3.二次函数综合问题专题一 优录选拔综合训练(三)

专题一：二次函数与全等例题1：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax?+bx+3的顶点为M(2,-1),交x轴于A、B两点，交y轴于点C,其中点B的坐标为(3,0)o求该抛物线的解析式；设经过点C的直线与该抛物线的另一个交点为D,且直线CD和直线CA关于直线BC对称，求直线CD的解析式；在该抛物线的对称轴上存在点P，满足PM2+PB2+PC2=35,求点P的坐标；并直接写出此时直线0P与该抛物线交点的个数。【答案】解：(1)•••抛物线y=ax?+bx+3的顶点为M(2,-1),•••设抛物线的解析式为线尸a(x-2)2-lo•••点B(3,0)在抛物线上，A0=a(3-2)2-l,解得a=l。・•・该抛物线的解析式为y=(x-2)2-1,即戸？-4x+3。(2)在尸x?-4x+3中令x=0,得y=3。AC(0,3)。AOB=OC=3oAZABC=45°o过点B作BN丄x轴交CD于点N(如图)，则ZABC=ZNBC=45°o•・•直线CD和直线CA关于直线BC对称，AZACB=ZNCBo又•/CB=CB,AAACB^ANCB(ASA)。.\BN=BAoVA,B关于抛物线的对称轴x=2对称，B(3,0),AA(b0)oZ.BN=BA=2oAN(3,2)。设直线CD的解析式为yHcx+b,VC(0,3),N(3,2)在直线CD±,解得,(3)设P(2,p)。TM(2,-1),B(3,0),C(0,3),・••根据勾股定理，得PM2=(p+1)2=p2+2p+l,PB2=(3-2)2+p2=p2+l,PC2=22+(p-3)2=p2-6p+13oVPM2+PB3+PC2=35,:.p2+2p+l+p2+l+p2-6p+13=35。整理，得3p2-4p-20=0>解得P]=-2,p2=—o3AP(2,-2)或(2,—)o当P(2,-2)时，直线OP与该抛物线无交点；当P(2,—)时，直线OP与该抛物线有两交点。【分析】(1)由于已知抛物线的顶点坐标，所以可设抛物线的顶点式，用待定系数法求解。(2)由直线CD和直线CA关于直线BC对称，构造全等三角形：过点B作BN丄x轴交CD于点N,求出点N的坐标，由点B,N的坐标，用待定系数法求出直线CD的解析式。(3)设P(2,p),根据勾股定理分别求出PM?、PB，和PC2,由PM2+PB2+PC2=35,列式求解即可求得点P的坐标(2,-2)或(2,—)o当P(2,—2)时，直线OP的解析式为尸一x,与尸x?-4x+3联立，得-x=x?-4x+3,即x2-3x+3=0oVA=9-12=-3<0,Ax2-3x+3=0无解，即直线OP与抛物线无交点。即3x?-17x+9=0。VA=289-108=181>0,A3x2«17x+9=0有两不相等的实数根，即直线OP与抛物线有两个交点。例题2：如图，已知二次函数Jx-3与x轴交于A、B两点，A在B的左侧，点P在抛物线上，且在对称轴右侧。以BP为斜边作等腰直角三角形，直角顶点M正好落在对称轴上，求P点的坐标。

练习:1.如图二次函^y=x2-4x+3与坐标轴交与A、B、C三点，C点关于对称轴的对称点为D点，点P在抛物线上，且ZPDB=45°，求P点的坐标。2、如图1,已知抛物线y=a(x+1)0C&3OA•OBo(x-3)2、如图1,已知抛物线y=a(x+1)0C&3OA•OBo(x-3)与x轴交于A、B两点,与y轴负半轴交于点C,若(1)求抛物线的解析式;(2)如图2,P(-4,0)

为x轴上一点，Q为第四

象限的抛物线上一点，PQ

交AC于点D,若Z

PDA=45°，求Q点的坐标。专题二：二次函数与相似例题3：已知抛物线y=yx2-与x轴交于点A.O两点，点P在抛物线上，ZAPO=90°^求P点坐标。例题4:如图①，已知抛物线y=ax2+bx(a^0)经过A(3,0)、B(4,4)两点.求抛物线的解析式;C)将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D,求m的值及点D

