3点与圆、直线与圆的位置关系(题型篇)-初中数学题型大全

点与圆、直线与圆的位置关系题型练题型一点与圆的位置关系（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r②点P在圆上⇔d＝r③点P在圆内⇔d＜r（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．例1.若⊙O的半径为，点与圆心的距离为，则点与⊙O的位置关系是______．【解析】4＞3，根据点与圆的位置关系得点在圆外．变式11.如图，中，，，，以点C为圆心，长为半径作圆．则下列结论正确的是（）A.点B在圆内 B.点B在圆上C.点B在圆外 D.点B和圆的位置关系不确定【答案】A【解析】【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．【详解】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，

∴AC＞BC，

∴r＞d，

∴点B在圆内．

故选：A．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r．题型二确定圆的条件不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．例2.经过不在同一直线上的三个点可以作圆的个数是（）A.1B.2C.3D.无数个变式22.下列说法错误的是（）A.已知圆心和半径可以作一个圆B.经过一个已知点A的圆能做无数个C.经过两个已知点A，B的圆能做两个D.经过不在同一直线上的三个点A，B，C只能做一个圆【答案】C【解析】【分析】根据确定圆的条件依次判断即可．【详解】解：A.已知圆心和半径可以作一个圆，正确，不符合题意；B.经过一个已知点A的圆能做无数个，正确，不符合题意；C.经过两个已知点A，B的圆能做无数个，错误，符合题意；D.经过不在同一直线上的三个点A，B，C只能做一个圆，正确，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查确定圆的条件．注意过三点确定一个圆，要画一个圆需要知道它的圆心和半径．题型三三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．例3.过A、B、C三点能确定一个圆的条件是（）①AB＝2，BC＝3，AC＝5；②AB＝3，BC＝3，AC＝2；③AB＝3，BC＝4，AC＝5.A.①②B.①②③C.②③D.①③【解析】首先计算两个较短的线段长的和是否大于较长的线段长，从而判断出三点是否同一条直线上，进而可得A、B、C三点不能确定一个圆．变式33.如图，是一块三角形的纸板，要从这块纸板上裁下一块圆形的用料，并使圆形用料的面积最大，请你确定此圆的圆心O．（尺规作图，保留痕迹，不写作法和证明．）

【答案】见解析【解析】【分析】要使用料的面积最大，所以要与三个边相切即可．【详解】解：分别作三角形任意两个内角的角平分线交于一点O，即，点O即为所要求圆的圆心．如下图所示：

与三角形三边都相切时圆的半径最大，故此时圆的面积最大，点O即为所要求的圆心．【点睛】本题考查了尺规作图，作圆内接三角形．熟练掌握角平分线的作法是解题的关键．题型四反证法（1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的．（2）反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．例4.用反证法证明“两直线平行，同位角相等”时，第一步应先假设：．【解析】用反证法证明“两直线平行，同位角相等”时，第一步应先假设：两直线平行，同位角不相等．变式44.用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，第一步应先假设命题不成立，则下列各备选项中，第一步假设正确的是（）A.假设四边形中没有一个角是钝角或直角B.假设四边形中有一个角是钝角或直角C.假设四边形中每一个角均为钝角D.假设四边形中每一个角均为直角【答案】A【解析】【分析】根据反证法的定义，写出已知命题的反面即可得出结论．【详解】解：“四边形中至少有一个角是钝角或直角”的反面为“四边形中没有一个角是钝角或直角”故假设四边形中没有一个角是钝角或直角故选A．【点睛】此题考查的是反证法，解题关键是假设命题不成立，找出结论的反面．题型五直线与圆的位置关系1直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．2判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d＝r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．例5.已知同一平面内有⊙O和点A与点B，如果O的半径为3cm，线段OA＝5cm，线段OB＝3cm，那么直线AB与⊙O的位置关系为（）A.相离B.相交C.相切D.相交或相切【解析】⊙O的半径为3cm，线段OA＝5cm，线段OB＝3cm，即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，∴点A在⊙O外．点B在⊙O上，∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切变式55.如图，在中，，以为圆心，为半径作圆．若该圆与线段只有一个交点，则的取值范围为___．【答案】或【解析】【分析】先根据题意画出符合的两种情况，根据勾股定理求出BC，即可得出答案．【详解】解：过C作CD⊥AB于D，在Rt△BCA中，∵∠ACB=90°，AC=2，∠B=30°，∴AB=4，∴，根据三角形的面积公式得：AB•CD=AC•BC，∴，当圆与时AB相切时，r=，当点A在圆内，点B在圆外或圆上时，r的范围是2＜r≤2，综上所述：r的取值范围是r=或2＜r≤2，故答案为：r=或2＜r≤2．【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，切线的性质，勾股定理的应用，能求出符合题意的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想．题型六切线的性质切线的性质：①数量关系：圆心到切线的距离等于半径；②位置关系：．切线垂直于过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直例6.如图，AB与⊙O相切于点B，连接OA、OB．若∠A＝30°，OB＝1，则AB的长为【解析】根据切线的性质得出∠ABO＝90°，根据含30°角的直角三角形的性质和已知条件得出AO＝2OB＝2，根据勾股定理求出答案即可．变式66.如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AB交⊙O于点D，若∠ABC＝65°，则∠COD的度数是（）

