江苏省南京市附中2024届数学高一上期末学业质量监测模拟试题含解析

江苏省南京市附中2024届数学高一上期末学业质量监测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知集合，，若，则a的取值范围是A B.C. D.2．下列函数中，与函数有相同图象的一个是A. B.C. D.3．已知集合，，则（）A. B.C. D.4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是A. B.C. D.5．已知函数是上的增函数，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.6．函数y＝sin（2x）的单调增区间是（）A.，]（k∈Z） B.，]（k∈Z）C.，]（k∈Z） D.，]（k∈Z）7．我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于玉石的问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两.今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（两）.问玉、石重各几何？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的，分别为（）A.， B.，C.， D.，8．已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（）A. B.C. D.9．已知一几何体的三视图，则它的体积为A. B.C. D.10．的图像是端点为且分别过和两点的两条射线，如图所示，则的解集为A.B.C.D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知角的终边经过点，则的值为_______________.12．已知函数(，，)的部分图象如图，则函数的单调递增区间为______.13．设函数，则____________14．定义：关于的两个不等式和的解集分别为和，则称这两个不等式为相连不等式．如果不等式与不等式为相连不等式，且，则_________15．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧AB和弦AB所围成的图中阴影部分若弧田所在圆的半径为1，圆心角为，则此弧田的面积为____________.16．在中，已知，则______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．有一圆与直线相切于点，且经过点，求此圆的方程18．如图，四面体中，平面，，，，.（Ⅰ）求四面体的四个面的面积中，最大的面积是多少？（Ⅱ）证明：在线段上存在点，使得，并求的值19．已知函数在上的最小值为（1）求的单调递增区间；（2）当时，求最大值以及此时x的取值集合20．已知，，求以及的值21．（1）当取什么值时，不等式对一切实数都成立？（2）解关于的方程：.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】化简集合A，根据，得出且，从而求a的取值范围，得到答案详解】由题意，集合或，；若，则且，解得，所以实数的取值范围为故选D【题目点拨】本题主要考查了对数函数的运算性质，以及集合的运算问题，其中解答中正确求解集合A，再根据集合的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2、B【解题分析】逐一考查选项中的函数与所给的函数是否为同一个函数即可确定其图象是否相同.【题目详解】逐一考查所给的选项：A.，与题中所给函数的解析式不一致，图象不相同；B.，与题中所给函数的解析式和定义域都一致，图象相同；C.的定义域为，与题中所给函数的定义域不一致，图象不相同；D.的定义域为，与题中所给函数的定义域不一致，图象不相同；故选B.【题目点拨】本题主要考查函数相等的概念，需要同时考查函数的定义域和函数的对应关系，属于中等题.3、B【解题分析】化简集合A，由交集定义直接计算可得结果.【题目详解】化简可得，又所以.故选：B.4、B【解题分析】由三视图判断底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为2，则，选B.【考点定位】三视图与几何体的体积5、A【解题分析】根据分段函数是上的增函数，则每一段都为增函数，且右侧的函数值不小于左侧的函数值求解.【题目详解】函数是上增函数，所以，解得，所以实数的取值范围是故选：A.6、D【解题分析】先将自变量的系数变为正数，再由三角函数的单调性得出自变量所满足的不等式，求解即可得出所要的单调递增区间【题目详解】y＝sin（2x）＝﹣sin（2x）令，k∈Z解得，k∈Z函数的递增区间是，]（k∈Z）故选D【题目点拨】本题考查正弦函数的单调性，求解本题的关键有二，一是将自变量的系数为为正，二是根据正弦函数的单调性得出相位满足的取值范围，解题时不要忘记引入的参数的取值范围即k∈Z7、C【解题分析】执行程序框图，；；；，结束循环，输出的分别为，故选C.