的坐标;⑶如图②，若点N在抛物线上，且ZNBO=ZABO,则在(2)的条件下，求出所有满足APOD^ANOB的点P的坐标(点P、0、D分别与点N、0、B对应).【答案】解：(1)抛物线的解析式是y=x_3x。设直线OB的解析式为y=bx,由点B(4,4),得：4=4ki，解得ki=lo直线OB的解析式为y=x。・•・直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y=x—m。*/点D在抛物线y=x?—3x上，.I可设D(x,x‘一3x)。又点D在直线y=x—m上，/.x2—3x=x—m,即x‘一4x+m=0。•・•抛物线与直线只有一个公共点，△="—4m=0,解得：m=4°此时Xi=X2=2,y=x3—3x=—2o二D点坐标为(2,—2)。•・•直线OB的解析式为y=x,且A(3,0),:.点A关于直线OB的对称点A的坐标是(0,3)。设直线的解析式为y=%x+3,过点B(4,4),/.4k2+3=4,解得：k3=|o/.直线AE的解析式是y=条+3。VZNBO=ZABO,・••点N在直线AB上。・；设点N(n,务+3),又点N在抛物线y=x?—3x上，•••严+3=n2—3m解得：ni=—率n2=4(不合题意，会去)。

・••点N的坐标为（一才，如图，将Z\NOB沿x轴翻折，得到ANiOBi，则叫（一?一等），B】（4,—4）。AO.D、Bi都在直线『=一x上。VAPiOD^ANOB,/.APiOD^ANiOBio6I^=6b7=2oa点Pi的坐标为（一g—32）°将△OP】D沿直线y=—x翻折，可得另一个满足条件的点P3（||,|）o综上所述，点P的坐标是（一言,—务或（筝,萩练习：1、已知二次函S[y=x2-4x+3与x轴交于A、B两点，A在B的左侧，与y轴交于C点，点P在x轴上方的抛物线上，且ZPCB=ZOCA,求P点的坐标。2、如图1,抛物线y*（x-i）2+4与x轴分别交于E、F两点，与y轴正半轴交于C点，抛物线的顶点为D,对称轴交x轴于E点，已知DE=ABo（1）求抛物线的解析式；（2）如图2,作CF丄DE于点F,M（m,0）x是轴上一动点，以CM为斜边构造RtACMN,且直角顶点N在线段上EF（含E、F两点）,求m的取值范围。

