勾股定理作业设计 单元作业设计

PAGEPAGE1沪科版八年级数学下册作业设计第18章 勾股定理一、单元信息基本信息年级数学八年级沪科版单元组织课时信息序号课时名称设计教师1第18章单元分析潜山市第三中学 周鹏远218.1 勾股定理（第一课时）潜山市第三中学 朱琳琳318.1 勾股定理（第二课时）潜山市第三中学 储慧贤418.2 勾股的逆定理（第一课时）潜山市第三中学 李兰518.2 勾股的逆定理（第二课时）潜山市第三中学 芮苹6第18章单元复习潜山市第三中学 周鹏远7第18章单元质量检测潜山市第三中学 孔文进二、单元分析（一）课标要求探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。课标在“知识技能”方面指出：经历图形的抽象、分类、性质探讨、运动、象思维与抽象思维；在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，样性，发展创新意识；初步形成评价与反思的意识。（二）教材分析1.知识网络（三）学情分析数学习必要的基础，因而勾股定理具有学科的基础性和广泛的应用。流，能够形成解决问题的思路。较喜欢探索，求知欲强，容易接受新事物，这是探究新知识的益处。三、单元作业目标与学习目标定理的探索过程，体会数形结合的思想.2.了解勾股定理的证明，培养学生良好的思维习惯；3.会运用勾股定理解决简单的实际问题.4.结合具体情景，了解逆命题（逆定理）的概念；理解勾股定理的逆定理，会用勾股定理的逆定理判定直角三角形.8.通过实例了解勾股定理的历史与应用，体会勾股定理的文化价值.四、单元作业设计思路具体设计体系如下：1.经历对问题情景的观察、分析、一般化等思维活动，提出猜想，体验勾股定理的探索过程，体会数形结合的思想.2.了解勾股定理的证明，培养学生良好的思维习惯；3.会运用勾股定理解决简单的实际问题.4.会用勾股定理的逆定理判定直角三角形.5.通过实例了解勾股定理的历史与应用，体会勾股定理的文化价值.18.1 勾股定理（第一课时）一、作业目标1.理解并掌握勾股定理的内容，并能熟练利用其解决三角形中的边的相关计算；2.对给出的边长不能确定是直角边还是斜边时，会进行分类讨论；3.让学生掌握勾股定理在图形的折叠问题上体现出来的重要的方程思想；4.通过分层作业的布置，让不同水平的学生都能得到不同的发展。二、作业分析调勾股定理的运用，也强调了数学思想的重要性，即分类讨论思想、方程思想。重要定理之一，为九年级解直角三角形打下坚实的基础。三、作业展示基础性作业（时间：10分钟）1.在中，两条直角边的长分别为6和8，则斜边的长为C.【设计意图】本题考查了勾股定理由题意根据勾股定理，即可直接求出直角三角形的斜边长。【核心思想】数学运算【答案】C【解析】解：由题意得：该直角三角形的斜边长为：62+82=10．故选C.2.如图，正方形的面积是B.C.【设计意图】本题考查勾股定理以及正方形的面积公式，要熟练运用勾股定理。【核心思想】数学运算、逻辑推理【答案】【解析】解：设正方形的边长为，由勾股定理可知：，，故选：．3.已知等腰三角形的一条腰长是；质，关键是作出辅助线，构造直角三角形．【核心思想】数学运算、直观想象、数学建模【答案】12【解析】解：过点A作ADBC，，BDCD1BC1189，C2C2D2292AD

12，它底边上的高为12；4.如图，长方形ABCD中，3，AD1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于点M，则点M表示的实数为 ；【设计意图】本题主要考查实数与数轴、勾股定理等知识，【核心思想】数学运算、直观想象10【答案】 10【解析】解：四边形ABCD是长方形，ABC90，B2C2220B2C2220AC

，10AMAC10

，OA1，OM

101，10点M10故选C.

1.．（1）求的长；（2）求的长．变形．【核心思想】数学运算【解析】解：．在 中， ，，．，．在中，，，．，．．发展性作业（时间10分钟）6.若实数满足�−3+ �−4=a,b恰好是直角三角形的两条边，则该直角三角形的斜边长为（ ）A.5 B. 4 或D.5或8基本知识【核心思想】数学运算、直观想象【答案】C【解析】解：由a−3+ b−4=0得a=3,b=4当a,b是直角边时，直角三角形的斜边，当b=4是斜边时，斜边为4，故答案为5或4．ABCDABCDB恰好落在边CD的中点E处，折痕为AF，若6，则AF的值是 .用【核心思想】数学运算、直观想象、逻辑推理【答案】8【解析】解：纸片ABCD为矩形，AD6ADBC6，ABCD，由翻折的性质可知：ABAE，BFEF.设ABAE2x，BFEFy，E是CD的中点，DE在RtADE中，由勾股定理得：AD2DE2AE2，即 62x24x2，解得：x23，ABAE2x43，在中，FCBCBF6y，由勾股定理得；FC2EC2EF2，即：(6y)2(23)2y2.解得y4.在RtABF中，由勾股定理得：2B2B2F2故答案为8