A.65° B.55° C.50° D.60°【答案】C【解析】【分析】根据切线的性质得出AC⊥BC，求出∠ACB=90°，根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质求出∠A=∠ADO=25°，根据三角形的外角性质求出即可．【详解】解：∵BC切⊙O于C，∴AC⊥BC，即∠ACB=90°，∵∠ABC=65°，∴∠A=90°-∠ABC=25°，∵OA=OD，∴∠ADO=∠A=25°，∴∠COD=∠A+∠ADO=50°，故选：C．【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质和直角三角形的性质，注意：①圆的切线垂直于过切点的半径，②直角三角形的两锐角互余．题型七切线的判定切线判定：切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．解题方法：①若已知直线与圆有公共点，连接过这点半径，证明这条直线与半径垂直．简述：有切点，连圆心，证垂直．②若未知直线与圆的交点，过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长度等于圆的半径．简述：无切点，作垂直，证相等．例7.下列直线是圆的切线的是（）A.与圆有公共点的直线B.到圆心的距离等于半径的直线C.到圆心的距离大于半径的直线D.到圆心的距离小于半径的直线【解析】根据切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，可判定C、D错误；由切线的定义：到圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线，可判定A错误，B正确．变式77.如图，以点O为圆心作圆，所得的圆与直线a相切的是（）A.以OA为半径的圆 B.以OB为半径的圆C.以OC为半径的圆 D.以OD为半径的圆【答案】D【解析】【分析】根据直线与圆的位置关系进行判断．【详解】解：于，以为圆心，为半径的圆与直线相切，故选：D．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系—相切，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．题型八切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．例8.如图，PA，PB与⊙O分别相切于点A，B，PA＝2，∠P＝60°，则AB＝（）A.B.2C.D.3【解析】先判断出PA＝PB，进而判断出△PAB是等边三角形，即可得出结论．变式88.如图，四边形是的外切四边形，且，，则四边形的周长为__________．【答案】48【解析】【分析】根据切线长定理得到AE=AH，BE=BF，CF=CG，DH=DG，得到AD+BC=AB+CD=24，根据四边形的周长公式计算，得到答案．【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，