专题三：二次函数与面积例题5：如图，抛物^y=-yx2-x+4交坐标于A、B、C三点，点P在抛物线上，Sapac=4,求P点的坐标。练习：1、如图，抛物线4与直线y=x交于A、B两点，点M为第四象限的抛物线上一动点，当厶BOM的面积最人时，求点BOM的面积最人时，求点M的坐标。2、已知抛物线y=a/-4ax+b与x轴交于点A(1,0)、B两点，与y轴交于点C(0,3)。求抛物线的解析式；若SAABE=ySTOBECt求点若SAABE=ySTOBECt求点E的坐标。专题四：二次函数与旋转.平移例题6：如图，抛物^y=-x2+4x-3与坐标轴交与A、B、C三点，点M在线段BC上，将线段OM绕点0逆时针旋转90°，使点M的对应点N恰好落在第一象限的抛物线上，求N的坐标。例题7：如图，点O为坐标原点，直线1绕着点A（0,2）旋转，与经过点C（0,1）的二次函数y=-x2+h交于不同的两点P、Q4（1）求h的值；（2）通过操作、观察算出APOQ面积的最小值（不必说理）：（3）过点P、C作直线，与x轴交于点B,试问：在直线1的旋转过程中四边形AOBQ是否为梯形，若是，请说明理由；若不是，请指明其形状.【答案】解：【答案】解：（1）（2）操作、观察可知当直线l〃x轴时，其面枳最小;1c将y=2带入二次函数y=_x「+l中，得乳=±2AS«^=（2x4）-2=4o4（3）连接BQ,若1与x轴不平行（如图），即PQ与x轴不平行，依题意，设抛物线y=^x2+l上的点P(a,ia2+l)sQ(b,-b2+1)(aVOVb)。44直线BC：y=lqx+l过点P,••—a-+1=ak]+1,k]=—a。44直线BC：y=iax+14令y=0得：xB=--,ii点A的直线1：y=k2x+2经过点P、Q,a:.-a2+l=ak.+2•…①，丄b?+l=bk^+2•…②。44-®xb-(2)xa得:—(a2b-b2a)+b-a=2(b-a)t化简得：b=-—o4a・••点B与Q的横坐标相同。・・.BQ〃y轴，即BQ〃OA°又VAQ与OB不平行，.••四边形AOBQ是梯形。根据抛物线的对称性可得(a>O>b)结论相同。若1与x轴平行，由OA=2,BQ=2,OB=2,AQ=2,且ZAOB=90°,得四边形AOBQ是正方形。故在直线1旋转的过程中：当1与x轴不平行时，四边形AOBQ是梯形；当1与x轴平行时，四边形AOBQ是正方形。【分析】(1)根据二次函数图彖上的点的坐标特征，利用待定系数法求得h的值。(2)操作、观察可得结论。实际上，由P(a,爲？+1)、Q(b,lb2+l)(a<O<b),可求444得b=-—(参见(3))o・••当/"|=/石即|a冃b|(P、Q关于y轴对称)时，ZYPOQ的面积最小。即PQ〃x轴时，APOQ的面积最小，且POQ的面积最小为4。判断四边形AOBQ的形状，可从四个顶点的坐标特征上来判断.首先设出P、Q的坐标，然后根据点P、C求出直线BC的解析式，从而表示出点B的坐标，然后再通过直线PQ以及P、A、Q三点坐标，求出Q、B两点坐标之间的关联，从而判断该四边形是否符合梯形的特征。练习：1、如图1,已知AABC为直角三角形，ZACB=90°»AC=BC,点A、C在x轴上，点B的坐标为(3,m)(m>0),线段AB与y轴相较于点D,以P(1,0)为顶点的抛物线过B、D两点。求抛物线的解析式；

（2）如图2,将（1）中的抛物线沿y轴向上平移k个单位，平移后的抛物线交线段BD于E、F两点，若EF=yBD,求k的值；2、如图1,抛物线y=a（x-2）?+1与x轴交于A、B两点，与y轴负半轴交于点C,抛物线的对称轴交抛物线于点D,交轴于点E,若AB=2DE°（1）求抛物线的解析式;（2）沿抛物线的对称轴向下平移抛物线，平移后的抛物线交线段一BC于F、G两点，若FG=yBC,求平C、C、D两点关于原点对称。直线专题五：二次函数与圆3例题8：如图，抛物线y=yx2+yx.2与坐标轴交于A、B、C三点y=-x+l与对称轴交于E点，求tanZEDAo例题9：如图，抛物线m：丫=一丄仗+｝『+1^与久轴的交点B,与y轴的交点为C,顶点为M（3,手）转180°,得到新的抛物线n,它的顶点为D（1）求抛物线n的解析式；

设抛物线n与x轴的另一个交点为E,点P是线段ED上一个动点(P不与E、D重合)，过点P作y轴的垂线，垂足为F,连接EF如果P点的坐标为(X,y),APEF的面积为S,求S与x的函数关系式，写出自变量x的取值范闱，并求出S的最人值：设抛物线m的对称轴与x轴的交点为G,以G为圆心，A、B两点间的距离为直径作0G,试判断直线CM与OG的位置关系，并说明理由.【答案】解：(1)I抛物线m的顶点为M(3,—),4•••m的解析式为y=--(x-3)2+—=-l(x-8)(x+2)oAA(-2,0),B(8,0)。TOC\o"1-5"\h\z444•・•抛物线n是由抛物线m绕点B旋转180°得到，「.D的坐标为(13,-手)。•••抛物线n的解析式为：y=l(x-13)2-—,即y=-x2--x+36o4442(2)•・•点E与点A关于点B中心对称，・・・E(18,0)o545设直线ED的解析式为y=kx+b,・•・直线ED的解析式为y拧x-亍。又点P的坐标为(x,y),.•.S=l|OF|-|FP|=||X|-|y|=-ixy=-|x(^x-y)=-|x2+^x(13<x<18)。90・・・当乂=——=9时，S有最大值。但13VXV18,•••△PEF的面积S没有最人值。2x(--)87(3)直线CM与OG相切。理由如2•••抛物线m的解析式为y=—Z(x—8)(x+2)，令x=0得y=4。二C(0,4)。4T抛物线m的对称轴与x轴的交点为G,•••OC=4,OG=3,GM=—o4•••由勾股定理得CG=5o又VAB=10,A0G的半径为5,・••点C在0G上。过M点作y轴的垂线，垂足为N,贝ijCM2=CN2+MN2=(―-4)2+32=—o416