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8.是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，同时停止．（1）P、Q出发秒后，求的长；（2）当点Q在边CA上运动时，出发几秒钟后，能形成直角三角形？法、及分类讨论思想等知识．用时间表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路【核心思想】数学运算、直观想象【解析】解：运动时间为4秒，，，在中，根据勾股定理得：；当点在边上，且形成直角三角形时，过点作的垂线，垂足即为点，如图，在中，根据勾股定理得：，根据三角形面积公式可得： ，在 ，秒，当点运动到点时，也形成直角三角形，秒．当点在边上运动时，出发或秒钟后，能形成直角三角形．四、作业评价评价指标等级ABC答题的准确性ABC答题的规范性ABC解法的创新性ABCABCPAGEPAGE10一、作业目标：1.掌握勾股定理，能运用勾股定理及直角三角形的判定方法来解决简单的实际问题。2.通过小组合作与交流，会选择恰当的数学模型解决实际问题。3.理解勾股数的概念，并掌握简单的勾股数。4.通过勾股定理的简单应用体会数形结合思想和分类讨论思想。5.通过画图实践感悟勾股定理的应用价值。二、作业分析计本着作业的实用性、趣味性、层次性、探究性，促使学生在完成作业的同时，保证基础知识扎实的情况下有较大的进步，在知识的灵活性运用方面有所提高，力得到进一步的提升。三、作业展示基础性作业（时间：10分钟）1.如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面5m处折断，树顶端落在离树底部12m处，则树折断之前高( )．C.18m 【设计意图】勾股定理的定理的简单应用,根据题意构造直角三角形，利用勾股定理来计算解决问题。【核心素养】数学建模、数学运算。【答案】C【解析】如图：在Rt△ABC中，AB=5米，BC=12米，由勾股定理，得：AC=𝐴2+��2= 52+122=13米∴AC+AB=13+5=18米，即大树折断之前有18米高．故选C．2.如图，一艘轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ）A．25海里 B．30海里C．40海里 D．50海里【设计意图】熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单。【核心素养】数学建模.【答案】C【解析】∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，∴∠BAC=90°，两小时后，两艘船分别行驶了16×2=32海里，12×2=24海里，根据勾股定理得：：302+242=40（海里） 故选C．3.在花坛内走出了一条“路”，他们仅仅少走了 步，却踩伤了花草（假设2步为1米）数学的关键。【核心素养】数学运算。【答案】4【解析】根据勾股定理得，斜边的长：32+42=5米，少走：3+4-5=2米，因为两步为1米，所以少走了2×2=4步．故答案为4．4.离墙根C点0.7米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，那么梯子的底部向外滑 米．握直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．【核心素养】数学运算。【答案】0.8【解析】∵AB=2.5米，AC=0.7米，∴BC=𝐴2−𝐵2=2.4（米）∵梯子的顶部下滑0.4米，∴BE=0.4米，∴EC=BC-0.4=2米，∴DC=𝐷2−��2=1.5（米）∴梯子的底部向外滑出AD=1.5-0.7=0.8（米）．5.一块土地的形状如图所示，∠B=∠D=90°，AB=20米，BC=15米，CD=7米，求这块土地的面积?用它们解决一些简单的实际问题。【核心素养】数学抽象、数学运算.【分析】连接AC，则△ABC和△ACD均为直角三角形，根据AB，BC可以求出AC，根据AC，CD可以求出AD，根据直角三角形面积计算可以求出△ABC和△ACD的面积，四边形ABCD的面积为两个直角三角形面积之和．【解析】解：连接AC，将四边形分割成两个三角形，其面积为两个三角形的面积之和，在直角△ABC中，AC为斜边，则AC=202+152=25（米），在直角△ACD中，AC为斜边则AD=252−72=24（米），四边形ABCD面积S=1

