78-lei2多元函数的极值及其求法课件

第八节多元函数的极值及其求法第七章(Absolutemaximumandminimumvalues)一、多元函数的极值二、条件极值拉格朗日乘数法三、小结与思考练习10/8/20231第八节多元函数的极值及其求法第七章(Absolute一、多元函数的极值及最大值、最小值定义若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).例如:在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.的某邻域内有10/8/20232一、多元函数的极值及最大值、最小值定义若函数则称函数说明:使偏导数都为0的点称为驻点.

例如,函数偏导数,证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.取得极值,取得极值取得极值但驻点不一定是极值点.有驻点(0,0),但在该点不取极值.且在该点取得极值,则有存在故定理1(必要条件)10/8/20233说明:使偏导数都为0的点称为驻点.例如,函数偏导数时,具有极值的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令则:1)当A<0时取极大值;A>0时取极小值.2)当3)当这个定理不加证明.时,没有极值.时,不能确定

,需另行讨论.若函数定理2(充分条件)10/8/20234时,具有极值的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令则:10/8/2023510/6/20235例1.求函数解:

第一步求驻点.得驻点:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判别.在点(1,0)处为极小值;解方程组的极值.求二阶偏导数10/8/20236例1.求函数解:第一步求驻点.得驻点:(1,0)在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.在点(1,2)处不是极值;10/8/20237在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.例2.讨论函数及是否取得极值.解:显然(0,0)都是它们的驻点,在(0,0)点邻域内的取值,因此z(0,0)不是极值.因此为极小值.正负0在点(0,0)并且在(0,0)都有可能为10/8/20238例2.讨论函数及是否取得极值.解:显然(0,0)都是它二、最值应用问题函数f在闭域上连续函数f

在闭域上可达到最值

最值可疑点

驻点边界上的最值点特别,当区域内部最值存在,且只有一个极值点P时,为极小值为最小值(大)(大)依据10/8/20239二、最值应用问题函数f在闭域上连续函数f在闭域上可达到最值提示:首先考察函数z在三角形区域D内的极值其次，考察函数在三角形区域的边界上的最大值和最小值.10/8/202310提示:首先考察函数z在三角形区域D内的极值其次，考察函数在三首先考察函数Z在三角形区域D内的极值.令解此方程组，得到D内的驻点为(2,1).解:令10/8/202311首先考察函数Z在三角形区域D内的极值.令解此方程组，得到D其次，考察函数在区域D的边界上的最大值和最小值.（1）在x=0上,z=0;（2）在y=0上,z=0;（3）在x+y=6上,解得驻点x=0和x=4比较得最大值为4，最小值为－64.10/8/202312其次，考察函数在区域D的边界上的最大值和最小值.（1）在x=把它折起来做成解:

设折起来的边长为xcm,则断面面积x24一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为

,积最大.为问怎样折法才能使断面面例4有一宽为24cm的长方形铁板,10/8/202313把它折起来做成解:设折起来的边长为xcm,则断面面积令解得:由题意知,最大值在定义域D内达到,而在域D内只有一个驻点,故此点即为所求.10/8/202314令解得:由题意知,最大值在定义域D内达到,而在域D内只有二、条件极值拉格朗日乘数法极值问题无条件极值:条件极值:条件极值的求法:方法1代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如,转化10/8/202315二、条件极值拉格朗日乘数法极值问题无条件极值:条件极例解10/8/202316例解10/6/202316如方法1所述,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极值问题,极值点必满足设记例如,故故有方法2拉格朗日乘数法.10/8/202317如方法1所述,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极值问引入辅助函数辅助函数F

称为拉格朗日(Lagrange)函数.利用拉格极值点必满足则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.10/8/202318引入辅助函数辅助函数F称为拉格朗日(Lagrange)拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.设解方程组可得到条件极值的可疑点.例如,求函数下的极值.在条件推广10/8/202319拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.设解例5要设计一个容积为V的长方形无盖水箱,试问长、宽、高各等于多少时,可使得表面积达到最小?若设长、宽、高各等于x,y,z,则目标函数:约束条件:10/8/202320例5要设计一个容积为V的长方形无盖水箱,试例5解此例以往的解法是从条件式解出显函数,例如代入目标函数后,转而求解的普通极值问题.可是这样做并不总是方便的,而且往往无法将条件式作显化处理,更不用说多个条件式的情形了.现在的新办法是设辅助函数并求解以下方程组:10/8/202321例5解此例以往的解法是从条件式解出显函数,例如两两相减后立即得出再代入第四式,便求得为消去,将前三式分别乘以x,y,z,则得10/8/202322两两相减后立即得出得唯一稳定点由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的2倍时，所用材料最省.因此,当高为思考:1)当水箱封闭时,长、宽、高的尺寸如何?提示:

利用对称性可知,2)当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时,欲使造价最省,应如何设拉格朗日函数?长、宽、高尺寸如何?提示:长、宽、高尺寸相等.10/8/202323得唯一稳定点由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的2解则由(1)，(2)得由(1)，(3)得10/8/202324解则由(1)，(2)得由(1)，(3)得10/6/2将(5)，(6)代入(4)：于是，得这是唯一可能的极值点。因为由问题本身可知，最大值一定存在，所以，最大值就在这个可能的极值点处取得。故，最大值10/8/202325将(5)，(6)代入(4)：于是，得这是唯一可能的极例6解这里有两个条件式,需要引入两个拉格朗日常数;而且为了方便计算,把目标函数改取距离目标函数:约束条件:的平方(这是等价的),即设10/8/202326例6解这里有两个条件式,需要引入两个拉格朗日求解以下方程组:由此又得再代入条件式,继而求得:(这里否则将无解)10/8/202327求解以下方程组:故原点至已知曲线上点的最小距离与最大距离分别为最后得到10/8/202328故原点至已知曲线上点的最小距离与最大距离分别为注意:应用拉格朗日乘数法求解条件极值问题，产生的方程组变量个数可能比较多，似乎解这个方程组往往是很困难，但注意我们可以利用变量之间的关系(也就是问题给出的条件)，找到解方程组的简便方法，而不是要用死板的方法去解方程组.10/8/202329注意:应用拉格朗日乘数法求解条件极值问题，10/6/2023内容小结1.函数的极值问题第一步利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步利用充分条件判别驻点是否为极值点.2.函数的条件极值问题(1)简单问题用代入法如对二元函数(2)一般问题用拉格朗日乘数法10/8/202330内容小结1.函数的极值问题第一步利用必要条件在定义域内设拉格朗日函数如求二元函数下的极值,解方程组在条件求驻点.3.函数的最值问题第二步判别•比较驻点及边界点上函数值的大小•根据问题的实际意义确定最值第一步找目标函数,确定定义域(及约束条件)10/8/202331设拉格朗日函数如求二元函数下的极值,解方程组在条件求驻点.作业习题7-8P116

2;810/8/202332作业习题7-8P116已知平面上两定点A(1,3),B(4,2),试在椭圆圆周上求一点C,使△ABC面积S△最大.思考练习解答提示:设C点坐标为(x,y),则10/8/202333已知平面上两定点A(1,3),B(4,2设拉格朗日函数解方程组得驻点对应面积而比较可知,点C与E重合时,三角形面积最大.点击图中任意点动画开始或暂停10/8/202334设拉格朗日函数解方程组得驻点对应面积而比较可知,点C与备用题1.求半径为R

的圆的内接三角形中面积最大者.解