44非线性校正算法课件

4.4非线性校正算法4.4非线性校正算法４.4非线性校正算法校正的目的从Ａ/D转换的数据x，求出被测量的真值y，称为标定或校正。传感器A/D标定xzyX——由A/D送入微机的原始测量数据，Y——被测量的“真值”，Z——经过“校正”处理后，微机输出给显示器或控制器的数据

４.4非线性校正算法校正的目的传感器A/D标定xzyX——本节讨论在y=f(x)公式复杂和y=f(x)只有离散数据两种情况下，由A/D转换结果x求取显示数据z(要求z=y或误差在允许范围之内即z≈y)的方法本节讨论常用的校正算法：查表法插值法拟合法常用的校正算法：离散数据的获得标定实验在规定的实验条件下，给测试系统的输入端逐次加入一个个已知的标准的被测量y1,y2…yn，并记下对应的输出读数(A/D转换结果)x1,x2…xn。这样就获得n对输入/输出数据(xi,yi)，(i=1,2…n)这些“标定”数据就是y=f(x)的离散方式描述。离散数据的获得标定实验4.4.1查表法查表法就是将“标定”试验获得的n对数据（,）(i=1,2,...n)在内存中建立一张输入/输出数据表，再根据A/D数据x通过查这个表查的y，并将查得的y作为显示数据z。具体步骤如下：（1）在系统的输入端逐次加入一个个已知的标准被测量，并记下对应的输出读数。（2）把标准输入（i=1,2...n)值存储在存储器的某一单元，把作为存储器中这个存储单元的地址，把对应的值作为该单元的存储内容，这样就在存储器里面建立一张标定数据表。4.4.1查表法查表法就是将“标定”试验获得的n对数据（(3)实际测量时，让微机根据输出读数去访问该存储地址，读出该地址中存储的即为对应的被测量的真值，将从表中查得的作为显示数据z，应该说是不存在误差的。(4)若实际测量的输出数据x是在和之间，可按最邻近的一个标准读数或去查找对应的或作为被测量的近似值，很显然这个结果有一定的误差，可以用线性内插进行修正，即按照下式子计算出要显示的数据(3)实际测量时，让微机根据输出读数去访问该存储地查表法优点1）不需要进行计算或只需简单的计算；2）Zi=yi为标定数据，不存在误差。查表法缺点需要在整个测量范围内标定实验测得很多的测试数据。查表法优点4.4.2插值法一、插值函数和插值点：插值法是从标定或校准实验的n对测定数(xi,yi)(i=1,2,…,n)中，求得一个函数作为实际的输出读数x与被测量真值y的函数关系的近似表达式。这个表达式必须满足两个条件：第一，的表达式比较简单，便于计算机处理。故一般为多项式。第二，在所有选定的校准点(也称插值点)上满足：

满足上式的称为的插值函数。插值点实际上就是和的相交点。4.4.2插值法一、插值函数和插值点：

二、插值函数的常见形式及其求解1.插值函数的常见形式――m次多项式：2.插值函数多项式系数的确定从标定数据中选取(m+1)组数据作为插值点，解以下(m+1)元方程组可求得(m+1)个多项式系数一般来说，阶数m越高，逼近f(x)的精度越高，但阶数越高，计算越繁冗，计算时间也会增加，故拟合多项式的阶数一般不超过三阶。

二、插值函数的常见形式及其求解1.插值函数的常见形式――例，已知热敏电阻的阻值R(kΩ)与温度t(℃)的关系式如表4-5-1所示例，已知热敏电阻的阻值R(kΩ)与温度t(℃)的关系式如表4三、线性插值 线性插值是从一组数据（xi，yi）中选取两个代表性的（x0，y0）、（x1，y1），然后根据插值原理，求出插值方程：其中：三、线性插值 线性插值是从一组数据（xi，yi）中选取两个若（x0，y0）、（x1，y1），取在非线性特性曲线f(x)或数组的两端点A、B，如下图中的直线表示插值方程，这种线性插值就是最常用的直线方程校正法若（x0，y0）、（x1，y1），取在非线性特性曲线f(x)