∴AE=AH，BE=BF，CF=CG，DH=DG，

∴AD+BC=AB+CD=24，

∴四边形ABCD的周长=AD+BC+AB+CD=24+24=48，

故答案为：48．【点睛】本题考查了切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题的关键．实战练9.若BC为圆O的直径，A为⊙O上一点，AD⊥BC于D，EA切⊙O于A，交BC延长线于E，∠EAD＝54°，则∠DAC的度数＝_______．【答案】27°【解析】【分析】根据题意画出图形，连接OA，由AE为圆O的切线，根据切线的性质得到OA与AE垂直，可得∠OAE为直角，由∠OAD=∠OAE-∠EAD，根据∠EAD的度数求出∠OAD的度数，又AD与BC垂直，可得三角形OAD为直角三角形，可得出∠AOD的度数，由OA=OC，根据等边对等角可得∠OAC与∠OCA相等，且根据顶角的度数求出底角的度数，最后由∠OAC-∠OAD即可求出∠DAC的度数．【详解】解：根据题意画出图形，如图所示：连接OA，由AE与圆O相切，得到OA⊥AE，∴∠OAE=90°，又∠EAD=54°，∴∠OAD=90°-54°=36°，又∵AD⊥BC，∴∠ADO=90°，∴∠AOC=54°，又∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA==63°，则∠DAC=∠OAC-∠OAD=63°-36°=27°．故答案为：27°．【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，利用了等量代换及转化的数学思想，熟练掌握切线的性质是解本题的关键，同时注意连接OA．10.如图，从点P引⊙O的切线PA，PB，切点分别为A，B，DE切⊙O于C，交PA，PB于D，E．若△PDE的周长为20cm，则PA=________cm．【答案】10【解析】【分析】由于PA、PB、DE都是⊙O的切线，可根据切线长定理将△PDE的周长转化为切线PA、PB的长．【详解】解：∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，∴PA=PB，DA=DC，EC=EB；∴C△PDE=PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=20(cm)；∴PA=PB=10(cm)，故答案为10．【点睛】本题主要考查了切线长定理，能够发现△PDE的周长和切线PA、PB长的关系是解答此题的关键．11.如图，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，若∠BAC＝36°，则∠P的度数为___．【答案】72°【解析】【分析】根据切线长定理得∠PAC＝90°，PA＝PB，运用三角形内角和定理求解即可．【详解】解：∵PA、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，∴∠PAC＝90°，PA＝PB，∴∠PAB＝90°−∠BAC＝90°−36°＝54°，∠PBA＝∠PAB＝54°，∴∠P=180°-54°-54°=72°．故答案为：72°．【点睛】此题综合运用了切线的性质定理和切线长定理的应用，主要考查学生的推理和计算能力．12.设计一把直尺ABC，BC在地面上，AB与地面垂直，并且AB＝10cm，移动一个半径不小于10cm的圆形轮子，使轮子紧靠A点，且与BC相切于D点（如图）．设计要求在D处的刻度恰好显示这个轮子的半径（以厘米为单位）．那么，当BC的长度为1M时，BC上可标出的最大刻度是__________．【答案】【解析】【分析】连接，过点作于，构造直角三角形，利用勾股定理解题．【详解】解：，连接，过点作于，设，当点与点重合时，半径最大，就是标出的最大刻度，此时由勾股定理得，故答案为：．

【点睛】本题考查切线的性质、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．13.如图，已知⊙O的半径为5cm，点O到直线l的距离OP为7cm．（1）怎样平移直线l，才能使l与⊙O相切？（2）要使直线l与⊙O相交，设把直线l向上平移xcm，求x的取值范围【答案】（1）将直线l向上平移2cm或12cm；（2）2cm＜x＜12cm．【解析】【分析】（1）由切线的判定与性质和平移的性质即可得出结果；（2）由（1）的结果即可得出答案．【详解】解：（1）∵⊙O的半径为5cm，点O到直线l的距离OP为7cm，∴将直线l向上平移7-5=2（cm）或7+5=12（cm），才能使l与⊙O相切；（2）由（1）知，要使直线l与⊙O相交，直线l向上平移的距离大于2cm且小于12cm，∴2cm＜x＜12cm，x的取值范围为：2cm＜x＜12cm．【点睛】本题考查了切线的判定与性质、平移的性质、直线与圆的位置关系等知识；熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．14.如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB=60°．求：（1）PA的长；（2）∠COD的度数．

