中没有充足的反应时间,可能减速不及时导致追尾事故。自然天气我们无法左右,那么能否通过对收费站服务台的管理来缓解和控制收费站交通拥挤呢?本文通过对在收费亭的设计与管理中运用排队论知识进行定量分析,对避免盲目确定收费亭建设规模大小,提高收费亭的服务和管理水平,降低运营成本等有着重要的作用。1队列理论的基本原则1.1排污系统的构成排队是日常生活和工作中常见的现象。因为人们在日常生活中为了得到某种公共服务经常要排队,如道路红绿灯系统、超市的收银系统、电话通讯系统等。一些排队系统的构成十分明显,而另一些排队系统的构成可能很模糊。一个排队系统由输入、队列、服务台和输出四部分构成。输入描述的是顾客出现在排队系统中的方式,人们通常用某种带有任意参数和适当简化假设的随机过程来表示它。顾客到达时,如果所有服务台都正在被占用,顾客可能选择随即离去或排队等待。随即离去的系统称为即时制系统或损失制系统,排队等待的系统称为等待系统。系统如果有多个服务台,各服务台可以有各自独立的队列,也可以有一个公共的队列。队列可以是具体的也可以是抽象的,可以是有限的也可以是无限的。一个排队系统中可以有一个服务台,也可以有多个服务台。对于多服务台来讲,各服务台可以串联、并联也可以混联。输出是指顾客从得到服务到离开服务系统的情况,由于一结束服务顾客即刻离开服务系统,所以输出是通过服务时间来加以描述的。可以用图1来对排队系统来加以描述。1.2排队模型的建立高速公路上的车辆陆续到达收费站,依次接受收费服务,然后离开收费站。如果到达的车辆不能及时得到服务,就产生了排队现象。高速公路收费系统,是一个典型的排队系统。其中最具有代表性的收费站系统即是满足M/M/C/∞/∞/FCFS的排队系统,上述符号中第一个M为车辆到达时间间隔服从负指数分布;第二个M为收费服务时间服从负指数分布;C为收费站有C个收费亭;第一个∞为系统能容纳无限多个车辆;第二个∞为道路上的车源也是无限的;FCFS为系统采用先到先服务的规则。此排队系统中,车辆排队方式是多路排队多通道服务:指每个通道各排一个队,每个通道只为其相对应的一队车辆服务,车辆不能随意换队。此种情况相当于C个M/M/1系统组成的排队系统。在讨论排队模型时,将用到的一些符号和定义有:λ——系统顾客为n时的平均到达强度(到达强度以单位时间内到达的顾客数表示);μ——系统顾客数为n时服务员平均(期望)服务强度(服务强度以单位时间内服务的顾客数表示);Pn——系统在时刻t有n个顾客的概率;C——系统服务员数目。本文主要研究和计算的数量指标有:L——系统期望顾客数,亦称队长;Lq——系统期望排队顾客数,亦称排队长;W——顾客在系统的期望停留时间;Wq——顾客在系统的期望等待时间。1.3顾客平均停留时间设车辆平均到达强度为λ(辆/小时),系统服务员平均服务强度为μ(辆/小时),交通强度ρ,ρ=λ/μ。如果ρ<1,则系统稳定;如果ρ>1,系统的排队长度将会无限增大,出现“爆炸”现象。因此要调整平均到达强度λ,使满足条件是λ<μ,保持稳定状态即确保排队能够消散;如果系统是稳定的,但排队和等待时间很长,也要调整平均到达强度,使其排队长和等待时间在我们预定的期望值内。由ρ=λ/μ(0<ρ<1),有:Ρn=λnμnΡ0=ρnp0,n>0,(1)Ρ0=(1+∞∑n=1ρn)-1=(∞∑n=0ρn)-1(2)根据几何级数求和的公式,有:∞∑n=0ρn=11-ρ(3)代入式(2),得:Ρ0=1-ρ=1-λμ(4)将式(2)代入式(1),得:Pn=ρn(1-ρ),(5)对一切n,队长:L=∞∑n=0nρn(1-ρ)=ρ(1-ρ)∞∑n=0nρn-1=ρ(1-ρ)ddρ∞∑n=0ρn=ρ(1-ρ)ddρ(11-ρ)=ρ(1-ρ)[1(1-ρ)2]=ρ1-ρ或L=λ/(μ-λ)(6)排队长:Lq=∞∑n=1(n-1)Pn=∑n=1∞nPn-∑n=1∞Pn=∑n=0∞nΡn-(∑n=0∞Ρn-Ρ0)=L-(1-Ρ0)。