《统计基础》（彭珊）697-9 教案 第11课 计算与应用几何平均数、众数、中位数

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课题计算与应用几何平均数、众数、中位数课时2课时（90min）教学目标知识技能目标：（1）了解平均指标指标中几何平均数、众数、中位数的概念、表现形式、作用、分类及计算要求（2）掌握几何平均数、众数、中位数的计算方法（3）能够结合实例计算出几何平均数、众数、中位数，并能正确运用其分析具体问题素质目标：培养学生理论联系实际的良好习惯，自觉将统计理论用于实际工作生活教学重难点教学重点：几何平均数、众数、中位数的计算方法教学难点：几何平均数、众数、中位数的计算方法教学方法讲授法、问答法、案例分析法、分组讨论法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计→→互动→传授新知（70min）→课堂小结（3min）→作业布置（2min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图课前任务【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学完成课前任务通过查找相关资料，了解什么是几何平均数、众数、中位数，并能举例说明。【学生】完成课前任务通过课前任务，让学生对几何平均数、众数、中位数有所了解，以便做好教学准备考勤（2min）【教师】使用文旌课堂APP进行签到【学生】按照老师要求签到培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况互动导入（13min）【教师】将学生分组并让学生思考并讨论：某流水生产线有前后衔接的五道工序。某日各工序产品的合格率分别为95﹪、92﹪、90﹪、85﹪、80﹪，求整个流水生产线产品的总合格率。【学生】每3～5人一组，并以小组为单位，讨论并解答【教师】参与到每组的讨论中，及时为学生答疑解惑【学生】分小组讲述解题方法【教师】总结学生的回答，并讲解，然后导入本节课课题：任务二计算与应用平均指标——计算与应用几何平均数、众数、中位数设最初投产100A个单位，则第一道工序的合格品为100A×0.95；第二道工序的合格品为（100A×0.95）×0.92；……第五道工序的合格品为（100A×0.95×0.92×0.90×0.85）×0.80；因该流水线的最终合格品即为第五道工序的合格品，故该流水线总的合格品应为100A×0.95×0.92×0.90×0.85×0.80；

则该流水线产品总的合格率为：让学生以小组为单位分析如何计算简单的平均指数，从而引发思考，激发学生的学习兴趣传授新知（70min）【教师】讲授新知：平均指标中的几何平均数、众数和中位数一、平均指标1．几何平均数【课堂互动】✈【教师】让学生通过文旌课堂APP观看微课——几何平均数（详见教材），思考：什么是几何平均数？几何平均数分为哪两类？✈【学生】观看、聆听、思考、发言✈【教师】做出总结几何平均数是对各标志值的连乘积开项数次方根所得的平均数。几何平均数常用来计算平均速度或平均比率。【课堂互动】✈【教师】提出问题，让学生思考：几何平均数应用的前提条件是什么？✈【学生】聆听、思考、发言✈【教师】做出总结各个比率或速度的连乘积等于总比率或总速度；相乘的各个比率或速度不为零或负值。（1）简单几何平均数。简单几何平均数即n个标志值的连乘积的n次方根。主要适用于总体内各标志值未进行分组的情况。其计算公式为（4-17）其中，为简单几何平均数；为标志值；为连乘符号；为标志值个数。……（详见教材）【课堂互动】✈【教师】将学生分组，让学生思考并讨论：利用上述公式计算互动导入例题的产品平均合格率。✈【学生】聆听、思考、讨论、发言✈【教师】分析、讲解（2）加权几何平均数。当总体内各个标志值的次数即权数不相等时，应采用加权几何平均数，其计算公式为（4-18）其中，为各标志值的次数或权数。【经典例题】✈【教师】将学生分组，让学生阅读例4-8（详见教材），思考并讨论：计算10年内该银行的平均贷款年利率。✈【学生】聆听、思考、讨论、发言✈【教师】分析、讲解【课堂互动】✈【教师】将学生分组，让学生思考并讨论：若互动导入例题不是由五道连续作业的工序组成的流水生产线，而是五个独立作业的车间，且各车间的合格率同前，又假定各车间的产量相等均为100件，求该企业的平均合格率。✈【学生】聆听、思考、讨论、发言✈【教师】分析、讲解因各车间彼此独立作业，所以有第一车间的合格品为：100×0.95；第二车间的合格品为：100×0.92；

……第五车间的合格品为：100×0.80。则该企业全部合格品应为各车间合格品的总和，即总合格品=100×0.95+…+100×0.80不再符合几何平均数的适用条件，需按照求解相对数的平均数的方法计算。又因为

应采用加权算术平均数公式计算，即【经典例题】✈【教师】将学生分组，让学生思考并讨论：某金融机构以复利计息。近12年来的年利率有4年为3﹪，2年为5﹪，2年为8﹪，3年为10﹪，1年为15﹪。求平均年利率。✈【学生】聆听、思考、讨论、发言✈【教师】分析、讲解设本金为V，则至各年末的本利和应为：第1年末的本利和为：第2年末的本利和为：……第12年末的本利和为：

