2012-2022十年高考数学真题分类汇编专题13三角函数的综合应用(解析版)

+年高考等大教藕颈¾l专题13三角函数的综合应用

十年大数据*全景展示I年份题号考点考查内容2013卷1理16文16三角函数最值与值域主要考查逆用两角和与差公式、诱导公式、及简单三角函数的最值问题2014卷1理6三角函数的实际应用主要考查利用三角函数的应用及三角公式卷2理14文14三角函数最值与值域主要考查三角公式及三角函数最值卷2理16文12三角函数的实际应用主要考查圆的相关知识、正弦定理等基础知识2016卷1理12三角函数图象与性质的综合应用主要考查三角函数的零点、对称性、单调性及最值，考查运算求解能力.卷2理7三角函数图象与性质的综合应用主要考查三角函数图像的平移变换与三角函数得到对称轴.卷2文11三角函数最值与值域主要考查诱导公式、二倍角余弦公式、换元法求最值2017卷2理14三角函数最值与值域主要考查同角三角函数基本关系、三角函数图像与性质、换元法求最值.卷2文13三角函数最值与值域主要考查辅助角公式及三角函数的最值.卷3文6三角函数最值与值域主要考查诱导公式与三角函数的最值，考查转化与化归思想.2018卷1理16三角函数最值与值域主要考查三角函数的二倍角公式、三角函数的图像与性质、利用导数研究函数的单调性、极值与最值.卷1文8三角函数图象与性质的综合应用主要考查降幂公式、三角函数的周期与最大值，考查转化与化归思想与运算求解能力2019卷1理11三角函数图象与性质的综合应用主要考查三角函数的奇偶性、单调性、零点、最值等问题.大数据分析*预测高考考^出现频率2021年预测三角函数最值与值域7/132021年仍将重点考查三角函数图像与性质的.综合应用及三角函数的最值与值域问题，题型仍为选择题或填空题，三角函数图象与性质的综合应用4/13三角函数的实际应用2/13难度为中档题或压轴题.十年试题分类*探求规律考点42三角函数最值与值域(2016全国新课标卷2,文11)函数f(X)=cos2X+6cos(--X)的最大值为()45 (C)6(D)7【答案】B3 11【解析】因为f(X)=1-2si∏2X+6sinX=-2(SinX-^”+—，而SlnXe[—LU，所以当SinX=1时，f(X)取得最大值5,选B.(2017新课标卷3,文6)函数fx)=1sin(X+-)+cos(X-F)的最大值为5 3 6A.5B.1c∙5D.15【答案】A-(-∖【解析】因为(-、cosX—-=cosI6)((-∖=sinX+wV3)f(X)=1.( -1-sinX+—5V 3)(+sinX+V-1 6.( -1—=-sinX+—3) 5V 3)函数的最大值为6，故选A.52—X+I3)所以 --X-、 ..一....一、一一(2012山东)“函数y=2sin (0≤X≤9)的最大值与最小值-N和为V6 3)A.2-√3 B.0C.-1 D.-1-√3【答案】A--【解析】∙∙∙0≤X≤V-3≤6X--/7-. √3/..- -、/[—≤—,..——≤sin(—X一—)≤1,3 6 2 6 3「•y=2,y =-%3∙故选8.max min(2018・新课标I,理16)已知函数f(X)=2sinX+sin2X，则f(x)的最小值是—.【答案】-延2【解析】由题意可得T=2-是f(x)=2sinx+sin2X的一个周期，故只需考虑f(x)=2sinX+sin2X在［0,2-)上的值域，先来求该函数在［0,2-)上的极值点，求导数可得f(x)=2cosX+2cos2X1 -=2cosX+2(2cos2X-1)=2(2cosX-1)(cosX+1),令f(x)=0可解得cosX=-或cosX=-1,可得此时X=—2 3兀或苫，%f%),f(%)在在［。，2兀)上的变化情况如下表所示:%0(。，z3)—(1,-)—(兀,3兀)I—(|—,2兀)2—f'(%)+^0ɪ^0+f(%)~0~/极大值√3极小值I√I/^o.5.(2017新课标卷2,文13).函数f(X) cos%+sin%的最大值为二.y=2sin%+sin2%的最小值为一力ɪ2.【答案】＜5【解析】因为/(%)=、；5Sin(X+φ),其中tanφ=2，所以f(x)的最大值■为、；56.(2017新课标卷2,理14).函数f(%)=sin2%+√'3cos%一兀4(%∈。，I)的最大值是.2【答案】1【解析】3 1f(%)=1一cos2%+√3cos%-4=-cos2%+√3cos%+4√3、2+1%∈0,ι2，那么cos%∈b,1］，当cos%=W时，函数取得最大值1.(2014新课标II理14)函数f(%)=sin(%+2φ)—2sinφcos(%+φ)的最大值为【答案】1【解析】丁f(%)=sin(%+2φ)-2sinφcos(X+φ)=sin[φ+(X+φ)]-2sinφcos(X+φ)=sinφcos(%+φ)+cosφsin(%+φ)-2sinφcos(%+φ) =cosφsin(%+φ)一sinφcos(%+φ)=sin%.