多服务台模型的稳态分布

多服务台模型的稳态分布

1多服务台排队模型由于应用程序的普遍性，越来越多的服务已经受到关注。团队理论的许多作品都包含着团队网站的内容，尤其是在呼叫中心的设计中，团队网站的排起模型是不可或缺的。但现在呼叫中心的设计多采用单个到达的多服务台模型,而随着呼叫中心应用的越来越广泛,单个到达在实际应用中渐显不足,因此引入了批量到达模式,使得模型更加贴近实际情况。2稳态下nt状态转移设系统有m个并行的服务台,顾客成批到达,每批到达的人数ξ是一个随机变量,ξ的分布为Ρ{ξ=i}=ai‚i=1‚2‚⋯‚∞∑i=1ai=1,且E(ξ)=a<∞,D(ξ)=σ2<∞。批与批之间的到达间隔服从参数为λ的指数分布exp(λ);同一批到达的顾客按随机顺序接受服务,到达顾客若遇系统忙则排队等候,系统中只有一个队列,等待位置无限,到达过程与服务过程是相互独立的。顾客到达若遇服务台空闲则可以立即接受服务,服务时间s服从参数为μ的指数分布。下面是求解模型设t时刻系统内的顾客数为N(t)(包括正在接受服务的和排队等待的顾客),{N(t),t≥0}的状态空间为{0,1,2,3,4,…},设t=0时N(t)=0,可以在ρ=λamμ＜1的条件下讨论N(t)的稳态分布。设N(t)的稳态分布为p0,p1,p2,p3,…。{pn,n≥0}的概率母函数为p(x)=∞∑i=0pixi‚{an‚n≥1}的概率母函数为a(x)=∞∑i=0aixi,(设a0=0),另外,记b(x)=m-1∑i=0(m-i)pixi。定理1:Mξ/D/m/∞排队模型的队长的稳态分布的概率母函数p(x)为p(x)=c(x-1)b(x)x-x⋅a(x)-mc⋅(1-x)(1)其中,c=μλ,常数p0,p1,…pm-1满足以下方程组,{pi(1+i⋅c)=i∑j=0pj⋅ai-j+pi+1(i+1)⋅c0≤i＜m-1c⋅b(1)m⋅c-a=1证明:稳态下N(t)的状态转移如图1所示(为明确起见,只完整的给出了最有代表性的状态i(0<i<m)和m的情况)。图中,虚线表示由别的状态转到i或者m,其转移率均有下划线,实线表示由状态i或者m转出,其转移率均没有下划线。N(t)的状态转移有如下特点:(1)对于转出,由任意一个状态j出发向右均可一步到达其后的任意一个状态j+1,j+2,j+3,…;而向左只能到达其相邻状态j-1。(2)对于转入,任意一个状态j均可被其左边的任意一个状态0,1,2,…,j-1一步到达;而其右边的状态中,只有相邻的状态j+1可以到达j。(3)对于由服务结束引起的由状态j向j-1状态的转移,其转移率据j的取值的不同而依不同的规律变化,以状态m为分界点,对m左边的状态i(0<i<m)其转移率为iμ,而m及其右边的状态的转移率均为mμ。根据图1可以列出方程组:{pi(λ+i⋅μ)=i∑j=0pj⋅λ⋅ai-j+pi+1(i+1)⋅μ0≤i＜mpi(λ+m⋅μ)=i∑j=0pj⋅λ⋅ai-j+pi+1m⋅μm≤i化简得:{pi(1+i⋅c)=i∑j=0pj⋅ai-j+pi+1(i+1)⋅c0≤i＜m-1pi(1+m⋅c)=i∑j=0pj⋅ai-j+pi+1m⋅cm≤i(2)将方程两边同乘以xi然后取和,得m-1∑i=0pi(1+ic)xi+∞∑i=mpi(1+mc)xi=∞∑i=0i∑j=0pj⋅ai-jxi+m-1∑i=0pi+1(i+1)c⋅xi+∞∑i=mpi+1m⋅c⋅xip(x)+cm-1∑i=0ipixi+mc∞∑i=mpixi=∞∑i=0i∑j=0pj⋅ai-jxi+cm∑i=1ipixi-1+mc∞∑i=m+1pixi-1当i=0时,ipixi-1=0,可把m∑i=1ipixi-1的求和范围扩大成从0开始;当i=m时,ipixi-1=mpmxm-1,可把此项并入后面的mc∑i=m+1∞pixi-1,使其求和范围扩大成从m开始;移项,合并同类项得:p(x)=p(x)⋅a(x)+c∑i=0m-1(ipixi-1-ipixi)+mc∑i=m∞(pixi-1-pixi)p(x)(1-a(x))=c(1-x)∑i=0m-1ipixi-1+mc(1-x)∑i=m∞pixi-1(3)而mc(1-x)∑i=m∞pixi-1=mc(1-x)x∑i=m∞pixi=mc(1-x)x(p(x)-∑i=0m-1pixi)=mc(1-x)xp(x)-mc(1-x)∑i=0m-1pixi-1把上式代入(3)式整理得:p(x)(1-a(x))=(1-x)∑i=0m-1cipixi-1+mc(1-x)xp(x)-(1-x)∑i=0m-1mcppixi-1p(x)(1-a(x))=(1-x)∑i=0m-1c(i-m)pixi-1+mc(1-x)xp(x)p(x)=c(x-1)∑i=0m-1(m-i)pixix-x⋅a(x)-mc(1-x)=c(x-1)b(x)x-x⋅a(x)-mc(1-x)下面确定p0,p1,p2,…pm-1实际上,由(2)式的前m-1个方程,可以用p0表示p1,p2,…pm-1又因为p(1)=1,再注意到a(1)=1,a′(1)=a结合洛比达法则可得:c∑i=0m-1(m-i)pimc-a=cb(1)mc-a=1再把p1,p2,…pm-1关于p0的表达式代入上式可以求出p0,再把p0代回p1,p2,…pm-1关于p0的表达式可以求出p1,p2,…pm-1,所以p0,p1,p2,…pm-1满足以下方程组,{pi(1+i⋅c)=∑j=0ipj⋅ai-j+pi+1(i+1)⋅c0≤i＜m-1c⋅b(1)m⋅c-a=1推论1:设稳态下N(t)的均值为L,则:L=2c⋅(mc-a)b′(1)+c(a+a2+σ2)b(1)2(m⋅c-a)2证明:用L=p′(x)|x=1。p′(x)=c∑i=0m-1(i-m)pi(i⋅xi-(i+1)xi)x-x⋅a(x)-mc(1-x)-(1-a(x)-x⋅a′(x)+mc)c(x-1)b(x)(x-x⋅a(x)-mc(1-x))2对上式用两次洛比达法则后,令x=1,注意到a(1)=1,a′(1)=aa″(1)=D(ξ)+[a′(1)]2-a′(1)=σ2+a2-a得:L=2c⋅(mc-a)∑i=0m-1i(m-i)pi+c(2a+a2+σ2-a)∑i=0m-1(m-i)pi2(m⋅c-a)2化简即证。推论2:顾客到达时不用等待的概率为∑i=0m-1pi3客的呼叫是否受．Mξ/M/m模型在呼叫中心的设计中起着十分重要的作