B×BC+1

D×CD=234（平方米）．A A2 2答：此块地的面积为234平方米．发展性作业（时间：10分钟）6.△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（）B．32 或32 或33情况进行讨论，易错点在于漏解，同学们思考问题一定要全面，有一定难度。【核心素养】数学运算、直观想象。【答案】C【解析】解答：此题应分两种情况说明（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，BD=𝐴2−��2=152−122=9，在Rt△ACD中，CD=𝐵2−��2=132−122=5∴BC=5+9=14∴△ABC的周长为：15+13+14=42；（2）当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD中，BD=𝐴2−��2= 152−122=9，在Rt△ACD中，CD=𝐵2−��2= 132−122=5，∴BC=9-5=4．∴△ABC的周长为：15+13+4=32∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32．故选C．7.如图是一种“牛头形”图案，其作法是：从正方形1开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形2，以此类11334224【设计意图】熟练运用勾股定理进行计算，根据探索的规律解决问题。【核心素养】数学建模.【答案】8【解析】解：假设正方形1的边长为a1，正方形2的边长为a2，……正方形7的边长为a7，由题意得2 2 2 2 2

�1。a2+a2=a1，2a2=a1，�2=2�2

1 同理可得2�3=�2，∴�3=

= ，2 (2)2�3

1 42�4=�3，∴�4=故答案为8

= ，可推测�= ，∴�=7 72 (2)3 (2)67 7

=8(cm)．88.如下图，壁虎在一座底面半径为2.5米，高为20米的糖罐的下底边沿A处，它至少要爬行多少路程才能捕到蚂蚁?（π取3）化为数学问题是解答的关键．【核心素养】逻辑思维、数学运算。【分析】首先画出如图的圆柱侧面展开图，再连接AB，再根据勾股定理求出AB的长就是壁虎所爬的路程．【解析】图所示：因为两点间线段最短，所以壁虎至少要爬行线段AB这段路程，才能捕捉到蚂蚁．由题意，得AC=5π，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2=AC2+BC2=(2π×2.5)2+202=152+202=625，∴AB=25米．∴壁虎至少要爬行25米才能捕到蚂蚁．作业评价评价指标等级ABC答题的准确性ABC答题的规范性ABC解法的创新性ABCABC18.2 勾股定理的逆定理（第一课时）一、作业目标1.掌握勾股定理的逆定理，会用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形。2.理解勾股数的概念，并掌握简单的勾股数。3.通过勾股定理的逆定理的简单应用体会数形结合思想、分类讨论思想、方程思想。4.通过画图实践感悟勾股定理的逆定理在实际生活中的应用价值。5.通过分层作业的布置，让不同水平的学生都能得到不同的发展。二、作业分析1.帮助学生正确理解勾股定理的逆定理，掌握应用勾股定理的逆定理解题不是直角三角形的重要依据。2.通过作图题让学生了解勾股定理的逆定理是运用直角三角形各种性质的中有着广泛的应用。3.加深学生对数形结合思想的理解。4.勾股定理的逆定理和勾股定理一样，不是凭空想象出来的，而是古代科逆定理印象深刻，认识清楚，理解透彻。三、作业展示基础性作业（时间：10分钟）1. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是( )A.5，11，12 B.3，4，5 C.4，6，8 D.6，12，13【设计意图】理解勾股数的概念，掌握常见的勾股数。【核心素养】数学运算【答案】B【解析】�.因为52+112≠122，所以三条线段不能组成直角三角形；B.因为32+42=52，所以三条线段能组成直角三角形；C.因为42+62≠82，所以三条线段不能组成直角三角形；D.因为62+122≠132，所以三条线段不能组成直角三角形．故选B．2. △𝐴�满足下列条件中的一个，其中不能说明△𝐴�是直角三角形的是( )A.�2=(�+�)(�−�) B.�：�：�=1：3：2C.∠�=∠�−∠� D.∠�：∠�：∠�=3：4：5角的关系和边的关系，不能混为一谈。【核心素养】数学抽象【答案】D【解析】A.由b2=(a+c)(a−c)可得：c2+b2=a2，可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；B.12+(3)2=22，可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；C.由∠C=∠A−+∠B+∠C=180°，可得：∠A=90°，可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；D.∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∠A+∠B+∠C=180°，∴最大角∠C=75°，∴不能构成直角三角形，故选项符合题意；故选：D．3. 如图所示，每个小正方形的边长都相等，�，�，�是小正方形的顶点，则∠𝐴�的度数为 【设计意图】勾股定理的逆定理的简单应用，并结合等腰三角形的判定“等角对等边”来考察，初步体会数形结合的思想。【核心素养】逻辑思维.【答案】45°【解析】如图，连接AC，设每个小正方形的边长都是a，根据勾股定理可以得到：AC=BC= 5a，AB= 10a，∵(5a)2+(5a)2=(10a)2，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°4. 如果ΔABC−5|+ �−12+(13−�)2=角形是 三角形．并对常见的勾股数有基本的掌握。【核心素养】数学运算【答案】直角【解析】∵|a−5|+ b−12+(13−c)2=0，∴a−5=0，b−12=0，13−c=0，解得a=5，b=12，c=13，∴a2+b2=c2，∴△ABC为直角三角形．故答案为直角．5. 潜山市第三中学校园内有如图所示的形如四边形CD的花坛现测量出�=4���=�，�⊥�，�=12�，��=13�，请求出该花坛的面积．推理能力及合情推理的意识，让学生学会用数学的语言表达世界。【核心素养】数学运算ABC和△CAD用勾股定理的逆定理说明出△CAD是直角三角形才能求面积。【答案】36m2【解析】连接AC，在△ABC中，∵∠B=90°，AB=4m，BC=3m，∴AC= AB2+BC2=5(m)，1 2S△ABC=2×3×4=6(m)，在△ACD中，∵AD=12m，AC=5m，CD=13m，∴AD2+AC2=CD2，∴△ACD是直角三角形，1 2∴S△ACD=2×5×12=30m .∴四边形ABCD的面积=S△ABC+S△ACD=36m2.发展性作业（时间：10分钟）6. 已知在△𝐴�中，𝐴= 5，𝐵=25，��=5．试在如图4×4的方格纸上补全△𝐴�，使它的顶点都在方格的顶点上．(每个小方格的边长为1)【设计意图】通过画图进一步理解勾股定理的逆定理的应用，在画线段的过程中体会勾股定理和勾股定理的逆定理辩证统一的关系。【核心素养】直观想象、数学抽象【分析】此题主要考查了作图--应用设计与作图，关键是掌握如果三角形的三边长满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．【答案】如图所示：【解析】根据勾股定理确定B点位置，再连接即可．此题主要考查了作图--应用设计与作图，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．7. 市教育局为了进一步引导广大青少年积极参与===3�.机器人甲从点�出发，沿𝐴向点�运动，机1�/�的速度同时出发匀速运动，设运动时间为�(�)，机器人在运动过程中，当�为 Q与点B构成直角三角形。【设计意图】此题考查了勾股定理的逆定理及直角三角形中30°所对的直角边是合数学素养。【核心素养】数学建模、逻辑推理直角顶点分别是点Q或点PBP=2BQ或BQ=2BP关于t的方程即可求解。【答案】当t为3或12秒时，机器人甲、乙所在的位置点P、点Q与点B构成直2 5角三角形。【解析】∵∠C=90°，∠A=30°，BC=3m∴AB=2BC=3×2=6m∵动点P以2m/s，Q以1m/s的速度出发∴BP=AB−AP=6−2t，BQ=t∵△PBQ是直角三角形∴BP=2BQ或BQ=2BP当BP=2BQ时，6−2t=2t解得t=32当BQ=2BP时，t=26−2t解得t=125所以，当t为3或12秒时，机器人甲、乙所在的位置点P、点Q与点B构成直角2 5三角形。PAGEPAGE208. 已知等腰三角形�的底边��=2��，是腰上一点，且��=4��，��=2��，(1)求证：��⊥𝐴．(2)求△𝐴�的面积．会勾股定理及逆定理的应用价值，发展学生应用方程思想解决问题的意识。【核心素养】数学建模、逻辑推理定理并判断出△BCD是直角三角形，然后求出AB的长是解题的关键．(1)首先根据BD、CD、BC长可利用勾股定理逆定理证明CD⊥AB；(2)设AD=xcm，则AB=(x+2)cm，在Rt△ACD中利用勾股定理列出方程求解即可得到AD，进一步得到AB，即可得解.【答案】1见解析（2）10cm2【解析】证明：∵CD=4cm，BD=2cm∴CD2+BD2=42+22=20∵BC=25cm，∴BC2=20∴CD2+BD2=BC2∴△BDC是直角三角形∴CD⊥AB2设AD=xcm，则AB=(x+2)cm，∵AB=AC，∴AC=x+2，在Rt△ACD中：CD2=AC2−AD2，∴42=x+22−x2，解得x=3，∴AB=3+2=5cm，1 2则S∆ABC=2×AB×CD=10cm作业评价评价指标等级ABC答题的准确性ABC答题的规范性ABC解法的创新性ABCABC18.2 勾股定理的逆定理（第二课时）一、作业目标1.掌握勾股定理的逆定理，并能运用勾股定理的逆定理来解决实际问题；2.理解勾股数的含义，探索常用勾股数的规律：3.运用勾股定理的逆定理，提高运算能力、逻辑推理能力和应用意识；4.