∙・f(%)的最大值为1(2013新课标I,理15)设当%=θ时，函数X)=sin%—2cos%取得最大值，则cosθ=2J5【答案】一-5-∙C9八：5∙ 2√5 、一√5【解析】•「f(%)=sin%一2cos%=√5(—sin%——^―cos%),令cosφ=-•C 2,：5 £,、Sinφ=一-5一,]则f(%)=√5(sin%cosφ+sinφcos%)=∙√5sin(%+φ)，当%+φ=2k兀+—^2兀一，,k∈z,即%=2k兀+—一φ,k∈z时，21=cos%—ɪI2),,,.f(x)取最大值，此时θ=2kπ+y-φ,k∈Z.∙.cosθ=cos(2kπ+π-φ)=sinφ=5(2013江西)设f(X)=√3sin3X+cos3X,若对任意实数X都有f(X)≤a,则实数a的取值范围是.【答案】αN2[解析]f(X)=√3sin3X+cos3X=2sin(3X+φ)得1f(x)l≤2故a≥2(2019浙江18)设函数f(X)=sinX,X∈R.(1)已知θ∈[0,2π),函数f(X+θ)是偶函数，求θ的值；π 兀、_(2)求函数)=[f(X+—)]2+[f(X+-)]2的值域.JL乙 iι【解析】(1)因为f(X+θ)=sin(X+θ)是偶函数，所以，对任意实数X都有sin(X+θ)=sin(-x+θ)即sinXcosθ+cosXsinθ=-sinXcosθ+cosXsinθ故2sinxcosθ=0所以cosθ=0C 八 、3又θ∈[0,2)，因此θ=5或7、12( 、12、((2))=fx+12JL乙=sin2X+一+sin2X+—1-cos2X+—1-cos2x+—cos2X-3sin2X=1-√3^2^cos2X+-.7、l__62+2+fx+47I12JI 4)、l 2J2=1-2[S2、√l 3J因此，函数的值域是［1-43,1+.考点43三角函数图象与性质的综合应用(2019・新课标I,理11)关于函数f(X)=sinlXl+lsinXl有下述四个结论:①f(X)是偶函数②f(X)在区间号，π)单调递增③f(X)在[-π,π]有4个零点④f(X)的最大值为2其中所有正确结论的编号是( )A.①②④B.②④C.①④D.①③【答案】C【解析】•二f(一%)=sinl-%1+1sin(一%)I=sinI%1+1sin%I=f(%),，函数f(x)是偶函数，故①正确;当XG(―,兀)时，sinIXI=sinX,IsinXI=sinX,则f(x)=sinX+sinX=2sinX为减函数，故②错误；2当。<x<—时，f(X)=sinIXI+1sinXI=sinX+sinX=2sinX,由f(x)=0得2sinX=0得X=0或X=―,由f(X)是偶函数，得在［――，)上还有一个零点X=-—，即函数f(X)在［-―，―］有3个零点，故③错误，当sinIXI=1，IsinXI=1时，f(X)取得最大值2,故④正确，故正确是①④，故选C(2018・新课标1.，文8)已知函数/(%)=2cos2%-siιu%+2,贝∣J( )f(X)的最小正周期为―，最大值为3f(X)的最小正周期为―，最大值为4f(X)的最小正周期为2—,最大值为3f(X)的最小正周期为2—，最大值为4【答案】B【解析】函数f(X)=2cos2X一sin2X+2=2cos2X一sin2X+2sin2X+2cos2X=4cos2X+sin2X=3cos2X+1=3∙cos2X+1+1=3cos2x+5，故函数的最小正周期为—,函数的最大值为-+5=4，故选B2 2 2 22、,c,,—— —(2016新课标卷1,理12)12.已知函数f(X)=sm(3x+φ)(ω>0,φ∣≤-),X=--为f(X)的零点，X=-乙 I I 一 (—5—\为y=f(X)图像的对称轴，且f(X)在—,-单调，则ω的最大值为()11836)(A)11 (B)9 (C)7 (D)5【答案】B.一11兀 兀，r 9— — —3=11 ——+φ=^π+-左∈Zφ=上—一一,左∈Z,因为IφI≤—，所以φ=-4 4 4 4 4所以f(x)=Sindh-》当A<x<-6时，11x-―4G嗡芳K因为y=sinX啜芸)不八 9— — 7— —单调，故A错；当ω=9时，由,——+φ=k—+-,kgZ,.∙.φ=k—-——,kgZ，因为IφI≤—，所以4 2 4 4φ[,所以f(x)=sin”X+—4),当―<x<-6时，9x+―；G耳,3—)，因为，=sinX (3―,3—)单调，故选B.(2016・新课标∏,理7)若将函数y=2sin2X的图象向左平移专个单位长度，则平移后的图象的对称轴为()A.X=把一—(kGZ)

