甘肃肃兰州市第五十一中学2024届高一数学第一学期期末综合测试试题含解析

甘肃肃兰州市第五十一中学2024届高一数学第一学期期末综合测试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至4000，则大约增加了（）附：A.10% B.20%C.50% D.100%2．如果且，那么直线不经过（）A第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限3．已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是A. B.C. D.4．设为定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的大小顺序是（）A. B.C. D.5．设，为正数，且，则的最小值为（）A. B.C. D.6．若和都是定义在上的奇函数，则（）A.0 B.1C.2 D.37．设全集，集合，集合，则集合（）A. B.C. D.8．一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则它与另一条()A.相交 B.异面C.相交或异面 D.平行9．设函数,则使成立的的取值范围是A. B.C. D.10．下列函数，表示相同函数的是（）A.， B.，C.， D.，二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．定义在上的偶函数满足：当时，，则______12．若，则______13．已知集合，，则________________.（结果用区间表示）14．若不等式对一切恒成立，则a的取值范围是______________.15．1881年英国数学家约翰·维恩发明了Venn图，用来直观表示集合之间的关系．全集，集合，的关系如图所示，其中区域Ⅰ，Ⅱ构成M，区域Ⅱ，Ⅲ构成N．若区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ表示的集合均不是空集，则实数a的取值范围是______16．某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.若使租赁公司的月收益最大，每辆车的月租金应该定为__________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．计算下列各式的值：（1）lg2（2）sin18．（1）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？（2）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？19．已知二次函数的图象关于直线对称，且关于x的方程有两个相等的实数根（1）求函数的值域；20．已知集合，集合.（1）若，求和（2）若，求实数的取值范围.21．已知函数，.（1）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；（2）是否存在整数，使得的解集恰好是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】根据题意，计算出值即可；【题目详解】当时，，当时，，因为所以将信噪比从1000提升至4000，则大约增加了20%，故选：B.【题目点拨】本题考查对数的运算，考查运算求解能力，求解时注意对数运算法则的运用.2、C【解题分析】由条件可得直线的斜率的正负，直线在轴上的截距的正负，进而可得直线不经过的象限【题目详解】解：由且，可得直线斜率为，直线在y轴上的截距，故直线不经过第三象限，故选C【题目点拨】本题主要考查确定直线位置的几何要素，属于基础题3、D【解题分析】是奇函数，单调递增，所以，得，所以，所以，故选D点睛：本题考查函数的奇偶性和单调性应用．本题中，结合函数的奇偶性和单调性的特点，转化得到，分参，结合恒成立的特点，得到，求出参数范围4、A【解题分析】根据单调性结合偶函数性质，进行比较大小即可得解.【题目详解】因为为偶函数，所以又在上为增函数，所以，所以故选：A5、B【解题分析】将拼凑为，利用“1”的妙用及其基本不等式求解即可.【题目详解】∵，∴，即，∴，当且仅当，且时，即，时等号成立故选：.6、A【解题分析】根据题意可知是周期为的周期函数，以及，，由此即可求出结果.【题目详解】因为和都是定义在上的奇函数，所以，，所以，所以，所以是周期为周期函数，所以因为是定义在上的奇函数，所以，又是定义在上的奇函数，所以，所以，即，所以.故选：A.7、D【解题分析】利用补集和交集的定义可求得结果.【题目详解】由已知可得或，因此，，故选：D.8、C【解题分析】如下图所示,三条直线平行,与异面,而与异面,与相交,故选C.9、A【解题分析】，定义域为，∵，∴函数为偶函数，当时，函数单调递增，根据偶函数性质可知：得成立，∴，∴，∴的范围为故答案为A.考点：抽象函数的不等式.【思路点晴】本题考查了偶函数的性质和利用偶函数图象的特点解决实际问题，属于基础题型，应牢记．