又CG求抛物线的解析式；P是抛物线上一点，且APBE以BE为一条直角边的直角三角形，求出所有符合条件的P点的坐标；如图2,求抛物线的解析式；P是抛物线上一点，且APBE以BE为一条直角边的直角三角形，求出所有符合条件的P点的坐标；如图2,N为线段MD上一个16164・•・GM2=CG2+CM2。根据勾股定理逆定理，得ZGCM=90°。・・・CG丄CM。・•・直线CM与0G相切。【分析】（1）由抛物线m的顶点坐标写出抛物线m的顶点式方程，化为交点式方程即可求出A、B两点的坐标，根据旋转的性质即可求出抛物线n的解析式。（2）求出直线ED的解析式，由点P在直线ED,可知P（x,艺），从而求出APEF的而积S的函数44关系式，由点P在线段ED上得13<xvl8。从而根据二次函数最值的求法得出结果。（3）要判断直线CM与。G的位置关系首先要判断CG与0G半径的关系，由AB=10,得0G的半径为5o求出CG,知点C在0G上。由勾股定理和逆定理，得出GM2=CG2+CM2o从而得出CG丄CM,得出直线CM与0G相切的结论。练习：1、抛物线y=a（x+6）2-3与x轴相交于4,B两点，与尹轴相交于C,D为抛物线的顶点，直线DE丄x轴，垂足为E,AE2=3DE.（1）求这个抛物线的解析式；（2）P为直线DE上的一动点，以PC为斜边构造直角三角形，使直角顶点落在x轴上.若在x轴上的直角顶点只有一个时，求点P的坐标；2、如图1，抛物线y=a（x-l）彳鼻与乂轴交于a、B两点，与y轴交于点C,M为抛物线的顶点，直线MD丄x轴于点D,E轴于点D,E是线段DM1」.一点，DE=1,且ZDBE=ZBMDoy厂7/Ey厂7/E\Xx/°D\图1yc/D\图2点，以N为等腰三角形顶角顶点，NA为腰构造等腰AN血G,且G点落在直线CM上，若在直线CM上满足条件的G点有且只有一个时，求点N的坐标3、如图，抛物ay=ax2-4ax+b交x轴于A(1,0)、B两点，交y轴于C,且Saabc=3o求抛物线的解析式；若点F(m,2m-5)为第一彖限的抛物线上一点，点K为x轴负半轴上一点，以k为圆心作OK,且。K与直线CF和直线AF都只有一个公共点，求K点的坐标：点P为对称轴右侧的抛物线上一点，点M为x轴上一点，且PM=PA=PC,求点M的坐标。专题五例10.如图，抛物线y=ax2+bx+c专题五例10.如图，抛物线y=ax2+bx+c关于直线x=l对称，与坐标轴交与A,B,C三点，且AB=4,点D(2,|)在抛物线上，直线1是一次函数yM<x-2(k^O)的图象，点O标原点.求抛物线的解析式；若直线1平分四边形OBDC的面积，求k的值；把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物直线1交于M,N两点，问在y轴正半轴上是否存在一定点P,使得k取何值，直线PM与PN总是关于y轴对称？若存在，求出P点坐若不存在，请说明理由・是坐解答：解：(1)因为抛物线关于直线x=l对称，AB=4,所以A(-b0),B(3,0),设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),•••点D(2,-)在抛物线上，•••昱ax3x(-1),解得a=-丄，22•••抛物线解析式为：尸-丄(x+1)(x-3)=-丄x'+x+d.222⑵抛物线解析式为十号+呜令®得・・・・C(0,⑵抛物线解析式为十号+呜令®得・・・・C(0,•••DOACD//OB,直线CD解析式为直线1解析式为y=kx-2,令y=0,得x=^；令尸*得乂二^；如答图1所示，设直线1分别与OB.CD交于点E、F,则E(M0),F(丄，上),k2k20E=^,BE=3-CF」••0E=^,BE=3-CF」•••直线1平分四边形OBDC的面积,S悌形OEFC=S梯形FDBE，DF=2-—.2kA-(OE+CF)・0C」(FD+BE)・0C,22•••OE+CF=FD+BE,即：-?+-L=(3-J)+(2--L),k2kk2k解方程得：k=Al,经检验k』是原方程的解且符合题意,55假设存在符合题意的点P，其坐标为(0,t)・抛物线解析式为：y=-丄x?+x+邑-丄(x-1)2+2,222把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为：尸-丄J.2依题意画出图形，如答图2所示，过点M作MD丄y轴于点D,NE丄y轴于点E,设M(Xm，ym)9N(xlvyn)，贝'JNID=-xm,PD=t-ym；NE=xn*PE=t-yn・•••直线PM4PN关于y轴对称，•••ZMPD=ZNPE,又ZMDP=ZNEP=90°,ARtAPNID^RtAPNE,二巫卑，即二——①，NEPEfynT点M、N在直线y=4cx-2上，/.ym=kxm-2,yn=4cxn-2,代入①式化简得：(t+2)(Xm+Xn)=2kxmxn②把y=kx-2代入尸-i2.,整理得：x2+2kx-4=0,/.xm+xn=-2k,XmXn=-4,代入②式解得：t=2,符合条件.所以在y轴正半轴上存在一个定点P(0,2),使得不论k取何值，直线PM与PN总是关于y轴对称.y答图1答图2y答图1答图2【反馈练习】已知抛物线y=ax2+3ax+b交x轴分别于A.B（1,0）,交y轴于C（0,2）.（1）求此抛物线的解析式；（2）如图（1）,尸为抛物线第三彖限的点，在抛物线上是否存在点P,使得SApAC=28^,若存在，求尸点坐标；（3）如图（2）,。为抛物线的顶点，在抛物线上是否存在点0,使△怒为直角三角形，若存在，求出Q点的坐标TOC\o"1-5"\h\zQ（1）y=-—x3-—x+2:2（2）设PC交x轴于M,过A.B分别作PC的垂线，垂足分别为S、T,若SApAC=2S^BC,则MBBT空=竺=2=心丄=Z=D二,0MBBTMBBT333I3y=3x+2•••直线CM:y=3x+2,联立°3得P（•••直线CM:y=3x+2,联立y=_—x___x+2213in?（3）存在Q（0,2）和Q（—，——）.525如图1,在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=a（x+l）2+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C,其顶点为肚若直线MC的函数表达式为y=kx-3,与x轴的交点为N,且/3^0COSZBCO=・10（1）求此抛物线的函数表达式；（2）在此抛物线上是否存在异于点C的点P,使以N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2,分别过A、C两点作x轴和y的垂线，两条垂线相交于点D,T为0C的中点问：是否在0A上存在一点P（点P不与A、0两点重合），使得ZTPD二ZPDC?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由.