2 6B.x=kGZ)k兀兀 kπιπC.%=(kGZ) D.%=1(kGZ)2 12 2 12【答案】B【解析】将函数y=2sin2%的图象向左平移ɪ个单位长度，得到y=2sin2(%+ɪ)=2sin(2%+、由2%+-=kπ+-(kGZ)得：％=红+巴(kGZ)，即平移后的图象的对称轴方程为%=把+巴(kGZ)，故选B6 2 2 6 2 65.(2016山东)函数/(%)=(、/3sin%+cos%)(√3cos%-sin%)的最小正周期是A.— B.π C.—— D.2π2 2【答案】B【解析】由题意得f(%)=2sin(%+-)×2cos(%+-)=2sin(2%+-),故该函数的最小正周期6 6 3E 2-T=——=-.故选B.26.(2014安徽)若将函数f(%)=sin2%+cos2%的图象向右平移中个单位，所得图象关于y轴对称，则中的最小正值是-A.一8-B.一43-

C.—83-

D.—

4【答案】C【解析】f(%)=<2sin(2%+》将函数f(%)的图象向右平移3个单位得- - -f(%)=√2sin(2%+--2φ),由该函数为偶函数可知2φ--=k-+-,kgZ4 4 2k-3- 3-即φ=--T-+-Γ-，所以φ的最小正值是为《^,28 87.(2014福建)将函数y=sin%的图象向左平移-个单位，得到函数y=f(%)的函数图象，则下列说法正确的是a.y=f(%)是奇函数 b.y=f(%)的周期是-C.y=f(%)的图象关于直线%=-对称d.y=f(%)的图象关于点|--,0、2 I2)【答案】D【解析】函数y=sin%的图象向左平移-个单位，得到函数f(%)=sin(%+-)=cos%的图象，JJf(X)=cosX为偶函数，排除A；f(X)=cosX的周期为2π，排除B；因为f(-)=cos-=0，所以Jf(X)=cosX不关于直线X=-对称，排除C；故选D.8.(2014辽宁)将函数y=3sin(2X+；)的图象向右平移J个单位长度，所得图象对应的函数J7JA.在区间［――,——］上单调递减1212J7JB.在区间［二,=］上单调递增

1212JJC.在区间［--,-］上单调递减

63JJD.在区间［--,-］上单调递增

63【答案】B【解析】将y=3sin(2X+J)的图象向有右移π个单位长度后得到y=3sin［2(X-J)+J］，即2πy=3sin(2X--)的图象，令-巴+2k兀≤2X一生≤三+2k兀32,k∈Z,化简可得2π 7πX∈[—+kπ,—+kπ],k∈Z12 122J J 7J即函数y=3sin(2X--—)的单调递增区间为［得+k兀,—-+k兀］J JL乙 JL乙k∈Z,令k=0.可得2J J7Jy=3sin(2x-——)在区间[,——]上单调递增，故选B.3 12129.(2013山东)将函数y=sin(2X+φ)的图像沿X轴向左平移ɪ个单位后8得到一个偶函数的图像，则中的一个可能取值为，，3JA- 4C．0πD-4JB4【答案】BπX门)的图像沿X轴向左平移∙，个单位，得到函数O‘∙E,因为此时函数为偶函数，所以“c-二 /,即8 4 4 2算T-A二A/，所以选B.410.(2018北京)在平面直角坐标系中，记d为点P(Cosθ,sinθ)到直线X-my-2=0的距离，当θ,m变化时，d的最大值为A.1B.2C.3D.4【答案】CjIcosθ-mSinθ-21ImSinθ-Cosθ+21【解析】由题意可得d= = = Ym2+1 mm2+1IVm2+1sin(θ-φ)+21Ym2+1m1(其中CoSφ- z,Sinφ= ),V-1≤sin(θ-φ)≤1Jm2+1 √m2+1I2-、.m2+11 -2+Jm2+1——: —≤d≤-√m2+1 Jm2+12+\m22+11 2—: -1+√m2+1 Jm2+1・•・当m-0时，d取得最大值3,故选C(2016年浙江)设函数f(X)-sin2X+bSinX+C，则f(X)的最小正周期A.与b有关，且与C有关 B.与b有关，但与C无关C.与b无关，且与C无关 D.与b无关，但与C有关【答案】B【解析】由于f(X)-Sin2X+bSinX+C-1-coS2X +bSmX+c2当b-0时，f(X)的最小正周期为兀当bW0时，f(X)的最小正周期2πc的变化会引起f(X)的图象的上下平移，不会影响其最小正周期.故选B.(2015浙江)函数f(X)-Sin2X+SinXCoSX+1的最小正周期是，单调递减区间是.3π 7π【答案】π、[丁+kπF+kπ](keZ)88c,、 22 兀、3 3π[ 7π【解析】f(X)--Sin(2X-)+-，故最小正周期为π，单调递减区间为[丁+kπ，-+kπ](kWZ).2 42 8 8- 3 √3.C(2014山东)函数y---Sin2X+CoS2X的最小正周期为.【答案】πJ3.一 v/3.. 1 _ 1 .一π1【解析】>-——Sin2X+coS2X=y-——Sin2X+CoS2X+-Sin(2X+一)+ ,所以其最小正周期为2 2 2 2 622π——-π2.14.(2014安徽)若将函数f(X)=一(一π\Sin2X+-V47的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是.3兀【答案】—8兀^ 兀 兀 兀【解析】 f(X-①)=sιn[2(X-φ)+一]= sιn(2X+—-2φ) , /. 一一2φ=-+k兀(k∈Z)4 4 4 2兀 k兀 3兀φ=----τ~(k∈Z)，当k=-1时φ =——8 2 min8(2016年浙江)已知2cos2X+sin2X=Asin(ωX+φ)+b(A>0),则A=__,b=__.【答案】√2 1【解析】2cos2X+sin2X=√2sin(2X+—)+1,所以A=√2,b=1.4(2014陕西)设0<9<―，向量α=(sin2θ,cosθ),b=(COSθ,1)，若a〃b,2贝Utanθ=【答案】1—【解析】•二〃〃b,，sin2θ=cos2θ,.∙.2sinθcosθ=cos2θ,∙.∙θ∈(0,—)2.∙.tanθ=2(2017江苏)已知向量a=(cosX,sinX),b=(3,-√3),X∈[0,—].(1)若a〃b,求X的值；(2)记f(X)=a∙b,求f(X)的最大值和最小值以及对应的X的值.【解析】(1)因为a=(cosX,sinX),b=(3,-%/3),a〃b所以一∖.∙,3cosX=3sinX若cosX=0,则sinX=0,与sin2X+cos2X=1矛盾，故cosX≠0√,3于是tanX=--5—又x∈[0,—],所以x=——.6(2)f(X)=a∙b=(cosx,sinX)∙(3,-*/3)=3cosX-√3sinX=2V3cos(X+—)