【答案】（1）PA=6；（2）∠COD=60°．【解析】【分析】（1）可通过切线长定理将相等的线段进行转换，得出三角形PDE的周长等于PA+PB的结论，即可求出PA的长；（2）根据三角形的内角和求出∠ADC和∠BEC的度数和，然后根据切线长定理，得出∠EDO和∠DEO的度数和，再根据三角形的内角和求出∠DOE的度数．【详解】（1）∵CA，CE都是⊙O的切线，∴CA＝CE，同理：DE＝DB，PA＝PB，∴△PCD的周长＝PD＋CD＋PC＝PD＋PC＋CA＋BD＝PA＋PB＝2PA＝12，∴PA=6；（2）∵∠P＝60°，∴∠PCE＋∠PDE＝120°，∴∠ACD＋∠CDB＝360°－120°＝240°，∵CA，CE是⊙O的切线，∴∠OCE＝∠OCA＝∠ACD；同理：∠ODE＝∠CDB，∴∠OCE＋∠ODE＝(∠ACD＋∠CDB)＝120°，∴∠COD＝180－120°＝60°．【点睛】本题考查的是切线长定理，切线长定理图提供了很多等线段，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长．15.如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，连接PO与⊙O相交于C，连接AC、BC，求证：AC=BC.【答案】证明见解析【解析】【详解】分析：连接OA、OB，根据切线的性质得出△OAP和△OBP全等，从而得出∠APC=∠BPC，从而得出△APC和△BPC全等，从而得出答案．详解：连结OA，OB.∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，∴PA＝PB，又∵OA＝OB，PO＝PO，∴△OAP≌△OBP(SSS)，∴∠APC＝∠BPC，又∵PC＝PC，∴△APC≌△BPC(SAS)．∴AC＝BC.点睛：本题主要考查的是切线的性质以及三角形全等的证明与性质，属于基础题型．根据切线的性质得出PA=PB是解题的关键．16.如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙O上一点，连结PD.已知PC＝PD＝BC.下列结论：(1)PD与⊙O相切；(2)四边形PCBD是菱形；(3)PO＝AB；(4)∠PDB＝120°.其中正确的个数为()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】D【解析】【分析】(1)利用切线的性质得出，进而得出（），即可得出，得出答案即可；(2)利用（1）所求得出：，进而求出（），即可得出答案；(3)利用全等三角形的判定得出（），进而得出；(4)利用四边形是菱形，，则，则，求出即可.【详解】（1）连接、，与相切，切点为，，在和中，，（），，与相切，故（1）正确；（2）由（1）得：，在和中，，（），，，四边形是菱形，故（2）正确；（3）连接，，，是直径，，在和中，，（），，，，，，，故（3）正确；（4）四边形是菱形，，，则，，故（4）正确；正确个数有4个.故选.【点睛】此题主要考查了切线的判定与性质和全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质等知识，熟练利用全等三角形的判定与性质是解题关键.17.如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，连接OA，OB，若∠O＝130°，则∠BAC的度数是（）A.60° B.65° C.70° D.75°【答案】B【解析】【分析】利用切线的性质及等腰三角形的性质求出∠OAC及∠OAB即可解决问题．【详解】解：∵AC与⊙O相切于点A，∴AC⊥OA，∴∠OAC＝90°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA．∵∠O＝130°，∴∠OAB＝＝25°，∴∠BAC＝∠OAC﹣∠OAB＝90°﹣25°＝65°．故选：B．【点睛】本题考查的是切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．18.如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形的顶点C，与BC相交于点D，若⊙P的半径为5，点的坐标是，则点D的坐标是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】在Rt△CPF中根据勾股定理求出PF的长，再根据垂径定理求出DF的长，进而求出OB，BD的长，从而求出点D的坐标．【详解】设切点分别为G，E，连接PG，PE，PC，PD，并延长EP交BC与F，则PG=PE=PC=5，四边形OBFE是矩形．∵OA=8，∴CF=8-5=3，∴PF=4，∴OB=EF=5+4=9．∵PF过圆心，∴DF=CF=3，∴BD=8-3-3=2，∴D(9，2)．故选A．【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，以及垂径定理等知识，正确做出辅助线是解答本题的关键．19.如图是切线，点A为切点，交于点C，点D在上，连接，若，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由可求出∠AOC=．再由AB为圆O的切线，得AB⊥OA，由直角三角形的两锐角互余，即可求出∠ABO的度数，【详解】解：∵，∴，∵AB为圆O的切线，

