河北省承德市部分学校2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试卷（含解析）

河北省承德市部分学校2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填（涂）写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷上无效。3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液。4.考试结束后，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回。一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．样本数据3,5,2,7,9,11的中位数是(

)A.4.5 B.6 C.5 D.72．为调研消费者对不同动漫角色的购买偏好,根据统计数据得到角色A购买者有600位,角色B购买者有650位,角色C购买者有750位.现采用按比例分层随机抽样的方法抽取160人进行调研,则应抽取的角色A购买者的人数是(

)A.60 B.52 C.48 D.723．若平面平面β,平面平面β,则将空间分成(

)A.4个部分 B.5个部分 C.6个部分 D.7个部分4．若a为从集合中任意选取的一个元素,则是纯虚数的概率为(

)A. B. C. D.5．如图,,若,则(

)A. B. C. D.6．在中,,,,点D在边上,且,则(

)A. B. C. D.7．如图,四边形的斜二测画法的直观图为梯形,已知,,,,则将四边形绕着旋转一周得到的旋转体的体积为(

)A. B. C. D.8．将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1、2、3、4、5、6）先后抛掷两次,记第一次和第二次向上的点数分别为a、b,设向量,,则的概率为(

)A. B. C. D.二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．已知复数,则(

)A.z的虚部为1 B.C. D.z的共轭复数为10．林下调研区划分出8块独立的菌菇监测样地,编号为1,2,3,4,5,6,7,8.调研人员先后两次有放回地选取样地开展观测,则下列与“两次选中的样地编号之和为9”是互斥事件的是(

)A.两次选中的样地编号相等B.两次选中的样地编号之积为偶数C.两次选中的样地编号之和为8D.第一次选中的样地编号大于第二次选中的样地编号11．如图1,在直角梯形中,,,,,,F在上,E,H均在上,.将矩形沿翻折至四边形的位置,将沿直线翻折至的位置,如图2所示,连接,,,且,K在上,则(