6因为x∈[0,—],所以χ+—∈[~,-]6 66从而-1≤cos(X+ɪ)≤ .□口于是,当χ+%=-，即X=0时，f(X)取到最大值3；口 5∏当X+7―兀，即X—k时，f(x)取到最小值-2χ,36 6(2017山东)设函数f(X)=sin(3X-三)+sin(3X-—),其中0<3<3.62已知=0.(I)求3;(II)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移兀 兀3兀/单位,得到函数尸g(X)的图象,求g(X)在［-"7上的最小值•【解析】(I)因为f(X)=sin(3X-B)+sin(3X-ɪ)6 2所以f(X)=ɪsin3X-2cos3X-cos3X=且Sin3X-3cos3X2 2=√3(2-sin3X-*os3X)=√3(sin3X-^3)由题设知=03——所以---=k—,k∈Z63故3=6k+2,k∈Z,又0<3<3所以3=2(II)由(I)得f(X)=√,3sin(2X一勺所以g(X)=√3sin(X+ɪ-^-)=√3sin(X一3)IJ JL乙「兀3兀r因为X∈［一，;T44=F年高考十大数抵频测—r—2—r所以X-T2^∈[-T，F-1— —当X——―--，12 3— 3即X=-时，g(X)取得最小值-X4 219*(2016年天津)已知函数f(X)=4tanXcosXcos(X-―)-√3*^3(I)求f(X)的定义域与最小正周期;八/、 ——(II)讨论f(X)在区间［--，4］上的单调性.，， — 、【解析】(I)f(X)的定义域为{XIX≠-+k—,k∈Z}乙f(X)=4tanXcosXcos(X-—)-√3^3—4sinXcos(X-—3)-√3=4sinX(2cosX+-ɪ-sinX)-√3=2sinXcosX+2√3sin2X-V3=sin2X+√3(1-cos2X)-√3=sin2X-√3cos2X=2sin(2X-—3)2—所以f(x)的最小正周期T=——乙(II)令Z=2X——,函数y=2sinZ的单调递增区间是一— ——+2k—,—+2k—,k∈Z.2 2— — —^, — 5—由一一+2k—≤2X——≤—+2k—,得一—+k—≤X≤—+k—,k∈Z.2 32 12 12——八 —7 5— 777一,一,B=<X-——+k—≤X≤——+k—,k∈Z'