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题.解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.8、A【解题分析】由题意可得,，，，．故A正确考点：三角函数单调性9、C【解题分析】所求体积，故选C.10、D【解题分析】作出g(x)=图象，它与f(x)的图象交点为和，由图象可得二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】到原点的距离.考点：三角函数的定义.12、【解题分析】由函数的图象得到函数的周期，同时根据图象的性质求得一个单调增区间，然后利用周期性即可写出所有的增区间.【题目详解】由图可知函数f(x)的最小正周期.如图所示，一个周期内的最低点和最高点分别记作，分别作在轴上的射影，记作,根据的对称性可得的横坐标分别为,∴是函数f(x)的一个单调增区间，∴函数的单调增区间是,故答案为：,【题目点拨】本题关键在于掌握函数图象的对称性和周期性.一般往往先从函数的图象确定函数中的各个参数的值，再利用函数的解析式和正弦函数的性质求得单调区间，但是直接由图象得到函数的周期，并根据函数的图象的性质求得一个单调增区间，进而写出所有的增区间，更为简洁.13、2【解题分析】利用分段函数由里及外逐步求解函数的值即可.【题目详解】解：由已知，所以，故答案为：.【题目点拨】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力.14、＃＃【解题分析】二次不等式解的边界值即为与之对应的二次方程的根，利用根与系数的关系可得，整理得，结合范围判定求值【题目详解】设的解集为，则的解集为由二次方程根与系数的关系可得∴，即∴，即又∵，则∴，即故答案为：15、【解题分析】根据题意所求面积，再根据扇形和三角形面积公式，进行求解即可.【题目详解】易知为等腰三角形，腰长为，底角为，，所以，弧田的面积即图中阴影部分面积，根据扇形面积及三角形面积可得：所以.故答案为：.16、11【解题分析】由.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、x2＋y2－10x－9y＋39＝0【解题分析】法一:设出圆的方程,代入B点坐标,计算参数,即可.法二:设出圆的方程，结合题意，建立方程，计算参数，即可．法三：设出圆的一般方程，代入A,B坐标，建立方程，计算参数，即可．法四：计算CA直线方程，计算BP方程，计算点P坐标，计算半径和圆心坐标，建立圆方程，即可【题目详解】法一：由题意可设所求的方程为，又因为此圆过点，将坐标代入圆的方程求得，所以所求圆的方程为.法二：设圆的方程为，则圆心为，由，,，解得，所以所求圆的方程为.法三：设圆的方程为，由，，在圆上，得，解得，所以所求圆的方程为.法四：设圆心为，则，又设与圆的另一交点为，则的方程为，即.又因为，所以，所以直线的方程为.解方程组，得，所以所以圆心为的中点，半径为.所以所求圆的方程为.【题目点拨】考查了圆方程的计算方法，关键在于结合题意建立方程组，计算参数，即可，难度中等18、(Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析.【解题分析】（1）易得，,,均为直角三角形，且的面积最大，进而求解即可；（2）在平面ABC内，过点B作BN⊥AC，垂足为N．在平面PAC内，过点N作MN∥PA交PC于点M，连接BM，可证得AC⊥平面MBN，从而使得AC⊥BM，利用相似和平行求解即可.试题解析：（1）由题设AB＝1，AC＝2，BC＝，可得,所以,由PA⊥平面ABC，BC、AB⊂平面ABC,所以，,所以,又由于PA∩AB＝A，故BC⊥平面PAB,PB⊂平面PAB,所以,所以，,,均为直角三角形，且的面积最大，.（2）证明：在平面ABC内，过点B作BN⊥AC，垂足为N．在平面PAC内，过点N作MN∥PA交PC于点M，连接BM.由PA⊥平面ABC知PA⊥AC，所以MN⊥AC由于BN∩MN＝N，故AC⊥平面MBN.又BM⊂平面MBN，所以AC⊥BM.因为与相似，，从而NC＝AC－AN＝.由MN∥PA，得＝＝.19、（1）；（2）最大值为，此时x的取值集合为.【解题分析】(1)利用二倍角公式化简函数，再利用余弦函数性质列式计算作答.(2)利用余弦函数性质直接计算作答.【小问1详解】依题意，，令，，解得，所以的单调递增区间为.【小问2详解】由(1)知，当时，，，解得，因此，，当，，即，时，取得最大值1，则取得最大值，所以的最大值为，此时x的取值集合为.20、【解题分析】根