补充三：控制系统计算机辅助设计

第6章：控制系统计算机辅助设计控制系统计算机辅助设计（CAD）即在给定的被控对象数学模型及系统性能指标条件下，设计能够达到给定性能指标要求的控制器，也就是确定控制器的结构和参数。6.1PID控制器的设计

本节主要介绍PID控制器的Ziegler-Nichols经验整定方法的MATLAB设计方法。6.1.1PID控制基本原理

PID控制器的连续表达式或者连续PID的传递函数模型为：或在设计上为了避免微分运算，通常一个超前的一阶环节去近似微分环节，此时PID控制器如下所示：5.1.2比例（P）控制及性能分析比例控制器的传递函数为：某单位反馈系统开环传递函数为：=1、4、10、50时的单位阶跃响应曲线为：

从图中可以看出，随着比例系数的增加，闭环系统稳态误差减小、上升时间缩短、调节次数增大，最大超调量增大，而且闭环系统稳态误差无法消除。6.1.3比例积分（PI）控制及性能分析PI控制器的传递函数为或已知某单位反馈系统开环传递函数为：如果采用比例积分（PI）控制器进行调节，比例系数分别为：积分系数=0.2,0.8,1.4,2.0,5时的单位阶跃响应曲线从图中可以看出，随着积分系数的增大（或者说积分时间常数的减小），闭环系统响应速度加快，调节次数增加、最大超调量增大，稳定性变差。同时由于积分环节的存在，闭环系统稳态为零。6.1.4比例微分（PD）控制及性能分析PD控制器传递函数为：

或已知某单位反馈系统开环传递函数为：如果采用比例微分（PD）控制器进行调节,取=0.2,1.5,3.2,10时的单位阶跃响应曲线如下图所示从图中可以看出，随着微分系数的增大，闭环系统上升时间减小、响应速度加快，同时比例微分控制无法消除稳态误差。6.1.5PID控制器的设计1Ziegler-Nichols整定方法Ziegler（齐格勒）和Nichols（尼克尔斯）于1942提出了PID参数的经验整定公式。其适用对象为带有延迟环节的一节惯性环节，即：PID参数的Ziegler-Nichols经验整定公式Ziegler-Nichols整定的时域分析方法根据给定对象时域响应来确定PID控制器的参数。在已知被控对象数学模型或通过实验获取被控对象的单位阶跃响应，如果单位阶跃响应曲线看起来近似一条S形曲线，则可用Ziegler-Nichols经验整定公式，否则，该公式不适用。

使用Ziegler-Nichols整定公式时的注意事项：如果被控对象不含有纯延迟环节，就不能够通过Ziegler-Nichols时域整定公式进行PID参数的整定，此时可求取被控对象的频裕响应数据。如果被控对象含有纯延迟环节，可通过pade命令将纯延迟环节近似为一个四阶传递函数模型。其中Kc为被控对象幅值裕度，wc为截止频率（或剪切频率）。

例题6-5：已知被控对象数学模型为：试利用Ziegler－Nichols经验整定公式，分别计算P、PI、PID控制器参数，并进行阶跃响应仿真。【例题】已知某被控对象传递函数为:试利用Ziegler-Nichols经验整定公式分别设计P、PI、PID控制器，并求其单位阶跃响应曲线。解：设计上述P、PI、PID控制器的 MALTAB命令如下：num=10;den=conv([10],conv([0.011],[0.0251]));G=tf(num,den);s=tf('s');[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(G);%计算频域响应参数，增益裕量Gm和剪切频率WcpTc=2*pi/Wcp;%计算剪切频率对应的时间周期Tc%P控制器PKp=0.5*Gm;%频率响应整定法计算P控制器sys1=feedback(PKp*G,1,-1);step(sys1,'k-')%绘制闭环阶跃响应曲线holdongtext('P'),pause%PI控制器PIKp=0.4*Gm;%频率响应整定法计算PI控制器PITi=0.8*Tc;PIGc=PIKp*(1+1/(PITi*s));sys2=feedback(PIGc*G,1,-1);step(sys2,'b:'),holdon%绘制闭环阶跃响应曲线gtext('PI'),pause%PID控制器PIDKp=0.6*Gm;%频率响应整定法计算PID控制器PIDTi=0.5*Tc;PIDTd=0.12*Tc;PIDGc=PIDKp*(1+1/(PIDTi*s)+PIDTd*s);%/((PIDTd/10)*s+1)sys3=feedback(PIDGc*G,1,-1)step(sys3,'g--'),holdon%绘制闭环阶跃响应曲线，线形为绿色虚线gtext('PID')title('P、PI、PID控制单位阶跃响应')xlabel('时间'),ylabel('幅值')由上述命令可得P、PI、PID控制器作用下，系统的阶跃响应曲线如下图所示。6.2串联超前校正器设计利用超前网络进行串联校正的基本原理，是利用超前网络的相角超前特性。根据超前网络的频率特性，将其产生最大相角的交接频率选择待校正系统的截止频率的两旁，并适当选择参数就可以使校正系统的截止频率和相角裕度满足设计要求，从而改善闭环系统的动态性能。6.2.1超前校正网络的基本特性

超前校正网络的等效RC电路如下图所示，其传递函数为：进行串联校正时，系统的开环增益要下降倍，因此需要增加一个开环增益为的放大器补偿超前校正网络引入代理的增益下降。所以实际使用中带增益补偿的超前校正网络传递函数为：根据上式可绘制其对数频率特性曲线。取a=1.5、2.0、2.5三个值，取T=0.2可得串联超前校正网络的频率特性如下图所示。为了充分发挥超前网络相角补偿的作用，应调节参数a和T将串联超前校正器最大超前角频率设置校正后系统的期望剪切频率附近。校正器产生相角的最大超前角频率为