44 12 121212易知ArlB——12所以，4时,f(X)在区间-:—上单调递增,在区间--12上单调递减*设A=-—4*兀5兀、,当X∈-4兀4— ——,4(2015北京)已知函数f(X)=/2SinxCoSx-•、,2sin2x2 2 2(口)求f(x)的最小正周期；(口)求f(x)在区间［-∏,0］上的最小值.【解析】(I)因为f(X)=2y-sinX- (1-CoSX)=sin(X+—)--2 4 2所以f(X)的最小正周期为2兀— ——(II)因为一—≤X≤0，所以-——≤X+-≤-4 44—当X+—=4—3万，即X=-4兀时,f(X)取得最小值.所以f(X)在区间L兀,。］上的最小值为f(-3—)=-1-2ytι 乙(2015湖北)某同学用“五点法”画函数f(X)=Asin(ωX+φ)(3>0,lφk2)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：ωX+φ0Uπ3∏2∏Xπ5∏Asin(ωX+φ)05-50(I)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(X)的解，析式；(□)将y=f(X)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y=g(X)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为(52-,0)，求θ的最小值.【解析】(□)根据表中已知数据，解得A=5,ω=2,φ=--.数据补全如下表:6ωX+φ0ππ3∏2∏X∏四12见12Asin(ωX+φ)050-50且函数表达式为f(x)=5sin(2x-6)(口)由(□)知f(x)=5sin(2x-\)，得g(X)=5sin(2X+2θ-ɪ)因为y=sin%的对称中心为(k,0),kGZ一 k 一令2%+2θ=k,解得％= 1 θ,kGZ6 212由于函数y=g(%)的图象关于点(―,0)成中心对称，令—+—-θ=—12 212 12解得θ=k——，kGZ.由θ>0可知，当k=1时，θ取得最小值一.23 6(2014福建)已知函数f(%)=2cos%(sin%+cos%).~5兀、，(I)求f(彳)的值；(II)求函数f(%)的最小正周期及单调递增区间.“5兀、C5兀/.5兀 5兀、【解析】解法一一：(I)f(——)=2cosf-(SinF-+cos——)4 4 4。兀 兀 兀、。=-2cos—(-Sin--cos—)=24 4 4兀(II)因为f(%)=2sin%cos%+2cos2%=Sin2%+cos2%+1=√2sin(2%+—)+14E2兀所以T=——=兀兀 兀 兀由2k兀-≤2%+—≤2k兀+—,kGZ2 4 2,一3兀,一兀，得k兀一——≤%≤k兀+—,kGZ8 83兀 兀所以f(%)的单调递增区间为[k兀-,k兀+-],kGZ8 8解法二：因为f(%)=2sin%cos%+2cos2%=sin2%+cos2%+1=√2sin(2%+：)+15兀 11兀 兀f(——)=%2sin+1=√2sm—+1=24 4 4T=—=兀2兀 兀 兀由2k兀--≤2%+—≤2k兀+—,kGZ24 2,一3兀,一兀，得k兀一——≤%≤k兀+—,kGZ8 83兀 兀所以f(X)的单调递增区间为[k兀-,k兀+-],k∈Z8 823.(2014福建)已知函数f(x)=cosX(sinX+cosX)--.2,兀∙~J2 .,(I)若0<α< 且sina=2_，求f(α)的值;(II)求函数f(%)的最小正周期及单调递增区间.【解析】解法一一：(I)因为。<α<—,sinα=-ʒ-,所以cosα=-ʒ-.所以f(α)=E(S+遮)-12 2 2 2“、∙ II∙C(II)因为f(X)=SmXcosX+cos2X--=—sin2X+1+cos2X111=—sin2X+—cos2X=SSin(2X4所以T=生=兀.由2k兀一23兀 兀,k∈Z,得k兀一——≤X≤k兀+—,k∈Z8 83兀 兀所以f(X)的单调递增区间为[k兀-,k兀+-],k∈Z88“、. 11∙C解法二：f(X)=SmXcosX+cos2X--=-Sm2X+1+cos2X11∙C1C=—sin2%+—cos2X=sin(2X+三)2 4八兀. √2 兀(I)因为0<a<一,sina=—,所以a二一22 4E2兀(II)T=—=兀2sιn(2α+一)=「从而f(a)=22兀12兀兀—≤2%+—≤2k兀+一242222222由2k兀-兀兀兀—≤2%+—≤2k兀+一兀,k∈Z,得k兀一—≤X≤k兀+二，k∈Z

8 83兀 兀所以f(X)的单调递增区间为[k兀-,k兀+-],k∈Z8824.(2014北京)函数f(X)=3sinf2X+。6的部分图象如图所示.242∖(1)写出f(χ)的最小正周期及图中χ0、y0的值;(II)求fG)在区间2'12上的最大值和最小值.X0X【解析工⑴fG)的最小正周期为兀,『一，y0二3(II)因为X∈[-—,一],所以2X+ ∈[2 12 6当2X+--0，即X=一 时6 12,f(X)取得最大值0；C兀 兀 兀当2X+-=--，即X=F时，f(X)取得最小值一36 2 325*(2014天津)已知函数f(X).(兀)二cosX∙SmX+—√3cos2X+(□)求f(X)的最小正周期;(口)求f(X)在闭区间-1,ɪ上的最大值和最小值.44…1.【解析】(口)由已知，f(X)=-SmXcosX-ECOS2X+企=1sin2X-且cos2X兀兀兀兀兀兀5^,0］，于是6兀k2—3J44'Q,X∈R4*4所以f(X)的最小正周期T=--=π(□)兀≤X≤一4 4兀6兀兀≤t=2X--≤-36=b隼高考十大皴据频测π、1由y=Sint的图像知，-1≤sin(2X-—)≤-一2≤f(X”4兀兀11・•・函数f(X)在闭区间--,-上的最大值为：，最小值为一大.44 4 24226.(2014重庆)已知函数fQ)=√3sin(3X+φ)CπJπ3>0,-一≤φ<一2 2π的图像关于直线X=W对称，且J图象上相邻两个最高点的距离为兀.(I)求3和φ的值;π(cλ∖(II)若f-=I2J2π∖3π∖—<α<—，求cosa+-的值.6 3JT2J【解析】：(I)因f(%)的图象上相邻两个最高点的距离为π,所以f(x)的最小正周期T二π,从而3=~t~=2.又因f(χ)的图象关于直线χ=—对称，一π一π一 一ππ所以2∙-+φ=kπ+k=0,±1,±2,…，因一≤φ<得k=0所以φ=--乙π 2π π-ɔ(II)由(I)得f—=V3乙sin(2∙-2-?J=昱

