银行排队问题的模型化求解

银行排队问题的模型化求解

经济发展为银行带来了繁荣，但也带来了不可避免的问题。我最近都听到了银行工作人员的名单。针对这个问题，许多银行采取了适当的措施，如调整银行的销售渠道，并允许顾客使用自助设备，但效果并不明显。排队论是研究系统由于随机因素干扰而出现排队现象的一门学科,能够在研究各种排队系统概率规律性的基础上,解决相应排队系统的最优设计和最优控制问题.将泊松过程与排队论结合,并应用到银行窗口服务中研究,是解决银行排队问题的一次新角度尝试.1相关理论1.1泊松过程定义泊松过程是应用最广泛的一类随机过程,它常用来描述排队系统中顾客到达的过程.记N(t)为时间区间[0,t)(t>0)内发生的事故数,如果N(t)是一个随机变量,那么{N(t)|t∈(0,t)}就称为一个随机过程.泊松过程的定义为:对于随机过程{N(t),t≥0},如果满足(2)具有独立增量;(3)在任何长度为t的时间内,发生的事件数服从参数为λt的泊松分布.则称上述过程为泊松过程,且λ为其强度.1.2顾客的到达数不相重叠的区间内,顾客的到达数不相重叠如果N(t)为时间区间[0,t)(t>0)内到达系统的顾客数,那么N(t)是一个随机变量,且{N(t)|t∈(0,t)}是一个随机过程.若该随机过程满足:(1)在不相重叠的区间内,顾客的到达数是相互独立的;(2)在时间区间[t,t+Δt)内,顾客的到达与时间起始点t无关,而只与区间长度Δt有关;1.3确定服务窗口数量的方法一般的排队系统由三个基本部分组成:输入过程、排队规则和服务机构.当研究的是多服务台单队列队时,排队过程见图1.银行排队问题是一个典型的并列多服务台单队排队系统,可表示为M/M/s模型.它是指输入过程为泊松输入、服务时间服从负指数分布、共有s个服务窗口的排队系统模型.现对该模型所用到的一些数量指标符号作下述规定:L:平均队长,表示系统中的顾客数,是排队等候的顾客和正在接受服务的顾客的总和.Lq:平均列队长,表示系统中排队等候的顾客数.μ:平均服务速率,即单位时间内服务完毕离去的顾客数.ρ:服务强度,表示每个服务窗口单位时间内的平均服务时间,有公式成立,且只有当ρ<1时才不会排成无限的队列.从状态间的转移关系分析M/M/s模型,可以得到:用递推法解上述差分方程,得到状态概率:于是求得各指标如下:平均队长平均列队长平均逗留时间平均等待时间根据上述各表达式可以知道,只要确定了顾客到达的平均速率λ和平均服务速率μ,即可计算出W和Wq,进而确定服务窗口数量.1.4最佳服务台数目的确定银行排队系统包括顾客和银行两方面.顾客总是希望逗留时间越短越好,服务窗口数目越多越好、服务效率越高越好,而这些往往会使得银行的服务费用大大增加,有损银行的利益.因此,在考虑银行排队的优化问题时,应从顾客和银行双方的利益出发,以费用作为指标,进行考察.至于最佳服务台数目s*的确定,在M/M/s模型中,服务台数可控,取单位时间全部费用的期望值的最小者,即其中s为服务台数,cs是每个服务台单位时间的成本,cw是每个顾客在系统停留单位时间的费用.cs和cw均可人为给定.运用边际分析法有结合(6)和(7)式并化简得此时,依次求s=1,2,…时的L值,并计算相邻两个L值的差,鉴于cs/cw是已知数,故可根据该数落在哪个不等式的区间来确定最优服务台数s*.2顾客基本特征与统计2.1数据处理以某银行为研究对象,对其进行多次实际调查和统计,选取其中一天上午9点30分到11点30分内所到达顾客的相关信息进行汇总整理,得到样本数据.部分数据见表1.2.2流量过程服从泊松分布结合表1的数据,运用SPSS统计软件进行单样本K-S检验,结果见表2.a.检验分布为Poisson分布.b.根据数据计算得到.由于P=0.992>0.05,故可认为银行顾客流量过程服从泊松分布.同时还可以知道,顾客到达的平均速率λ=5(人/10分钟)=0.5(人/分钟).同理可验证银行排队系统的服务时间服从负指数分布,且还可得到每个窗口的平均服务速率μ=3(人/10分钟)=0.3(人/分钟).2.3闲置概率结合公式(1)-(5),可以得到s取不同值时各指标对应的计算值.窗口空闲概率由表3知,当银行设置3个服务窗口时,减少排队人数3.772-0.377=3.395≈3人,排队问题可以得到较好解决;但当设置4个服务窗口时,减少的排队人数0.377-0.074=0.303人,排队问题没能得到很好解决.2.4服务窗口数目的确定鉴于经验分析,假设cs为1(元/分钟),cw为0.8(元/分钟).结合上表和式子(6)、(8),得到表4.则由于cs/cw=1.25,落在区间(0.573,3.393)内,所以s*为3.且从上表中的最右边一列也可验证,当设置3个服务窗口时的总费用是最小的,即minZ(s*)=Z(3)=css+cwL=13+0.82.045=4.636(元)综上,在该时间段内,当该银行设置的服务窗口数目为3时,顾客和银行的利益达到最优平衡.同时,根据观察得知,此结论与当前银行的实际情况相符.3平均医院等待时间和顾客离口距离(1)将泊松过程与排队论结合,验证了在银行排队系统中,顾客流量服从泊松分布,而窗口服务时间服从负指数分布.(2)通过对基于泊松过程和排队论的银行窗口排队问题的实际应用,验证了二者的结合是解决银行排队问题的一种新途径,且能够为银行的窗口数设置、最优系统问题提供决策支持.W:平均逗留时间,包括等待时间和服务时间.Wq:平均等待时间,也称平均排队等待时间.P