)A.平面平面 B.的最小值为C.几何体共有8个面 D.几何体外接球的半径为三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12．若平面向量与的夹角为,,则__________.13．若数据1,2,10,11的平均数为,方差为,数据4,5,7,8的平均数为,方差为,则________________,________________.（请从“<”“>”“=”中选择合适的填入）14．如图,已知圆锥的轴截面为等边三角形,D为母线的中点,C是底面圆O圆周上的点,为等边三角形,则直线与平面所成角的余弦值为_______.四、解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）某平台共2000家线上店铺,现从中随机抽取100家店铺开展走访调研,对其日平均利润（单位:元）进行了统计,所得频率分布直方图如图所示,其中.（1）求a,b,c的值（用小数表示）;（2）试估计这100家店铺日平均利润的第75百分位数;（3）若将日平均利润超过590元的商家称为“金牌商家”,估计该平台“金牌商家”的家数.16．（15分）如图,在四棱锥中,底面为平行四边形,平面,,,M,N分别是,的中点.（1）证明:平面.（2）求异面直线与所成角的正切值.17．（15分）某平台推出答题赢会员活动,共设置3道独立题目,每位用户可自主安排答题顺序.规则如下:连续答对2题可获得7天会员;连续答对3题可获得30天会员;其他情况均不获得会员.已知甲答对题1的概率为,答对题2的概率为,答对题3的概率为,各题答对与否相互独立.（1）若,且甲按题1题2题3的顺序答题,求甲获得30天会员的概率;（2）若,要使甲获得会员的概率最大,应如何安排答题顺序?18．（17分）在锐角中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且.（1）求角B;（2）若,且边上的中线,求的面积;（3）求的最小值,并指出此时的形状.19．（17分）如图,在三棱台中,平面平面,,,.（1）证明:平面.（2）若平行四边形的顶点M,N,F,E分别在棱,,,上,证明:.（3）线段上是否存在点H,使得二面角为?若存在,求出的长;若不存在,请说明理由.参考答案1．答案：B解析：样本数据3,5,2,7,9,11从小到大排列为2,3,5,7,9,11,则中位数为.2．答案：C解析：设应抽取的角色A购买者的人数为x,则,所以,所以应抽取的角色A购买者的人数为48.3．答案：C解析：如图所示,将空间分成6个部分,C正确.4．答案：A解析：根据题意可得,仅当时,为纯虚数,所以是纯虚数的概率为.5．答案：B解析：根据题意可得,所以.6．答案：C解析：由,,得,,由,得,所以.7．答案：A解析：由斜二测画法规则,得四边形为直角梯形,,,因此将四边形绕着旋转一周得到的旋转体为上、下底面半径分别为2,4,高为6的圆台,所以所求体积为.8．答案：B解析：由,得.由题意可知将该枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次,共有种情况,其中满足的的情况为、、、、、、、、、、、,共有种等可能情况,所以所求概率为.9．答案：ABD解析：,z的虚部为1,A正确;,B正确;,C错误;z的共轭复数为,D正确.10．答案：AC解析：A:事件为“两次选中的样地编号相等”,样本点为,其编号和为是偶数,而9是奇数,两事件不可能同时发生,是互斥事件,A正确;B:事件为“两次选中的样地编号之积为偶数”,M中的样本点如满足积为8是偶数,两事件存在公共样本点,不是互斥事件,B错误;C:事件为“两次选中的样地编号之和为8”,两次编号和不可能同时为8和9,两事件没有公共样本点,是互斥事件,C正确;D:事件为“第一次选中的样地编号大于第二次选中的样地编号”,M中的样本点如满足第一次编号大于第二次,两事件存在公共样本点,不是互斥事件,D错误.11．答案：ABD解析：几何体共有7个面,C错误;因为四边形为矩形,所以,,翻折后,,因为,所以平面,因为平面,所以平面平面,A正确;因为,,,所以,所以,则,同理可证,可将几何体补全为长为、宽为3、高为4的长方体,其外接球即为长方体的外接球,外接球的半径为,D正确;连接,,将平面与平面展开至同一平面,如图3所示,当F,K,P在同一直线上时,取得最小值.因为,,,所以平面,则,在图3中过F作,与的延长线交于点T,则,,所以,B正确.12．答案：解析：,所以.13．答案：=;>解析：,所以,,所以.14．答案：解析：如图,过点C作,垂足为H,过点D作,垂足为M,连接.因为垂直于底面,所以,因为,,面,所以平面,所以直线与平面所成的角为（或其补角）.设,则,,所以,,所以,,所以.15．答案：（1）,,（2）625（3）640解析：（1）由频率分布直方图可知,组距为100.根据频率分布直方图的性质,所有小矩形的面积之和等于1,即,整理得.又已知,所以,.将代入方程得,解得,即.所以,.故,,.（2）设第75百分位数为x.由（1）可知,各组的频率依次为::;:;:;:.前三组的频率之和为,前四组的频率之和为,所以第75百分位数位于第四组内.由,得,解得,即.故估计这100家店铺日平均利润的第75百分位数为625.（3）日平均利润超过590元的频率为:.该平台共有2000家线上店铺,所以估计该平台“金牌商家”的家数为.故估计该平台“金牌商家”的家数为640.16．答案：（1）见解析（2）解析：（1）证明:取的中点I,连接,.因为底面是平行四边形,所以,.因为M,I分别是,的中点,所以是的中位线,所以,.所以,.因为N是的中点,所以,所以四边形是平行四边形,所以.因为平面.,平面,所以平面.（2）由（1）得,所以（或其补角）为异面直线与所成的角.因为平面,所以.因为I是的中点,所以,则.设,则,,所以异面直线与所成角的正切值为.17．答案：（1）（2）应将题1放在中间,题2、题3放在首尾,即答题顺序为题2→题1→题3或题3→题1→题2,此时获得会员的概率最大.解析：（1）甲按题1→题2→题3的顺序答题,获得30天会员的条件是连续答对3道题,即3道题全部答对.由于各题答对与否相互独立,因此所求概率为:.（2）设任意答题顺序为（为3道题的一个排列）,获得会员的条件为至少存在连续2道题答对,即事件“A答对且B答对”与“B答对且C答对”至少一个发生.由各题答题结果相互独立得而3道题的答对概率分别为,,,类型①:中间放答对概率最低的题3,,类型②:中间放题2,,类型③:中间放概率最高的题1,,而,因此应将题1放在中间,题2、题3放在首尾,即答题顺序为题2→题1→题3或题3→题1→题2,此时获得会员的概率最大.18．答案：（1）;（2）;（3）最小值为,此时为等边三角形.解析：（1）因为,根据正弦定理可得,,代入原式,可得,又因为为锐角三角形,所以,,所以,所以,即,所以,又,所以,所以,解得.（2）因为D为的中点,所以,则,因为,,所以,整理得①,又根据余弦定理,,且,所以,即②,由①②得③,又因为,且,,所以④,联立③④,解得,所以的面积为.（3）由题意,,又A,B,C为的内角所以,所以,所以,因为,所以,所以,因为为锐角三角形,所以,解得,所以,则,所以,所以,所以,所以,即的最小值为,此时,即,解得,又,所以,所以为等边三角形.19．答案：（1）见解析（2）见解析（3）存在,解析：（1）证明:因为,,所以,所以.因为平面平面,平面平面,平面,所以平面.（2）证明:因为四边形为平行四边形,所以.因为