运用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形的内在联系，感受定理与逆定理之间的和谐及辩证统一的关系；5.通过分层作业的布置，让不同水平的学生都能得到不同的发展。二、作业分析探究精神。三、作业展示基础性作业（时间：10分钟）1. 已知三角形三条边的长度分别是：①1，2，3；②2，3，4；③3�，4�，5�(�>0)；④32，42，52．其中一定能构成直角三角形的有（）A.1组 B.2组 C.3组 D.4组【设计意图】通过简单运算，加深对勾股定理的逆定理的理解。【核心素养】数学运算【答案】B【解析】解：①12+(2)2=(3)2，故是直角三角形，正确；②22+32≠42，故不是直角三角形，错误；③(3�)2+(4�)2=(5�)2，故是直角三角形，正确；④(32)2+(42)2≠(52)2，故不是直角三角形，错误．故选�．2. 三角形的三边为�，�，�，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（）A.�:�:�=8:16:17 B.�2−�2=C.�2=(�+�)(�−�) D.�:�:�=13:5:12【设计意图】通过探究三边比例数量关系，加深对勾股定理的逆定理的理解。【核心素养】数学运算【答案】A【解析】解：�、因为82+162≠172，所以不是直角三角形；�、因为�2−�2=�2即�2+�2=�2，所以是直角三角形；�、因为�2=(�+�)(�−�)，即�2+=�2，所以是直角三角形；�、因为52+122=132，所以是直角三角形．故选�．3. 一个三角形的三边分别是2�，2�，2�，则它的三个内角中最大的角是 度．关系，加深对勾股定理的逆定理的掌握。【核心素养】数学运算【解析】解：∵ (2�)2+(2�)2=(2�)2=4�2，∴ 这个三角形是直角三角形，∴ 它的三个内角中最大的角是90∘，故答案为90．4 若一个三角形三边的长度之比为3:4:5，且周长为60��，则它的面积是 ��2．积公式求出结果．【核心素养】数学运算【答案】150��2【解析】∵ 一个三角形三边的长度之比为3:4:5，且周长为60��，∴ 三角形三边为15��，20��，25��，且三角形为直角三角形，∴ 三角形的面积为：1×15��×20��＝150��2，25. 在△�中，�=13��，��=10��，�边上的中线�=12��．求�．并利用它们来解决一些简单的问题。【核心素养】数学运算、逻辑思维【答案】13��．【解析】解：∵ 是�上的中线，�=13��，��=10��，�=12��，∴ ��=��=1��=5��，2∵ 52+122=132，故△𝐴�是直角三角形，∴ ��垂直平分��．∴ 𝐵=𝐴= 52+122=13��．发展性作业（时间10分钟）6. 若△+�)(�2+�2−�2)=𝐴�是( )B.直角三角形0时的“或命题”，熟练运用勾股定理的逆定理进行计算，根据探索的规律解决问题。【核心素养】数学运算、逻辑推理【答案】B【解析】解：∵ �+��2+�2−�2=0，∴ �+�≠0，且�2+�2−�2=0，即�2+�2=�2，∴ △𝐴�是直角三角形.故选�.7. 如图，在四边形𝐴��中，𝐴:��:��:��=2:2:3:1，且∠𝐴�=90∘，则∘.辑推理能力及合情推理的意识，考验学生几何语言的表达能力。【核心素养】数学运算、逻辑推理【答案】135【解析】解：∵ 𝐴:��:��:��=2:2:3:1，且∠𝐴�=90∘，∴ 𝐴=��，∴ ∠�𝐵=∠𝐵�=45∘，∴ 𝐴:��:𝐵=2:2:22，∴ 𝐵:��:��=22:3:1，∴𝐵2+��2=��2，∴ ∠�𝐵=90∘，∴ ∠�𝐴=45∘+90∘=135∘．故答案为：135.8. ⊥====8，求∠�的度数．辑推理能力及合情推理的意识，考验学生几何语言的表达能力。【核心素养】数学运算、逻辑思维、逻辑推理【答案】∠�=90∘．【解析】解：∵ 𝐷⊥𝐴于点�，1∴ �△𝐴�=2𝐴⋅𝐵=60，1∴ 𝐴=10，又𝐵2+��2=62+82=100，𝐴2=102=100，∴ +��2=𝐴2，∴ △𝐴�是直角三角形，即∠�=90∘．作业评价评价指标等级ABC答题的准确性ABC答题的规范性ABC解法的创新性ABCABC第18章 勾股定理（复习课）一、作业目标1.掌握勾股定理，会运用勾股定理解决简单的实际问题.2.理解勾股数的概念，并掌握简单的勾股数.3.理解勾股定理的逆定理，会用勾股定理的逆定理判定直角三角形.4.会利用勾股定理的逆定理解决简单的实际问题.5.通过画图实践，感悟勾股定理及其逆定理的应用价值.二、作业分析1.帮助学生进一步理解勾股定理，能应用勾股定理解决一些简单的问题.2.帮助学生进一步理解勾股定理的逆定理，能应用勾股定理的逆定理解决简单问题.3.体会勾股定理的逆定理在直角三角形判定中的重要作用.4.勾股定理与特殊三角形存在性相结合，它体现了分类讨论的重要数学思想，培养学生的发散思维.5.勾股定理与坐标系、数轴的结合，培养数学思维，加深学生对数形结合思想的理解.6.画图、实践活动的设计，能让学生学会用数学的眼光去观察世界，用数透彻。三、作业展示基础性作业（时间：12分钟）1.由下列线段a，b，c能组成直角三角形的是( ).B．a＝1，b＝3，c＝55，c＝3【设计意图】勾股定理的逆定理的应用.【核心素养】数学运算.【答案】D.22