(1)y=(x41)3-4sx24-2x-3（2）i假设在拋物线上存在异于点C的点P,使以N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形•为另一条直角边.•・•点M（-1.-4）在直线MC上・.・・-4=3,即&“・・••直线MC的函效表达式为y=x・3・易得直线MC与z轴的交点N的坐标为"（3,0）.•・・|OC|“OM.・・・ZCW=45：在y轴上取点。（0・3）•连结ND交抛物线于点P.•・•|av|=\OD\..\zAVO=45!.・.Z.WC=90：设宜统NU的函败表达式为）二砂+几(3m+n=0.n=3/.玄线加的函数表达式为）工-Z+3.设点P（X・・“3）•代人抛物线的函数表达式.得一*+3二s'*2丄-3•即才'♦3x■6=0・解得知解得知9-vz339♦如•••升-―；一仍=―2-•・•.满足条件的点为PJ斗互•土謬）4（人；侮・¥^）・[或:求岀直线AC的函数表达式为y二-X-3.设点Pg-X-3）•代入拋物线的函数衣达式•徉-x-3=z2+2x-3•即x3*3r=0.解得®=・3宀=0.n=0.n=・3・・・・点几（・3,0）.几（0「3）（舍去）・]综上可知•在抛物线上存在满足条件的点•冇3个，分别为：片（岂逻呼张（上尹呼％（-3,0）.（3）提示：延长PT交DC的延长线于点S,作SH丄PD•易证ADCO是边长为3的正方形，证厶TOA^A

