统考版2023高考数学二轮专题复习课时作业5计数原理二项式定理理

课时作业5计数原理、二项式定理1．[2022·珠海市第二中学高三月考]五名同学国庆假期相约去珠海野狸岛日月贝采风观景，结束后五名同学排成一排照相留念，若甲、乙二人不相邻，则不同的排法共有()A．36种B．48种C．72种D．120种2．[2022·重庆北碚区西南大学附中高三月考]2020年12月，西南大学附属中学举办一年一度的缤纷节，由于疫情原因为了避免人员聚集，所以采用云直播的方式将各个分会场的情况通过电视播放给同学们观看，学校安排4名主持人和3名摄像师对本次缤纷节实行直播，其中2名主持人和1名摄像师负责“综艺晚会”的直播，另2名主持人和2名摄像师分两组(每组主持人和摄像师各1人)，分别负责“青春歌会”和“附中诗词大赛”的现场直播．如果所有主持人、摄像师都能承担三个分会场的相应工作，则所有不同的安排方案有()A．144种B．72种C．48种D．36种3．(x2＋2y)(1＋y－x)5展开式中x3y4的系数是()A．10B．－5C．5D．－104．[2022·沙坪坝重庆一中模拟]我国古代图书之一的《周髀算经》中指出：某地的冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二节气的日影长依次是一个等差数列．已知立春与惊蛰两个节气的日影长分别为11尺和10尺，现在随机选出3个节气，至少有一个节气的日影长大于9尺的概率为()A．eq\f(54,55)B．eq\f(53,55)C．eq\f(21,22)D．eq\f(10,11)5．[2022·山西长治市高三月考]已知(2x2＋1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x2)－1))5的展开式中各项系数之和为0，则该展开式的常数项是()A．－10B．－7C．9D．106．在圆上有6个不同的点，将这6个点两两连接成弦，这些弦将圆分割成的区域数最多为()A．32B．15C．16D．317．[2022·云南昆明市昆明一中检测]若甲、乙、丙三名学生计划利用寒假从丽江、大理、西双版纳、腾冲中任选一处景点旅游，每人彼此独立地选景点游玩，且丽江必须有人去，则不同的选择方法有()A．16种B．18种C．37种D．40种8．[2022·贵州省思南中学检测]已知(1＋eq\r(3))5＝a＋beq\r(3)(a，b为有理数)，则a＝()A．0B．2C．66D．769．欧洲数学家雅各·布伯努利收到一位朋友的来信，打开一看信不是写给他的，但是信封上的地址、姓名又没有问题，觉得很奇怪．过了几天，他收到了这位朋友的道歉信．这位朋友在信中向他解释说：写了五封信，又写好了五个信封，然后让仆人把信寄出，可是那位仆人在把信装到信封里时居然把它们全部都装错了！看完信后他不禁哈哈大笑．不过他马上想到了一个问题：五封信装入写有不同地址和姓名的五个信封，全部装错的可能性有()A．42种B．44种C．48种D．96种10．[2022·重庆北碚区西南大学附中高三月考]若(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则下列结论中错误的是()A．a0＝1B．a5＝－32C．|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝35D．a0＋a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝－1011．[2022·贵州贵阳一中模拟]2021年暑假，贵阳一中继续组织学生开展“百行体验”社会实践活动．现高三年级某班有6名学生需要去敬老院、社区医院、儿童福利院三个机构开展活动，要求每个机构去2名学生，且学生甲不去敬老院，则不同的安排共有()A．60种B．360种C．15种D．100种12．[2022·江苏南通市高三月考]某亲子栏目中，节目组给6位小朋友布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷点有远、近两处；②由于小朋友甲年纪尚小，所以要么不参与该项任务，要么参与搜寻近处投掷点的食物，但不参与时另需1位小朋友在大本营陪同；③所有参与搜寻任务的小朋友被均匀分成两组，一组去远处，一组去近处．那么不同的搜寻方案有()A．10种B．40种C．70种D．80种13．[2022·重庆市第十一中高三月考]4个人围坐在如图所示的8张椅子中的4张椅子上聚餐，其中甲、乙两人不能相对(如1与8叫做相对)而坐，共有________种不同的坐法(用数字作答)14．若(x＋eq\f(2,\r(x)))n的展开式中共有7项，则常数项为________(用数字作答).15．[2022·昆明市云南师大附中模拟]洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象如图，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数(图中白圈为阳数，黑点为阴数).现利用阴数和阳数构成一个四位数，规则如下：(从左往右数)第一位数是阳数，第二位数是阴数，第三位数和第四位数一阴一阳和为7，则这样的四位数有________个．16．贾宪三角——开方作法本源图(图1)的今称，是由中国北宋数学家贾宪发明的，可以求任意高次方的二项展开式系数，西方称之为帕斯卡三角形．现根据图2构造一个数列{an}：2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则eq\f(a100,a99)＝________．课时作业5计数原理、二项式定理1．解析：先将除甲、乙二人外的另外三个人排成一排，再将甲、乙二人插入到已经排好的三个人形成的四个空中，共有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＝6×12＝72种．故选C.答案：C2．解析：这个安排可分步完成：第一步选2名主持人和1名摄像师负责“综艺晚会”的直播，第二步在剩下的人中选1名主持人和1名摄像师负责“附中诗词大赛”直播，最后剩下的负责“青春歌会”直播，因此方法数为（Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))）（Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))）＝72.故选B.答案：B3．解析：前一个括号内有x2与2y两项，x2·（xy4）＝x3y4，（1＋y－x）5展开式第r＋1项Ceq\o\al(\s\up1(r),\s\do1(5))（1＋y）5－r（－x）r，r＝1，T2＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))（1＋y）4（－x）展开式中xy4的系数为－5，y（x3y3）＝x3y4，Tr＋1＝Ceq\o\al(\s\up1(r),\s\do1(5))（1＋y）5－r（－x）r，r＝3时，T4＝Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))（1＋y）2（－x）3不能出现x3y3，∴x3y4的系数为－5.故选B.答案：B4．解析：由题意，令冬至影长为a1，公差为d，则a6－a4＝2d＝10－11＝－1，故d＝－eq\f(1,2).∴冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二节气的日影长依次为{12.5，12，11.5，11，10.5，10，9.5，9，8.5，8，7.5，7}，∴随机选出3个节气至少有一个节气的日影长大于9尺的概率为1－eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(12)))＝eq\f(21,22).故选C.答案：C5．解析：（2x2＋1）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x2)－1))5的展开式中各项系数之和为0.令x＝1得3（a－1）5＝0，解得a＝1.