表示拟合误差，如果对于所有的x的取值都满足ε为允许的拟合误差，则直线方程就是理想的校正方程。

显然，如果对于非线性比较严重或测量范围比较宽的非线性特性，采用一种直线方程进行校正很难满足仪表的精度要求。故线性插值

4.4.2.1等距节点分段直线校正发等距节点算法适用于非线性特性曲率变化不大的场合，每段曲线都用一个直线方程代替。分段数n取决于非线性程度和仪表的精度要求。精度越高，n越大。每段直线的方程为因为每段的拟合误差一般都不同，拟合结果应保证所求的存入内部ROM中。实时测量时只要选用程序判断输入x位于折线的哪一段，然后取得该段对应的进行计算。程序如下4.4.2.1等距节点分段直线校正发等距节点算法适用于非线44非线性校正算法课件4.4.2.2非等距节点分段直线校正法对于曲率变化较大的分线性特性，若要满足精度要求，分段数n就会变得很大，同时的数目也会增加，占用内存增加，故这时宜采用非等距节点分段直线校正法

4.4.2.2非等距节点分段直线校正法对于曲率变化较大的分非等距节点分段直线插值非等距节点分段直线插值四、抛物线插值

四、抛物线插值如图所示将曲线分成四段，每一段都可以用一个二阶抛物线方程来描绘。其中，抛物线的系数可通过下述方法获得：每一段找出三点（含两端点）联立方程可以求出如图所示将曲线分成四段，每一段都可以用一个二阶抛物线方程分段插值流程图分段插值流程图4.4.3拟合法一、最小二乘法利用n次多项式进行拟合，可以保证在n+1个节点上校正误差为零，因为拟合曲线折线恰好经过这些节点。但是，如果这些实验数据有随机误差，得到得校正方程并不一定能反映出实际的函数关系。因此，对于含有随机误差得实验数据的拟合，通常选择误差平方和的最小这一标准来衡量逼近结果，这就是最小二乘法原理。4.4.3拟合法一、最小二乘法

设被逼近函数为f(xi)，逼近函数为g(xi),xi为x上的离散点，逼近误差为：

记为

：实现；为了使逼近函数简单起见，通常选择多项式。

最小二乘法原理：min设被逼近函数为f(xi)，逼近函数为g(xi),xi二、直线拟合设有一组实验数据如下图所示，现在要求一条最接近于这些数据点得直线。直线可有很多，关键是找一条最佳直线。设这组实验数据的最佳拟合方程为：y=a1x+a0，式中，a1和a0称为回归系数。

二、直线拟合设有一组实验数据如下图所示，现在要求

令：

根据最小二乘原理，要使φa0，a1为最小，对a0，a1求偏导，令其为0，可得：

令：根据最小二乘原理，要使φa0，a1为最小，解得：

将各测量数据代入方程组，即可解得回归方程的回归系数a0和a1，从而得到这组测量数据在最小二乘意义上的最佳拟合直线方程。解得：将各测量数据代入方程组，即可解得回归方程的回归系数a三、曲线拟合

为了提高拟合精度，通常对n个实验数据对（xi，yi）选用m次多项式：

来作为描述这些数据的近似函数关系式（回归方程）。若把（xi，yi）的数据代入多项式就可得n个方程简记为：

三、曲线拟合为了提高拟合精度，通常对n个实验数据对（x

式中，Vi为在xi处由回归方程计算得到的值与测量得到的值之间的误差。根据最小二乘原理，为求取系数aj的最佳估计值，应使误差Vi的平方之和最小，即：

由此可得如下方程组：

式中，Vi为在xi处由回归方程计算得到的值与测量得到的值之计算a0，a1，……，am的线性方程组为

：

由上式可求得m+1个未知数aj的最佳估计值。

计算a0，a1，……，am的线性方程组为：由上式可求得m四、最佳一致逼近法插值法要求逼近函数z=φ(x)与被逼近函数y=f(x)在节点上有相同的函数值，而在非节点处φ(x)就不一定保证很好的逼近函数f(x),而实际问题上要求在整个测量区间上都能够很好的逼近f(x),针对这