TCS,ASPD是等腰三角形•设OP二"则AD二3,DP=(3-a)2+9.AP=3-a,]APDHSD二3+a,DH二一DP,证厶PAD<^ADHS,得——=——，2AP•DS=DP2,2(3-a)(3+a)2DPDS二(3—aF+9,解得：ai=2,82二0(不合题意，舍去)，AP(-2,0).3•如图1,抛物线y=（2a—l）x2-4ax+b与x轴交于A.B两点，与y轴正半轴交于点C,直线BC的解析式为：y=kx-3k,tanZOCB=1.（1）求此抛物线的解析式；（2）如图2,若y轴负半轴上点M,此抛物线上点N,关于直线AC对称，求点N的坐标；（3）设D为该抛物线的顶点，在此抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得△PAD与△ABC相似，若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由.•••ZAC0二ZACE•••ZAC0二ZACE•••AF二0A二1又TNAFEs/JCOE.EFOEEF2+EF2+AF2=AE2••••••EF解得：X]=0（舍去）X2=~4•••直线CE的解析式为y=-—x+34V=——X+33y=X2-4x+3或：设MN交直线AC于D,作DDi丄OB于Di，作NH丄DD】于H设ADi=m,则点N的横坐标为2mC纵坐标为（2m£）2-4（2m+2）+3tailZOCA=tailZADDj=taiZDNH,NH=in+l