(7)将式(4)和(6)代入式(7),得:Lq=λ2μ(μ-λ)利用已求得的L和Lq,可按式(8)、式(9)求出顾客平均停留时间W和平均等待时间Wq。W=L/λ(8)Wq=Lq/λ(9)2车辆到达率分析某高速公路出口收费站有四个出口收费通道,某时段之内平均车辆到达率λ=1700辆/h,服从泊松分布;每个收费窗口服务一辆汽车的平均时间为8s,并且符合负指数分布。2.1通道的服务强度此收费站系统属于M/M/C排队系统,由于是多路排队多通道服务方式,所以此收费站就等价于4个M/M/1系统、,我们只需分析其中的一个收费通道。下面对收费站的各项服务指标进行分析:收费站的平均车辆到达率为λ,则每一个收费通道的平均车辆到达率为λ/4;每个收费窗口平均服务率μ0=3600/8=450辆/h;每个收费窗口的服务强度:ρ0=λ4μ0=17004×450=0.944＜1,这说明该服务系统是稳定的。每个收费窗口的平均排队长度Lq=∑n=1∞(n-1)Pn=∑n=1∞nPn-∑n=1∞Pn=∑n=0∞nΡn-(∑n=0∞Ρn-Ρ0)=ρλ4(μ0-λ/4)=0.944×17004(450-1700/4)=16.056辆每个收费窗口系统中车辆平均消耗时间Wq=Lqλ/4=16.056450=0.0357h=2.14min由于此收费站系统可以看成四个M/M/1的排队模型,故一个窗口的排队情况即可反映出整个收费站的排队情况。目前我国高速公路收费站的服务水平通常采用车辆的平均排队长度指标划分为四级服务水平,如表1。本案例求得的平均排队长度为16辆,远大于8辆,故司机乘客的感觉是无法忍受。由Pn=ρn(1-ρ)得出收费站通道排有n辆车的概率,如表2。由表2可知排队车辆数大于8的概率为0.404,这说明该系统排长队的概率很高,收费站的服务台劳动强度比较大,服务水平较低。由于收费站的平均服务率是一定的,所以要通过控制车辆的平均到达率来提高收费站的服务水平。2.2大数据能满足高峰时段需求上述现状分析仅针对此高速公路某高峰时段的交通状态而得出的相对应的各项指标。系统中ρ<1,说明该收费站设置已经在很大程度上超过了交通流量的需求。根据调查的资料可知,在该系统中车辆的队列不会越来越长,因此该收费站的设置可以满足高峰时段要求。然而,高速公路上的交通情况随着时间、天气等各种因素的变化而变化,不仅要收费站服务台窗口满足高峰时段的需求,还要根据资料分析出公路上的交通状态,确定不同时段收费站服务台窗口的数目,从而降低收费站服务台的运营成本。2.3到达率的确定根据服务区等级划分标准,我们假定车辆的平均排队长度为1,来确定期望的车辆到达率ρQ。由ρλ4(μ0-λ/4)=1‚ρ=λ4μ0得λ=1100辆/h为了更好地体现区间的控制作用,我们令收费站处的期望车辆到达率λQ=900辆/h。ρ=λQ4μ0=9004×450=0.5。根据Pn=ρn(1-ρ)得出如下收费站前有n辆车等待的概率,如表3。从表3中数据可知,排队车辆数超过8的概率为0.00195,这与由表2算得的排队车辆数超过8的概率为0.404相比要小得多,这说明经过对闭塞区间的设置,汽车到达收费站几乎可以不用等待就可以接受服务。3控制方案的确定本文通过对行驶车辆的车速进行调节,运用排队论模型来实现对收费站服务台窗口的控制方案,使到达收费站的平均车辆到达率基本符合我们期