52932即当a，b3时，a2b2c2时a，b，c能组成直角三角形.故答案为D.2.在平面直角坐标系中，点P4原点O的距离的长为（ ）.A.3 B.4 C.5 7【设计意图】勾股定理的简单应用，体会数形结合的思想.【核心素养】数学抽象.【答案】C.P作PA⊥x轴于点Rt△PAO中，因为AP2OA2OP2，所以OP=5.故答案为C.3.如图，以数轴的单位长度线段为边先作一个正方形，再以表示数1的点为圆�表示的数是 .【设计意图】勾股定理与数轴结合，体现数形结合的思想.【核心素养】数学运算，数学抽象.2【答案】1 .221的正方形的对角线长为2A到表示数1的点的距离为22，则点A表示的数是：1 .222；210图（2）中长方形的对角线长为5；图（3）中长方形对角线的长为第n个长方形的对角线的长为 ．10【设计意图】勾股定理的应用，通过规律探索，锻炼数学归纳能力.【核心素养】数学运算，数学建模.

，那么【答案】

n21.222【解析】图（222图（2）中长方形的对角线长为

2212 5；图（3）中长方形的对角线长为

3212 ；10图（n）中长方形的对角线长为10

n212

n21.5.如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．（1）求DC的长；（2）求AB的长；（3）求证：△ABC是直角三角形．CA D B【设计意图】通过对简单实际问题的解决，加深对勾股定理及其逆定理的理解，使学生能利用它们解决一些简单的实际问题。【核心素养】数学建模，逻辑推理.【分析】（1）根据垂直定义可知△BDC与三角形ADC均为直角三角形，利用勾股定理可以求得DC与AD的长，进而解决问题.（2）利用勾股定理的逆定理可以判定三角形是直角三角形.【答案】（1）

CDABCDB90则BDC为直角三角形BD2CD2BC2BD15CD12

CDABCDA90则ADC为直角三角形AD2CD2AC2CD20AD16BD9ABADBD25

在ABC中，AC25AC2BC2AB2ABC是直角三角形PAGEPAGE30发展性作业（时间：10分钟）56.如图，点A是4×5网格图形中的一个格点（小正方形的顶点），图中每个小正5方形设为边长为1，以点A为其中的一个顶点，腰长等于角形（三角形的三个顶点都是格点）有（ ）个.

的格点等腰直角三C.14 理和勾股定理的逆定理辩证统一的关系.【核心素养】数学抽象、直观想象.【答案】B.【解析】如图（1）所示，当∠A为顶角时，符合条件的格点等腰直角三角形有8个；如图（2）所示，当∠A为底角时，符合条件的格点等腰直角三角形有4个.综上所述，符合条件的格点等腰直角三角形一共有12个.图（1） 图（2）11；2 2④a，a，2a；（其中a0）；⑤32；⑥m2n，m2n2（为正整数，且mn）；那么能组成直角三角形的是（ ）.B.③④⑤⑥ 【设计意图】勾股定理的逆定理的应用，进一步理解勾股定理的逆定理.【核心素养】数学运算.【答案】C.【解析】因为8215264225289172，所有①成立；因为9210281100181，112121，181121，所以②不成立；2因为42712

1622528981

，所以③成立； 2

24 4 22因为a2a22a2

2a2，所以④成立；因为32281，42256，522625，而81256337625，所以⑤不成立；因为m2n22m42m2n2n4，m2n22m42m2n2n4，2n24m2n2，所以m2n222n2m2n22，则⑥成立.综上所述，能组成直角三角形的是①③④⑥，故答案是C.8.如图分别以直角三角形ABC的三边长为直径作三个半圆若S136S264，则S3等于 .【设计意图】勾股定理与扇形面积公式的应用.【核心素养】数学运算，逻辑推理.【答案】100.【解析】由图可知：S