（2x2＋1）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x2)－1))5＝（2x2＋1）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)－1))5.则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)－1))5展开式的通项公式为Tr＋1＝Ceq\o\al(\s\up1(r),\s\do1(5))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)))5－r·（－1）r＝（－1）rCeq\o\al(\s\up1(r),\s\do1(5))x2r－10，则（2x2＋1）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x2)－1))5＝（2x2＋1）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)－1))5展开式的常数项满足：r＝4或r＝5，则该展开式的常数项是2×（－1）4Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(5))＋（－1）5Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))＝9.故选C.答案：C6．解析：两个点可以连一条弦，将圆分为两部分，加一个点，多两条弦，将圆多分出来两部分，所以每加一条弦可以按这种方式多出一个区域，再加一个点，变成了一对相交弦和四条其他的弦，共分为8个区域，所以除去前一种方式增加的区域数，一对相交弦还会多产生一个区域，故当点数多于4个时，最多可分得总的区域数为1＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))＋Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(n))，此题n＝6，所以最多可分为31个区域．故选D.答案：D7．解析：法1（直接法）：满足题意的不同的选择方法有以下三类：三个人中只有一个人去丽江，有3×32＝27（种）选择方法；三个人中有两个人去丽江，有3×3＝9（种）选择方法；三个人都去丽江，有1种选择方法；综上，共有27＋9＋1＝37（种）不同的选择方法．法2（排除法）：三个人去四个景点，有43＝64（种）选择方法；没有人去丽江，有33＝27（种）选择方法；综上，共有64－27＝37（种）不同的选择方法．故选C.答案：C8．解析：因为（1＋eq\r(3)）5＝Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(5))（eq\r(3)）0＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))（eq\r(3)）1＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))（eq\r(3)）2＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))（eq\r(3)）3＋Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(5))（eq\r(3)）4＋Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))（eq\r(3)）5，所以（1＋eq\r(3)）5＝1＋5eq\r(3)＋30＋30eq\r(3)＋45＋9eq\r(3)＝76＋44eq\r(3)，因为（1＋eq\r(3)）5＝a＋beq\r(3)，且a，b为有理数，所以a＝76，故选D.答案：D9．解析：将五封信编号为1，2，3，4，5，将五个信封编号为①，②，③，④，⑤；1号信先去装信封有4种选择，不妨设1号信封装入②号信封，则第2号信去装有4种可能，但此时要分两种情况：第一种情况是2号信装入①信封，则3，4，5号信装错的种数是2种，第二种情况是2号信装入③，④，⑤中的一个，此时3，4，5号信装错的种数是3种，故所有种数为4×[1×2＋3×（1＋2）]＝44.故选B.答案：B10．解析：二项式（1－2x）5的展开式通项公式为Tr＋1＝（－2）rCeq\o\al(\s\up1(r),\s\do1(5))xr，r∈N，r≤5，a0＝1，a5＝（－2）5Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))＝－32，A，B都正确；显然，展开式中的奇数项系数为正，偶数项系数为负，|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝[1－2×（－1）]5＝35，C正确；a1＝－2Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))＝－10，a2＝（－2）2Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))＝40，a3＝（－2）3Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))＝－80，a4＝（－2）4Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(5))＝80，因此，a0＋a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝1＋（－10）＋2×40＋3×（－80）＋4×80＋5×（－32）＝－9，D不正确．故选D.答案：D11．解析：先将6名学生分为3组，有eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)))＝15种，因为甲所在小组不能去敬老院，所以安排的方法有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝4种，故不同的安排共有15×4＝60种，故选A.答案：A12．解析：若甲不参与任务，则需要先从剩下的5位小朋友中任意选出1位陪同，有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))种选择，再从剩下的4位小朋友中选出2位搜寻远处，有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))种选择，最后剩下的2位小朋友搜寻近处，因此搜寻方案共有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＝30（种）；若甲参与任务，则其只能去近处，需要从剩下的5位小朋友中选出2位搜寻近处，有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))种选择，剩下的3位小朋友去搜寻远处，因此搜寻方案共有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))＝10（种）.综上，搜寻方案共有30＋10＝40（种）.故选B.答案：B13．解析：因为甲、乙两人不能相对（如1与8叫做相对）而坐，则甲、乙两人不能同时坐在1与8位置或2与7位置或3与6位置或4与5，所以共有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(8))·Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(6))·Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))＝8×6×6×5＝1440种不同的坐法．答案：144014．解析：因为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,\r(x))))n的展开式中共有7项，所以n＋1＝7，可得n＝6，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(