一彳~.∙( π，所以Sin---I 63 6JJ14π 2π π π由一<α<—得0<α——< ,6 3 6 2一(π∖所以cos^——I6J一(π\in2α--I6J、√15

~T~142二J(3π

因此cosα+--I2.(π)=Sin〔"不Jπ)π+—6=sinα=sin「彳JJπ(π、cos—+cosα一—πSin—66I6J1=—×4√3√151 √3+115—+ ×—= ■2 4 2827.(2013山东)设函数f(X)=E-√3sin23X-sin3Xcos3X(3>0)，且y=f(X)的图象的一个对称兀中心到最近的对称轴的距离为-.(I)求3的值;(II)求f(X)在区间［兀,—］上的最大值和最小值.33 √3【解析】(1)f(X)= -∖3sin2ωx—sinωxcosωx21;-石•1-cos23X1.C 一一Sm23X2 2=-ɪɪcos2ωx—ɪsin2ωx=2 2.(一 π∖-SIn123X-3Jπ因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为-2π π又ω>0,所以--=4×—.因此ω=1.23 4(2)由(1)知f(X)=(一 π\一sin2X--•V 3J当π≤X≤3π时，5π≤2X-π≤8π.所以一乎≤Sin[2X-πJ≤1,2 3 3 3 2V 3J因此一1≤f(X)≤故f(X)在区间π,3π上的最大值和最小值分别为B,—1.28.(2013天津)已知函数f(X)=一、2兀sin2X+—+6sinXcosX-2cos2X+1,X∈R.V4J(I)求fx)的最小正周期;(II)求fx)在区间0,ɪ上的最大值和最小值.乙- = π•=一一π【解析】(1)f(X)=-\∙2sin2X∙cos -%,2cos2X•Sm +3sin2X—cos2X4 4亘2=2sin2x—2cos2x=L" π)2√2sin2X--.V 4J2π所以，f(X)的最小正周期T=--=π.- 3π(2)因为f(X)在区间0,--8上是增函数，在区间3π,π上是减函数.82D /3又<0)=—2,f—\8L(-