并求得最大超前角：在最大超前角时，对应的对数幅频值为：第一步：根据系统稳态误差要求，求出系统开环增益。第二步：根据求得的开环增益，借助margin命令绘制系统的绘制系统校正前的Bode图，并计算校正前系统的增益裕量Gm，相位裕量Pm和剪切频率Wc1。检验这些指标是否符合要求。如果不符合则进行下一步。第三步：计算要增加的最大相角超前量，即：6.2.2串联超前校正器的Bode图设计P0是校正后期望的相位裕量，Pm是校正前的相位裕量，5～10度是为了补偿校正后剪切频率的移动带来的原系统相位的滞后。第四步：再由最大相位超前量计算超前校正网络的即：第五步：确定系统校正后的剪切频率。串联了超前校正网络以后的对数幅频特性曲线相当于是校正前系统对数幅频特性值加上一个的数值（对应的校正后幅频特性曲线上移），串联超前校正网络以后的相频特性曲线相当于是校正前系统相频特性值加上一个（对应的校正后相频特性曲线上移）。因此校正后的剪切频率应选在系统校正前幅值为

示意图如下求校正后系统剪切频率，可以采用MATLAB中的插值函数yi=spline(x,y,xi)来计算。Spline函数基本用法是：在yi=spline(x,y,xi)中，y与x是满足某函数关系y＝f（x）的对应向量，即x＝[x1,x2,……xn]，y＝[y1,y2,……yn]。现已知xi为区间[x1,xn]中某数值，利用函数yi=spline(x,y,xi)可求得对应xi的y值yi。

因为校正后期望剪切频率Wc2发生在超前校正网络最大超前角频率Wm，因此可得：

进因可得超前校正器传递函数；第六步：求超前校正器传递函数中的T第七步：在系统中串联一个增益为a的放大器，可补偿超前校正器引入带来的增益损失，则超前校正网络可写成：第八步：根据校正后系统的开环传递函数绘制系统的bode图，验证系统性能指标。其中校正后系统开环传递函数为：第九步：绘制闭环系统单位阶跃响应曲线，观察系统性能。例题已知某单位负反馈系统被控对象的传递函数为；

设计一个超前校正网络使系统满足如下要求：（1）单位斜坡输入作用下，系统稳态误差小于0.001；（2）校正后系统的相位裕量Pm范围是：40°～50°解：首先求取满足稳态误差要求的开环增益：对于I型系统在单位斜坡信号作用下系统的稳态误差为：用下面绘制MATLAB命令绘制系统bode图并求取其频域指标。s=tf('s')%生成拉普拉斯变量sG=1000/(s*(2*s+1)*(0.02*s+1));%生成开环传递函数margin(G)%绘制Bode图，计算并显示出增益裕量Gm及其穿越频率wg。相位裕量Pm及其剪切频率wcgrid所以可得到系统开环增益K≥1000。取K＝1000。此时可得被控对象开环传递函数为：由图5-14看出，系统幅值裕量Gm＝-5.93dB,相角裕量Pm＝-3.93度。不满足系统性能要求。可进行如下设计：s=tf('s')%生成拉普拉斯变量sG=1000/(s*(0.2*s+1)*(0.002*s+1));%生成开环传递函数%第三步，求超前校正器传递函数,根据已知条件Pm范围为40-50度，取校正后系统相位裕度Pm＝45度。[mag,phase,w]=bode(G);%获得对数频率特性上每个频率w对应的对数幅值及相位角。[Gm,Pm]=margin(G);%计算开环传递函数的幅值裕度和相角裕度QWPm=45;%校正后期望相角裕量FIm=QWPm-Pm+5%计算最大相位超前FIm=FIm*pi/180;%将角度表示的最大相位超前转换为弧度。alfa=(1+sin(FIm))/(1-sin(FIm));%计算校正器的alfaadb=20*log10(mag);%计算开环传递函数对应不同频率的对数幅值am=10*log10(alfa);%计算对应校正后期望剪切频率处的开环传递函数的对数幅值。wc2=spline(adb,w,-am);%利用线性插值函数求取对应am幅值处的频率（剪切频率wc2）T=1/(wc2*sqrt(alfa));%求超前校正器的时间常数Talfat=alfa*T;Gc=tf([alfa*T1],[T1]);%求带增益损失补偿的校正器传递函数%第四步，求校正后系统开环传递函数，并绘制Bode图，Gh=Gc*G;figure(2)margin(Gh)%绘制校正后系统Bode图grid%求取校正后闭环系统单位阶跃响应sysb=feedback(Gh,1,-1);figure(3)step(sysb)gridtitle('校正后闭环系统单位阶跃响应')xlabel('时间')ylabel('幅值')由上述命令可得校正后系统的bode图如上图所示。从图中可以看出，系统的幅值裕量Gm=15.3dB，相角裕量Pm=42.6度,满足设计要求。闭环系统能构稳定。同时可得闭环系统单位负反馈阶跃响应曲线如图5-16所示。可见闭环系统性能良好，满足设计要求。6.3滞后校正器的设计6.3.1滞后校正网络的基本特性

滞后校正网络的等效RC电路如图所示，其传递函数为：式中:<1，

通常称为滞后网络的分度系数，表示滞后深度。取T＝1，＝0.25，0.5，0.75三个值来观察滞后校正网络的对数频率特性曲线,命令如下：s=tf('s');T=1;forbeta=0.25:0.25:0.75num=[beta*T1];den=[T,1];Gc=tf(num,d