11BC

1BC2,21 2122 822 11 122S11AC

1AC2,S

AB

AB2.2 22 8

3 22 8因为BC2AC2AB2，所以SS

12AC21AB2，1 2 8 8则S1S2S3.所以S33664100.9．设一个直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，斜边上的高为h，那么，以c+h、a+b、h为边构成的三角形的形状是 ．【设计意图】勾股定理的逆定理的应用.【核心素养】数学运算.【答案】直角三角形.【解析】由题意可得：a2b2c2，1ab1ch.2 2则ch2c22chh2，ab2a22abb2c22ch.所以ch2c22chh2ab2h2.那么以ch、ab、h为边构成的三角形是直角三角形.是BCAB于点E，且��2−��2=AC2．（1）求证：∠A=90°；（2）若DE=3，BD=4，求AE的长．三角形是否为直角三角形的定理.本题为三角形的综合应用，涉及勾股定理、垂直平分线的性质、方程等知识．【核心素养】数学建模、逻辑推理.【分析】（1）连接CE，运用垂直平分线的性质可得BE=CE，进而使用勾股定理的逆定理解决问题.（2）由（1）可知△ABC与△AEC均为直角三角形，利用勾股定理，结合方程求解.【答案】（1）证明：如图所示，连接EC.D是BC的中点，DEBCBECEBE2EA2AC2CE2EA2AC2即AC2AE2CE2ACE是直角三角形A90设AExD是BC的中点，BD4BC2BD8DEBCBDE是直角三角形BD2DE2BE2DE4BE5则：AB4x，CEBE5在RTACE中，AC2AE2CE2AC2CE2AE252x2

A90ABC是直角三角形AB2AC2BC2则AC2BC2AB28252x2827解得：x5即AE75作业评价评价指标等级ABC答题的准确性ABC答题的规范性ABC解法的创新性ABCABC第18章 勾股定理单元质量检测 作业目标主义感情。 作业分析1.勾股定理的简单应用；2.常见勾股数和勾股定理逆定理的简单应用；3.格点与勾股定理的结合应用；4.勾股定理与其它学科的交叉应用；5.6.勾股定理在数形结合方面的应用。 作业展示：一、单项选择题（每小题4分，共8小题，总分32分））1．一个三角形的三边分别是3、4、5，则它的面积是（ ）B．12 C．7.5 【设计意图】理解勾股数的概念，掌握勾股定理的逆定理。【核心素养】数学运算【答案】A【解析】解：因为3+42=52，所以三条线段组成直角三角形；5所对的角为最大的直角所以面积为：1×3×4＝62故选A.2．若直角三角形两直角边的边长分别是8和15，则斜边上的高为（ ）B．