=2√2,f-\2=2))故函数f(X)在区间0,-上的最大值为2√2，最小值为一2.(2013湖南)已知函数f(X)(—∖=cosXcos卜-3J21/2兀、一(1)求f(—)的值;…1(2)求使f(X)<4成立的X的取值集合.【解析】(1)f(X)=cosX∙(cosX∙cos—+sinX∙sin工)=ɪ(sin2X-ʌɪ+cos2X∙ɪ)+—3 3 2, 2, 2, ^41 兀、1 ,f兀、1.3兀 1 1 2兀、=—sin(2X+一)+—nf(——)=sin—+—=--.所以f(——)2 6 4 3 2 2 4 4 31.4==(2)由(1)知，八，、 1 .一兀、1 1 .S兀、CS兀、f(X)=sιn(2X+一)+<—=sιn(2X+一)<0n(2X+一)∈(2k兀一兀,2k兀)2 6 44 6 6\o"CurrentDocument"7— — 7— —nX∈(k—-——,k—-),k∈Z.所以不等式的解集是：(k—-——,k—- ),k∈Z.12 12 12 12(2012安徽)设函数f(X)=-^y-cos(2X+―)+sin2X乙 tι(I)求函数f(X)的最小正周期;— —(II)设函数g(X)对任意X∈R，有g(X+—)=g(X),且当X∈[0,—]时，，、1g(X)=--f(X);求g(X)在［—兀,0］上的解析式.?L ɪ ɪ ɪ【解析】f(X)=Jcos(2X+ɪ)+sin2X=cos2X-sin2X+(1-cos2X)2 4 2 2 211=———sin2X22(I)函数f(X)的最小正周期T=U=兀.”兀r /、 1 、 1.-(II)当X∈[0,—]时，g(X)=--f(X)=-sin2X—c, —、C— ,、 , —、 1.~ —、 1.ʌ当x∈[-—,0]时，(X+―)∈[0,—],g(x)=g(x+万)=—sin2(x+5)=—-sin2x当X∈[—兀,-—)时，(X+π)∈[0,—),g(X)=g(X+π)=ɪsin2(X+—)=Lsin2X2< 2< 2< 2<得：函数g(X)在［-—,0］上的解析式为g(X)=<1.-,兀一一〜--sin2X(—一≤X≤0)2 2ɪsin2X(一兀≤X<—)[2 2.(2012陕西)函数f(X)=Asin(ωX-—)+1(A>0,3>0)的最大值为3,其图像相邻两条对称轴6—之间的距离为-.(1)求函数f(X)的解析式；(2)设α∈(0,—■)，则f(T)=2，求α的值.【解析】(I)：函数f(X)的最大值是3,.∙∙A+1=3，即A=2—•・•函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为-,・•・最小正周期T=—,・•・ω=2故函数f(X)的解析式为f(X)=2sin(2X-—)+16(II)：f(：)=2sin(a-—)+1=2,即sin(α-―)=12 6 6 2八 —:0<α<一2— — —.∙.———<α———<一6 6 3——•α--=一一6 6—故α=—(2015山东)设f(X)=sinXcosX-cos2(x+—)4.(I)求f(X)的单调区间;A(II)在锐角△ABC中，角A,B,C，的对边分别为a,b,c，若f(-)=0,a=1，求△ABC面积的最大值.r C—] 1+cos(2x+一) 1 1 1【解析】(□)由题意f(x)=sin2X -=-sin2X-+-sin2X2 2 2 22=sin2X-12— ——+2k—≤2X≤—+由-22— —2k—(k∈Z),可得一—+k—≤X≤—+k—(k∈Z)；兀 3兀 兀 3兀由一+2k兀≤2X≤一+2k兀(k∈Z),得+k兀≤X≤一+k兀(k∈Z)；2 2 44\o"CurrentDocument"兀 兀所以fx)的单调递增区间是［-1+k兀,4+k兀］(k∈Z)；\o"CurrentDocument"兀 3兀单调递减区间是［7+k兀,—+k兀］(k∈Z).44A 1 1(II)∙.∙f(_)=SinA——=0,.∙.SinA=—21 ^2 ^2由题意A是锐角，所以cosA二13．由余弦定理：a2=b2+C2—2bccosA可得1+3bCc=b2+c2≥2bc, 1一二，.∙.bc≤ ==2+-%：3,且当C=c时成立.2—v3.∙.CcSinA≤2十%^3..∙.ΔABC面积最大值为2+"344, 兀33.(2013福建)已知函数f(X)=sm(3x+φ)(3>0,0<φ<π)的周期为兀，图像的一个对称中心为(-,0),兀将函数f(X)图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，在将所得图像向右平移了个单位长度后得到函数g(X)的图像.(1)求函数f(X)与g(X)的解析式；(2)是否存在X∈(π,π)，使得f(X),g(X),f(X)g(X)按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定0 64 0 0 0 0X的个数；若不存在,说明理由.0(3)求实数a与正整数n，使得F(X)=f(X)+ag(X)在(0,nπ)内恰有2013个零点.【解析】(I)由函数f(X)=sin(3X+φ)的周期为π,3>0，得3=2π又曲线y=f(X)的一个对称中心为(-,0),φ∈(0,π)ππ π故f()=Sin(2×-+φ)=0，得φ=-，所以f(X)=cos2XI I 乙将函数f(X)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得y=cosX的图象，再将πy=COSX的图象向右平移-个单位长度后得到函数g(X)=SinX(II)当X∈(—6,：)时，2<sinX<W,0<cos2X<2所以SinX>cos2X>SinXcos2XCC ∙ .∙ C /兀兀、问题转化为方程2cos2X=SinX+SinXcos2X在一(,)勺是否有解64设G(X)=SinX+Sinχcos2χ-2cos2χ χ∈(—,—)64贝UG'(X)=cosX+cosxcos2X+2sin2X(2-sinX)—— ——因为X∈(-,-)，所以G(X)>0，G(χ)在(6,7)内单调递增兀1又G(X)=-4<0G(Z)=当>0，兀兀且函数G(χ)的图象连续不断,故可知函数G(X)在(6，W)内存在唯一零点x0，/兀兀、即存在唯一的X0∈(岁了)满足题意.(III)依题意，F(X)=asinX+cos2X，令F(X)=asinX+cos2X=0当sinX=0,即X=k兀(k∈Z)时，cos2X=1,从而X=k兀(k∈Z)不是方程F(x)=0的解，所以方程cos2XF(X)=0等价于关于X的方程a=——,XWk—(k∈Z)sinX现研究X∈(0,兀)U(兀,2兀)时方程解的情况cos2χ令h(x)=-———,x∈(0,—)∪(π,2—)sinx则问题转化为研究直线y=a与曲线y=h(X)在X∈(0，兀)U(兀,2兀)白^交点情况h'(x)=cosX(2sin2X+1)sin2X— 3—，令h(X)=0，得X=—或X=-2-当X变化时，h(X)和h'(x)变化情况如下表XQ—π(ππ)(-,3—)3π(3t,2π)h'(χ)^0-^0""+h(X)-71"\^∖~-L--7当X>0且X趋近于0时，h(X)趋向于一∞当X<兀且X趋近于兀时，h(X)趋向于一∞当X>π且光趋近于兀时，h(X)趋向于+∞当X<2π且X趋近于2π时，h(X)趋向于+∞故当a>1时，直线y二a与曲线y=h(X)在(0,π)内有无交点，在(π,2π)内有2个交点；当a<-1时，直线y=a与曲线y=h(X)在(0,π)内有2个交点，在(π,2π)内无交点；当-1<a<1时，直线y=a与曲线y=h(X)在(0,π)内有2个交点，在(π,2π)内有2个交点由函数h(X)的周期性，可知当a≠±1时，直线y=a与曲线)=h(X)在(0,nπ)内总有偶数个交点，从而不存在正整数n，使得直线y=a与曲线y=h(X)在(0,nπ)内恰有2013个交点；当a=±1时，直线y=a与曲线y=h(X)在(0,π)U(π,2兀)内有3个交点，由周期性，2013=3X671，所以n=671X2=1342综上，当a=±1，n=1342时，函数F(X)=f(X)+ag(X)在(0,nπ)内恰有2013个零点考点44三角函数的实际应用1.(2014新课标I,理6)如图，圆O的半径为1,A是圆上的定点，P是圆上的动点，角X的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为X的函数f(X)，则y=f(X)在［0,π］上的图像大致为()【答案】B【解析】如图：过M作MD⊥OP于D,则PM=SinX,OM=CosX，在RtAOMP中，MD=OM∙PM ∣cοsx∣∙∣sinXOP=IcosXsinX=一sin2x∣,.∙.f(X)=2sin2x∣(0≤x≤π),选B.1122.(2015陕西)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数πy=3sin(-χ+φ)+k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为6【答案】C【解析】由图象知：y=2min因为ymin所以-3+k=2，解得：k=5所以这段时间水深的最大值是y=3+k=3+5=8，故选C.max3.（2014新课标11,理⑹设点M（x0，1），若在圆。：X2+丁2=1上存在点N使得∠OMN=45°,则X的取值范围是0【答案】—1≤X≤10【解析】由图可知点M所在直线y=1与圆O相切，又ON=1由正弦定理得：ONOMOMSin/OMN Sin/ONM√2sin/ONMɪ，即：OM=√'2sin/ONM，又;0≤∕ONM≤π，=-3+k，，，．1，・・・OM≤√2，即、,：x2+1≤√2，解之：—1≤X≤1`0 0（2014湖北）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系:f(t)=10—J3cosɪt—Sinɪt,tG[0,24).