∴AB⊥OA，即∠OAB=90°，∴，故选：B．【点睛】此题考查了切线的性质，以及圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．20.已知如图，半径为2的⊙A与直线l相切于C，点B与⊙A在l的同旁，与l的距离BD＝6，DC＝15，点P为l上到A、B两点距离之和为最短的一点，试确定P点的位置，并求出PC和PD．【答案】PC=，PD=．【解析】【分析】由已知先以l为对称轴作点A的对称点A’，连接BA’，交l与点P，根据轴对称性质及两点之间线段最短确定点P，再根据求两个直角三角形的正切值求出PC和PD．【详解】解：∵半径为2的⊙A与直线l相切于C，∴以l为对称轴作点A的对称点A′，连接BA′，交l与点P，点P即要求的点，∵PA=PA′，∴PA+PB=PA′+PB=BA′（两点之间线段最短）；由作图得∠APC=∠A′PC，∵∠A′PC=∠BPD（对顶角相等），∴∠BPD=∠APC，∴由已知在Rt△PDB和Rt△PCA中，∴tan∠BPD=tan∠APC，∴，即，得：PD=，则PC=15-PD=．【点睛】本题考查了切线的性质，关键是运用轴对称，两点之间线段最短及三角函数值解答．21.如图，与的AC边相切于点C，与AB、BC边分别交于点D、E，，CE是的直径．（1）求证：AB是的切线；（2）若求AC的长．【答案】（1）证明见解析（2）．【解析】【分析】（1）连接OD、CD，根据圆周角定理得出，根据平行线的性质得出，根据垂径定理得出OA垂直平分CD，根据垂直平分线的性质得出，然后根据等腰三角形的三线合一的性质得出，进而证得，得到，即可证得结论；（2）易证△BED∽△BDC，求得BE，得到BC，然后根据切线长定理和勾股定理列出关于y的方程，解方程即可．【详解】证明：连接OD、CD，∵CE是的直径，∴，∵，∴，∴OA垂直平分CD，∴，∴，∴，∵，∴，，∴，∵AC是切线，∴，在和中，∴，∴，∵OD是半径，∴AB是的切线；（2）解：∵BD是切线，易证△BED∽△BDC，∴，设，∵∴，解得或（舍去），∴，∴，∵AD、AC是的切线，∴，设，在中，，∴，解得，∴，故AC的长为6．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，平行线的性质，垂径定理，切线长定理，切割线定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．22.如图，AB是的直径，AC是的一条弦，点P是上一点，且PA=PC，PD//AC，与BA的延长线交于点D.（1）求证:PD是的切线；（2）若tan∠PAC=，AC=12.求直径AB的长.【答案】（1）证明过程见解析；（2）AB=13，过程见解析【解析】【分析】（1）连接OP，因为PDAC，两直线平行内错角相等，且PA=PC，可得∠DPA=∠PAC=∠PCA=∠PBA，又因为直径所对圆周角为直角，故∠APO+∠OPB=90°，其中∠OPB=∠OBP，即可证得∠DPO=90°，即PD为⊙O的切线；（2）作PEAC，在等腰PAC中，三线合一，PE既为高线，也为AC边的中垂线，已知tan∠PAC=，AC=12，用勾股定理可得AP的长度，且∠PAC=∠PBA，故PB的长度也可算得，再用勾股定理即可求得AB的长度．【详解】解：（1）如图所示，连接OP，∵PDAC，∴∠DPA=∠PAC（两直线平行，内错角相等），又∵PA=PC，故PAC为等腰三角形，∠PAC=∠PCA，∠PAC是所对圆周角，∠PCA是所对圆周角，∴=，且∠PBA是所对圆周角，故∠PAC=∠PCA=∠PBA，∵AB是⊙O的直径，直径所对圆周角为直角，∴∠APB=90°，故∠APO+∠OPB=90°，又∵OP=OB，故OPB为等腰三角形，∠OPB=∠OBP，∴∠APO+∠DPA=90°，即∠DPO=90°，∴PD为⊙O的切线；（2）如下图所示，作PEAC，∵PA=PC，故PAC为等腰三角形，等腰三角形三线合一，PE既为高线，也为AC边的中垂线，已知AC=12，∴AE=6，且tan∠PAC==，故PE=4，由勾股定理可得：，由（1）已证得∠PAC=∠PCA=∠PBA，故tan∠PBA=，∴，故，由勾股定理可得：．【点睛】本题考查了等边对等角、等腰三角形三线合一、平行线间的性质、同弧所对圆周角相等、勾股定理，解题的关键在于应用等边对等角及平行线性质，证得图形中的相等