D．6017【设计意图】掌握勾股定理及面积法。【核心素养】数学运算、逻辑推理【答案】C【解析】解：由勾股定理得斜边＝82+152＝289＝17× 1

120斜边上的高为：故选C．

×17h，解得h=2 2 173．下列四组数据中，不能作为直角三角形的三边长的是（ ）B．6，8，10 C．9，12，15 【设计意图】理解勾股数的概念，掌握勾股定理的逆定理。【核心素养】数学运算【答案】D【解析】解：A.因为72+242=252，所以三条线段能组成直角三角形；B.因为62+82=102，所以三条线段能组成直角三角形；C.因为92+122=15，所以三条线段能组成直角三角形；D.因为52+42≠62，所以三条线段不能组成直角三角形．故选D．4.一座桥横跨由西向东的一条河，桥长24m，一小船由桥南头出发，向正北方向驶去，由于水流原因，到达北岸的后，发现已偏离桥头7m，则小船实际行驶了（）米。B．24 C．7 【设计意图】生活中勾股定理的应用。【核心素养】数学运算，直观想象【答案】A【解析】斜边长度242+72＝625=25。故选A5.已知直角三角形的两条边是3和5，则第三条边是（）A.3 B.4 C.5 D.4和34【设计意图】掌握勾股定理以及同一数据对应不同的图形位置关系。【核心素养】数学运算，逻辑推理【答案】D【解析】解：当两条边为直角边时，第三边长度为32+52＝34当两条边分别为直角边和斜边时，第三边长度为52−32＝16＝4故选D．6.小明同学新购了一台高清数字电视机，小明量了一下屏幕长度长度为132.0876.21吋=2.54厘米，小明通过计算认为电视产品没达线的长度。请你帮助小明同学确认一下，这是什么尺寸的电视机（）A.42吋 B.48吋 B.50吋 B.60吋【设计意图】掌握勾股定理在生活中的应用。【核心素养】数学运算，数学建模【答案】D【解析】解：电视机屏幕长度为132.08/2.54=52（吋），宽度为76.2/2.54=30（吋）根据勾股定理，电视机屏幕对角线长度为：522+302＝3604≈60（吋）故选D．7.已知，如图长方形ABCD中，AB=4cm，AD=10cm，将此长方形折叠，使点B与D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）cm2.B．4.2 C．8.4 【设计意图】翻折变换（折叠问题），掌握勾股定理在生活中的应用。【核心素养】数学运算，数学建模【答案】D【解析】解：∵长方形折叠，使点B与点D重合，∴ED=BE，设AE=xcm，则ED=BE=（10-x）cm，在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，∴42+x2=（10-x）2，解得：x=4.2，×∴△ABE的长为：4×4.21=8.4（cm2），×2故选C8.如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A点绕到正上方B点共四圈，已知易拉罐底面周长是12cm，高是20cm，那么所需彩带最短的是（ ）B．4C．4【设计意图】平面展开——最短路径问题，构造勾股定理的应用条件。【核心素养】数学建模，数学运算，直观想象。【答案】AA处绕易拉罐4圈后到达顶端的B形并排后的长方形的对角线长，∵易拉罐底面周长是12cm，高是20cm，∴AC2=（12×4）2+202，所以彩带最短是52cm．故选D(G)N((G)N()J()二、填空题（每小题5分，共4小题，总分20分）9.如图，一株美丽的勾股树如图所示，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为4，7，2，3，则最大的正方形E的面积是 ．FFG【设计意图】勾股定理的直接运用、迭加运用。【核心素养】数学运算。【答案】16【解析】解：根据勾股定理，所以SE=SF+SG=11+5=1610.某人要登上6m高的建筑物，为确保安全，梯子底端要离开建筑物顶端不低于建筑物顶部，则梯子长应不少于 m．【设计意图】掌握常见的勾股数，掌握勾股定理的运用。【核心素养】数学运算。【答案】6.5【解析】解：墙面高度，梯子长度，底端离开墙的距离构成直角三角形三条边，所以可根据勾股定理，得梯子长度最短为：62+2.52=42.25，由于5,12,13是一组常见勾股数，其一半也满足勾股定理条件，故42.25=6.5所以梯子长应不少于6.5m将一根长20厘米的筷子，置于底面直径为512厘米的圆柱形水杯中，则筷子露在杯子外面的长度至少为 厘米.【设计意图】掌握常见的勾股数，掌握勾股定理的运用。【核心素养】数学抽象、数学运算。【答案】7【解析】解：圆柱水杯的高度，底面直径和筷子在杯中部分的长度，构成直角三角形。根据勾股定理得筷子在杯中的长度至多为：52+122=169=13（厘米），故筷子露在杯子外面的长度至少为20-13=7（厘米）。12.在边长都为整数的△ABC中，ABAC，如果AC4cm，BC3cm，AB的长为 cm．力。【核心素养】数学运算，逻辑推理。【答案】5cm或6cm【解析】解：根据三角形三条边的关系定理：三角形两边的和大于第三边，得AC<AB<AC+BC即4<AB<7从而得AB等于5cm或6cm．三、解答题（共4小题，共48分）葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？”（注：丈、尺是长度单位，1丈=10尺，1尺=1米），这段话翻译城现代汉语，即为：如图，有3水面1则水池里水的深度是多少米？请你用所学知识解答这个问题．中国先人的数学成就，增强民族自豪感【核心素养】数学建模，数学运算。【答案】池水有12尺深【解析】解：设水池深x尺，根据题意得：x2+(102

)2=(x+1)2解得:x=12答:池水有12尺深.14.（10分）在△ABC中，AB20，BC边上的高AD12，求BC的长．A AB D C C B D图1 图2【设计意图】考查学生对位置关系的理解，锻炼数学思维的周密性【核心素养】数学建模，数学运算。【答案】25或7【分析】AB、AC可以在高的两侧，也可以在高的同侧，要分两种情况求解。【解析】解：当AD在△ABC内部时，如图1，由勾股定理，得DB2AB2AD281，即BD9．CD2AC2AD2256，即CD16．则BCBDDC25．当AD在△ABC外部时，如图2．同样，由勾股定理可求得CD16

BD9．BC1697．GAFHBEICD故BCGAFHBEICD分）小明在新家装修时遇到以下两个有趣的数学问题，请你帮助解决。（1）（8分）家里一楼地面，普通瓷砖铺的都是边长为1米的正方形瓷砖，每平方收费80或五边形，每平方收费200元，美缝是按花样瓷砖的边长加起来收费，每米50元，普通瓷砖的美缝免费赠送。请你参照以下图形，计算一下应给师傅多少钱？（温馨提示：师傅计算时，美缝总长度精确到米取整计算，零头部分均算师傅赠送。2=1.414，5=2.236）PAGEPAGE40【设计意图】考查学生生活中如何构造直角三角形，如何运用勾股定理。【核心素养】数学建模，数学运算。【答案】（1）花样瓷砖美缝边长约为56m，付费2800元；花样瓷砖面积约为52m2，付费12400元，普通瓷砖面积92m2，付费7360元。共付22560元。【分析】重点在网格中