12 12（口）求实验室这一天上午8时的温度;（口）求实验室这一天的最大温差.【解析】(□)f(8)=10-√3cos(ɪX8)—Sin(ɪX8)=10—v3cos——sin—121233=10—33x()—^-=102 2故实验室上午8时的温度为10℃．(□)因为f(t)=10—2(^∙cosɪt+ɪsinɪt)=10—2sin(ɪt+ɪ)2 12 2 12 12 3π π π 7π π π又0≤t<24，所以一≤—t+—< — ,—1 ≤sin(—t +一) ≤13 12 3 3 12 3当t=2时，sin(—t+—)=1；当t=14时，sin(—t+—)=—112 3 12 3于是f(t)在［0,24)上取得最大值12,取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃．(2018江苏)某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN(P为此圆弧的中点)和线段MN构成.已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚I内的地块形状为矩形ABCD，大棚∏内的地块形状为^CDP，要求A,B均在线段MN上，C,D均在圆弧上.设OC与MN所成的角为θ.(1)用θ分别表示矩形ABCD和^CDP的面积，并确定Sinθ的取值范围；(2)若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚∏内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3.求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.【解析】(1)连结PO并延长交MN于H,则PH⊥MN，所以OH=10.PGBNMA过O作OE⊥BC于E,则OE〃MN，所以ZCOE=θ故OE=40cosθ,EC=40sinθ贝汁矩形ABCD的面积为2×40cosθ(40sinθ+10)=800(4sinθCoSθ+CoSθ)1ACDP的面积为一×2×40cosθ(40一40sinθ)=1600(cosθ—sinθcosθ)2过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K,则GK=KN=101C 兀令ZGOK=θ,贝”inθ=,θ∈(0,—)0 04 0 6兀当θ∈［%』时,才能作出满足条件的矩形abcd1所以Sinθ的取值范围是［4,D答:矩形ABCD的面积为800(4sinθCoSθ+CoSθ)平方米，ACDP的面积为11600(cosθ-smθcosθ),Slnθ的取值范围是[,1)4(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3,设甲的单位面积的年产值为4人，乙的单位面积的年产值为3k(k>0)则年总产值为4k×800(4sinθcosθ