DH=3m+[(2m+2)2-4(2m+2)+3],又NH=3DH即3m2+2m-l=0mi=-rrb=-l(舍去)AN(一，)*339(3)D(2,-1),则ZADP=ZABC=45°分两种情况Pi(2,2Pi(2,2)PD~BC（0,2）,点E为线段典B上的4•已知，如图，在平面直角坐标系中，点（0,2）,点E为线段典B上的动点（点E不与点A,B重合），以E为顶点作ZOET=45°,射线ET交线段OB于点F,C为y轴正半轴上一点，且OC=AB,抛物线y=-41x2+inx+n的图象经过A,C两点.（1）求此抛物线的函数表达式；（2）求证：ZBEF=ZAOE：（3）当AEOF为等腰三角形时，求此时点E的坐标；（4）在（3）的条件下，当直线EF交x轴于点D,P为（1）中抛物线上一动点，直线PE交x轴于点G,在直线EF上方的抛物线上是否存在一点P,使得AEPF的面积是AEDG面枳的（2^2+1）倍.若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由・••【答案】解:(1)VA(-2,0),B(0,2),AOA=OB=2<>•••AB2=OA2+OB2=22+32=8o•••AB=2近。VOC=AB,AOC=2^,即C(0,2忑)。•••••抛物线y=->/2x2+mx+n的图象经过A、C两点，得•••••抛物线y=->/2x2+mx+n的图象经过A、C两点，得「•抛物线的表达式为尸―>/2X2—y/lx+ly/lo证明：OA=OB,ZAOB=90°,AZBAO=ZABO=45°o又VZBEO=ZBAO+ZAOE=45°+ZAOE,ZBEO=ZOEF+ZBEF=45°+ZBEF,/•ZBEF=ZAOEo(3)当AEOF为等腰三角形时，分三种情况讨论①当OE=OF时，ZOFE=ZOEF=45%在厶EOF中，ZEOF=180°-ZOEF-ZOFE=1800-450-450=90°o又VZAOB=90%则此时点E与点A重合，不符合题意，此种情况不成立。如图①，当FE=FO时，ZEOF=ZOEF=45°o在厶EOF中，ZEFO=180°-ZOEF-ZEOF=180o-45°-45o=90°,/•ZAOF+ZEFO=90°+90°=180%.\EF/7AOo•••ZBEF=ZBAO=45°。又・••由(2)可知，ZAB0=45%AZBEF=ZABOoABF=EFoAEF=BF=OF=ioB=-x2=loAE(-1,1)。22如图②，当EO=EF时，过点E作EH丄y轴于点H,在ZkAOE和ABEF中，•/ZEAO=ZFBE,EO=EF,ZAOE=ZBEF,AAAOE^ABEF(AAS)oABE=AO=2o图①VEH±OB,AZEHB=90°oAZAOB=ZEHBo图①•••EH〃AO°•••ZBEH=ZBAO=45°o在RtABEH中,・・・ZBEH-ZABO=45°,/.EH-BH-BEcos45—x。-返.\OH=OB-BH=2-2>/2o二E(—屁2_近)。综上所述，当AEOF为等腰三角形时，点E坐标为E(-b1)或E(->/2,2—血)。88（4）P（0,2>/2）或P（-b2竝）。假设存在这样的点P。当直线EF与x轴有交点时，由（3）知，此时E（—71,2—返）。图③过点E作EH丄y轴于点H,则OH=FH=2-0图③由OE=EF,易知点E为RtADOF斜边上的中点，即DE=EF。过点F作FN〃x轴，交PG于点N。易证△EDG竺△EFN,因此SaEfn=S/.edg^依题意，可得Sz\EPF=（2>/T+l）SaedG=（2y/l+1）SaefN，APE：NE=2>/2+lo过点P作PM丄x轴于点M,分别交FN、EH于点S.T,则ST=TM=2-x/20VPN/7EH,APT：ST=PE：NE=2>/2+lo?.PT=（2>/2+l）ST=（2厲+1）（2-x/2）=3忑一2。・•・PM=PT+TM=241,即点P的纵坐标为2>/2o/.2>/2=—>/2x2—5/2x+25/2,解得xi=0»X2=—1o••・P点坐标为（0,2返）或（一1,2血）。综上所述，在直线EF上方的抛物线上存在点P,使得AEPF的面枳是AEDG面积的（2血+1）倍，点P的坐标为（0,2返）或（一1,272）o如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图彖与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3,0）,与y轴交于C（0,-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.（1）求这个二次函数的表达式.（2）连接PO、PC,并把APOC沿CO翻折，得到四边形POPC,那么是否存在点P,使四边形POP©为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最人并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最人面积.