则该笔本金12年总的本利率为：即12年总本利率等于各年本利率的连乘积，符合几何平均数的适用条件，故计算平均年本利率应采用几何平均法。2．众数【课堂互动】✈【教师】让学生通过文旌课堂APP观看微课——几何平均数（详见教材），思考：什么是众数？请举例说明。✈【学生】观看、聆听、思考、发言✈【教师】做出总结众数即总体中出现次数最多的标志值，用表示。【课堂互动】✈【教师】将学生分组，让学生思考并讨论：试着举例说明众数的经济意义。✈【学生】聆听、思考、讨论、发言✈【教师】做出总结众数能够反映客观现象分配的集中趋势，表明社会经济现象的一般水平。【知识拓展】众数不受极端数值的影响，用来说明总体中大多数单位所达到的一般水平。【小提示】以下两种情况下没有众数：一是若总体中各标志值出现的次数相同或近似相同，则该总体没有众数；二是若总体中单位数较少或各标志值次数分配无明显集中趋势，则计算出的众数没有意义。众数的确定方法有两种：（1）由未分组资料或单项式数列确定众数。对于未分组资料或单项式数列，可通过观察总体中各标志值出现的次数来判断，次数最多的即为众数。……（详见教材）（2）由组距式数列确定众数。对于组距式数列，通过观察，其中次数最多的组为众数所在组，然后利用上限或下限公式计算众数的近似值。下限公式为（4-19）上限公式为（4-20）其中，为众数；为众数所在组的组距；为众数所在组的下限；为众数所在组的上限；为众数组次数与其下限的邻组次数之差；为众数组次数与其上限的邻组次数之差。众数的下限公式和上限公式完全等价，其计算结果完全相同，一般采用下限公式。……（详见教材）【知识拓展】众数的原理及应用413名学生出生时间分布直方图

当数据分布呈现出双众数或多众数时，可以断定这些数据来源于不同的总体。3．中位数【课堂互动】✈【教师】让学生通过文旌课堂APP观看微课——中位数（详见教材），思考：什么是中位数？请举例说明。✈【学生】观看、聆听、思考、发言✈【教师】做出总结中位数就是将总体各单位标志值按大小顺序排列后，居于中间位置的标志值，用表示。中位数两边的标志值个数相等，其数值大小不受极端值的影响，可以用来反映现象的一般水平。【课堂互动】✈【教师】将学生分组，让学生思考并讨论：中位数有什么作用？✈【学生】聆听、思考、讨论、发言✈【教师】做出总结不受极端数值的影响，在总体标志值差异很大时，具有较强的代表性。根据所掌握的资料不同，中位数分为：（1）由未分组的原始资料确定中位数。对于未分组的原始资料，要确定其中位数，首先应对所有标志值按大小顺序进行排列，然后用下列公式确定中位数的位置。（4-21）其中，为标志值个数。若为奇数，则位于中间位置的标志值为中位数；若为偶数，则位于中间位置的两个标志值的算术平均数为中位数。……（详见教材）【课堂互动】✈【教师】将学生分组，让学生思考并讨论：某售货小组5个人，某天的销售额按从小到大的顺序排列为440元、480元、520元、600元、750元，请计算中位数。✈【学生】聆听、思考、讨论、发言✈【教师】讲解中位数的位次为：即第3个单位的标志值就是中位数520元。【课堂互动】✈【教师】若上述售货小组为6个人，某天的销售额按从小到大的顺序排列为440元、480元、520元、600元、750元、760元，则中位数是什么？✈【学生】聆听、思考、讨论、发言✈【教师】讲解中位数位置：中位数应为第3和第4个单位标志值的算术平均数，即（2）由单项式数列确定中位数。由单项式数列确定中位数的步骤包括：①计算（为数列次数总和，下同），确定中位数的位置；②计算各组的向上累计次数或向下累计次数；③根据向上累计次数或向下累计次数找出中位数，用向上累计和向下累计确定的中位数所在组相同。【经典例题】✈【教师】将学生分组，让学生阅读例4-9（详见教材），思考并讨论：根据所给数据计算新生年龄的中位数。✈【学生】聆听、思考、讨论、发言✈【教师】分析、讲解【课堂互动】✈【教师】将学生分组，让学生思考并讨论：某企业某日工人的日产量资料如下，计算该企业该日全部工人日产量的中位数。✈【学生】聆听、思考、讨论、发言✈【教师】分析、讲解（3）由组距式数列确定中位数。由组距式数列确定中位数，应先按公式求出中位数所在组的位置，然后再按下限公式或上限公式确定中位数的值。上限公式为（4-22）下限公式为（4-23）其中，为中位数所在组的组距；，分别为中位数所在组的下限和上限；为中位数所在组之前各组的累计次数；为中位数所在组之后各组的累计次数；为中位数组的次数。……（详见教材）【小提示】运用上限、下限公式计算中位数，计算结果为中位数的近似值，且要以中位数所在组内的各个标志值是均匀分布的为前提。【经典例题】✈【教师】将学生分组，让学生思考并讨论：某车间50名工人月产量的资料如下，计算该车间工人月产量的中位数。✈【学生】聆听、思考、讨论、发言✈【教师】讲解（三）平均指标的计算要求（1）只能用于同质总体。（2）用组平均数补充说明总平均数。（3）要将平均指标和分配数列结合使用。（4）要把平均数和典型事例结合起来。……（详见教材）【学生】聆听、理解、记忆通过观看视频、课堂讨论、老师讲解和分析例题，使学生能够了解几何平均数、众数、中位数的概念、作用及计算要求，并在此基础上科学、准确地计算出各类平均指标课堂小结（3min）【教师】简要总结本节课的要点本节课学习了平均指标指标中几何平均数、众数、中位数的概念、作用、分类和计算方法，以及平均指标的计算要求等内容。通过学习所讲内容，希望大家能够结合实例计算出几何平均数、众数、中位数，并能正确运用其分析具体问题。【学生】总结回顾知识点总结知识点，巩固学生对