根据函数的表达式可知函数为偶函数，根据初等函数的性质判断函数在大于零的单调性为递增，根据偶函数关于原点对称可知，距离原点越远的点，函数值越大，把可转化为，解绝对值不等式即可10、B【解题分析】由两个函数相同的定义，定义域相同且对应法则相同，依次判断即可【题目详解】选项A，一个为指数运算、一个为对数运算，对应法则不同，因此不为相同函数；选项B，，为相同函数；选项C，函数定义域为，函数定义域为，因此不为相同函数；选项D，与函数对应法则不同，因此不为相同函数故选：B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、12【解题分析】根据偶函数定义，结合时的函数解析式，代值计算即可.【题目详解】因为是定义在上的偶函数，故可得，又当时，，故可得，综上所述：.故答案为：.12、【解题分析】由二倍角公式，商数关系得，再由诱导公式、商数关系变形求值式，代入已知可得【题目详解】，所以，故答案为：13、【解题分析】先求出集合A，B，再根据交集的定义即可求出.【题目详解】，，.故答案为：.14、【解题分析】先讨论时不恒成立，再根据二次函数的图象开口方向、判别式进行求解.【题目详解】当时，则化为（不恒成立，舍），当时，要使对一切恒成立，需，即，即a的取值范围是.故答案为：.15、【解题分析】由，又区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ表示的集合均不是空集，则或解不等式组即可【题目详解】由，又区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ表示的集合均不是空集，则或解得故答案为：16、4050【解题分析】设每辆车的月租金定为元，则租赁公司的月收益：当时，最大，最大值为，即当每车辆的月租金定为元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是，故答案为.【思路点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及几何概型概率公式，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.解答本题的关键是：将租赁公司的月收益表示为关于每辆车的月租金的函数，然后利用二次函数的性质解答.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）1（2）-1【解题分析】（1）利用对数的运算性质直接计算可得；（2）先进行切化弦，再通分后利用和差角公式和诱导公式即可求得.【小问1详解】原式＝lg2(lg2＋lg5)＋lg5＝lg2＋lg5＝1【小问2详解】原式＝sin40°(sin10°cos＝sin40°(sin10＝2＝-2＝-＝-＝－118、（1）当这个矩形菜园是边长为的正方形时，最短篱笆的长度为；（2）当这个矩形菜园是边长为的正方形时，最大面积是.【解题分析】设矩形菜园的相邻两条边的长分别为、，篱笆的长度为.（1）由题意得出，利用基本不等式可求出矩形周长的最小值，由等号成立的条件可得出矩形的边长，从而可得出结论；（2）由题意得出，利用基本不等式可求出矩形面积的最大值，由等号成立的条件可得出矩形的边长，从而可得出结论.【题目详解】设矩形菜园的相邻两条边的长分别为、，篱笆的长度为.（1）由已知得，由，可得，所以，当且仅当时，上式等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为；（2）由已知得，则，矩形菜园的面积为.由，可得，当且仅当时，上式等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是.【题目点拨】本题考查基本不等式的应用，在运用基本不等式求最值时，充分利用“积定和最小，和定积最大”的思想求解，同时也要注意等号成立的条件，考查计算能力，属于基础题.19、（1）（2）或【解题分析】（1）根据对称轴以及判别式等于得出，再由基本不等式得出函数的值域；（2）利用换元法结合对数函数以及二次函数的单调性得出a的值【小问1详解】依题意得，因为，所以，解得，，故，，当时，，当且仅当，即时，等号成立当时，，当且仅当，即时，等号成立故的值域为【小问2详解】，令，则①当时，，因为，所以，解得因为，所以，解得或（舍去）②当时，，因为，所以，解得，解得或（舍去）综上，a的值为或20、（1），；（2）.【解题分析】⑴把代入求出，，即可得到和⑵由得到，由此能求出实数的取值范围；解析：（1）若，则．，（2）因为,若，则，若，则或，综上，21、（1）（2）答案见解析【解题分析】（1）讨论和时实数的取值范围，再结合的范围与函数的对称轴讨论使得在上是减函数的范围即可；（2）假设存在整数，使得的解集恰好是．则，由，解出整数，再代入不等式检验即可小问1详解】解：令，则.当，即时，恒成立，所以.因为在上是减函数，所以，解得，所以.由，解得或.当时，的图象对称轴，且方程的两根均为正，此时在为减函数，所以符合条件.当时，的图象对称轴，且方程的根为一正一负，要使在单调递减，则，解得.综上可知，实数的取值范围为【小问2详解】解：假设存在整数，使的解集恰好是，则①若函数在上单调递增，则，且，即作差得到，代回得到：，即，由于均为整数，故，，或，，，