解得<【答案】解:（1）将B、解得<【答案】解:（1）将B、C两点b=_2c=-3（2）存在点P,使四边形POPC为菱形。设P点坐标为(x,x2-2x-3),PP咬CO于E,若四边形POPC是若四边形POPC是菱形，则有PC=POo连接PPS则PE丄CO于E。2士輕（不合题意，舍去）。（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q,与OB交于点F,（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q,与OB交于点F,设P（x,x2-2x-3),设直线BC的解析式为y=4cx+b,则3k+b=0fk=l<，解得｛。•••直线BC的解析式为尸・3。b=_3[b=_3则Q点的坐标为（x,x・3）°•:S四边形ABPC=SAABC+SABPO+SaCPQ?AB.OC+?QP・OF弓QP.BF扌43+扌.[(工2_2x_3)_(x_3)]・3=x3丫丄75I,「1)8・•・当X=|时，四边形ABPC的面枳最人，此时P点的坐标为（|，-計四边形ABPC的面积的最人值优录22012+1220口+1设P=讣，Q=皿，则P与Q的人小关系是A2如+122014+1A・P>QB・P=QC・P<QD・不能确定在直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点，称为整点.设k为整数，当直线y=x+2与直线y=kx-4的交点为整点时，k的值可以取DA・8个B.7个C.6个D.5个如图，矩形ABCD被分割成六个正方形，其中最小正方形的面枳等于1,则矩形ABCD的面积等于BB・143AB・1434.C.132D・4.C.132D・108直线y=*x+k与x轴的交点分别为A、B,如果SaaobWI，A・kWlB.ovkwic.-lWkWiD・kW—1或k$iAB+BC+CD=6,如图，在梯形ABCD中，AB〃DC,AB丄BC,E是AD的中点,AB+BC+CD=6,BE=G，则梯形ABCD的面积等于DABE=G，则梯形ABCD的面积等于DA・13C.13yB・8D・4nC设xi，x?是方程x2-x-2013=0的两实数根，则Xi3+2014x2-2013=・【答案】2014.【解析】依题意可知xi+x?=l,xix3=—2013,且xi2—xi—2013=0./.xi2=xi+2013®.将①式两边同时乘以X1，得X13=X12+2O13X1②.将①代入②，得Xi3=2014xi+2013・•••xJ+tOMx?—2013=2014为+2013+2014x2-2013=2014(xi+x2)=2014・不论k取什么实数，关于x的方程竺上—竺迴£=1(a、b是常数)的根总是x=l,那么6—2如图，AB是半径为R的圆O的直径，四边形CDMN和DEFG都是正方形.其中C,D,E在AB上,F,N在半圆上，则两个正方形的面积之和为・.R?已知抛物线G的顶点为尸（1，0）,且过点（0,^）,将抛物线G向卞平移A（h>0）个单位得到抛物线(-2^,2),(-2^,2),B(-1),BP2=12,BO*BA=2X6=12,故③正确；对于④，设G,—条平行于龙轴的直线与两条抛物线交于4B、a。四点(如图)，且点4。关于y轴对称，直线血与x轴的距离是m2(m>0).⑴求抛物线G的解析式的一般形式；⑵当m二2时，求7?的值：⑶若抛物线G的对称轴与直线肋交于点E,与抛物线G交于点F,求证tanZ妙-tanZ咖*TOC\o"1-5"\h\z【答案】：解：(1)依题意可设抛物线G的解析式为y=k(x-l)2,且过点(0,.所以丄=k(O-l)2,因此k=-・4所以抛物线G的解析式的一般形式为『=丄x2--x+丄424由(1)知：抛物线G的解析式y=[x-l)2.则依题意可设抛物线G的解析式y=寸(x-1尸-h.因为直线AB与抛物线G的相交于B、C(在对称轴右边)，且直线曲与x轴的距离是m2=4.所以4=Z(x-l)2,解得X]=-3,Xr=5；所以点C(5,4)4又因为点46•关于y轴对称所以点A(-5,4)又因为点A为直线AB与抛物线G的一个交点所以4=丄(_5—l)2—h解得h=54因此，当m二2时，方的值为5.证明：类似于(2)小题，可以很快求得点C(l+2m,nd、点A(-1-2口m2),又因为点A与点D关于直线EF对称,所以点D(3+2m,m2).所以EC二2m,DE二2m+2,EP=m2EF=A+m2又因为点A(-l-2m,m2)为直线AB与抛物线Gy=i-(x-1)2-11的一个交点所以m2=扌(一1一2m-1尸一h,整理得h=2m+1m2m2+2m+1m2丄2m+22m2所以弋血乙EDFf^n乙EC亡EDEC练习：边长为整数，周长等于21的等腰三角形共有BA・4个B・5个C・6个D.7个己知锐角Z\ABC中，ZA=60°,BD和CE都是AABC的高。如果△ABC的面积为12,那么四边形BCDE的面枳为CA・6B・8C・9D・10一个商人用m元（m是正整数）买来了1】台（11为质数）电视机，其中有两台以成本的一半价钱卖给某个慈善机构，其余的电视机在商店出售，每台盈利500元，结果该商人获得利润为5500元，则11的最小值是CA・11B・13C・17D・19在平面直角坐标系xOy中，直线yHcx（k为常数）与抛物线丫=£*?-2交于A,B两点，且A点在y3轴左侧，P点坐标为（0,-4）,连接PA,PB.有以下说法：PO2=PA-PB:当kAO时，（PA+AO）（PB-BO）的值随k的增人而增大:当k=-—时，BP2=BOBA：3IZPAB面积的最小值为4«.其中正确的