北京市丰台区第十二中学2024届数学高一上期末综合测试模拟试题含解析

北京市丰台区第十二中学2024届数学高一上期末综合测试模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知函数，若方程有8个相异实根，则实数b的取值范围为（）A. B.C. D.2．已知函数则函数值域是（）A. B.C. D.3．已知函数，函数有三个零点，则取值范围是A. B.C. D.4．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（）．注：重心坐标公式为横坐标：；纵坐标：A. B.C. D.5．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，函数是奇函数，且当时，，则（）A. B.6C. D.76．已知命题p：，，则（）A.， B.，C.， D.，7．已知实数a、b，满足，，则关于a、b下列判断正确的是（）A.a＜b＜2 B.b＜a＜2C.2＜a＜b D.2＜b＜a8．使不等式成立的充分不必要条件是（）A. B.C. D.9．下列说法正确的是（）A.若，，则 B.若a，，则C.若，，则 D.若，则10．设，则的值为（）A.0 B.1C.2 D.3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F是分别是棱A1B1、A1D1的中点，则A1B与EF所成角的大小为______12．当曲线与直线有两个相异交点时，实数的取值范围是________13．已知函数在区间是单调递增函数，则实数的取值范围是______14．已知函数，则的值为_________.15．已知，则用表示______________；16．若，则____三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知全集，求：（1）；（2）.18．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，已知投资1万元时两类产品的收益分别为万元和万元（如图）.（1）分别写出两种产品的收益和投资的函数关系；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大的收益，其最大收益为多少万元？19．已知向量，不共线，，（1）若，求k的值，并判断，是否同向；（2）若，与夹角为，当为何值时，20．已知向量=（3，4），=（1，2），=（－2，－2）（1）求||，||的值；（2）若=m+n，求实数m，n的值；（3）若（+）∥（－+k），求实数k的值21．计算求解（1）（2）已知，，求的值

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】画出的图象，根据方程有个相异的实根列不等式，由此求得的取值范围.【题目详解】画出函数的图象如图所示，由题意知，当时，；当时，.令，则原方程化为.∵方程有8个相异实根，∴关于t的方程在上有两个不等实根.令，，∴，解得.故选：B2、B【解题分析】结合分段函数的单调性来求得的值域.【题目详解】当吋，单调递增，值域为；当时，单调递增，值域为，故函数值域为.故选：B3、D【解题分析】根据题意做出函数在定义域内的图像，将函数零点转化成函数与函数图像交点问题，结合图形即可求解.【题目详解】解：根据题意画出函数的图象，如图所示：函数有三个零点，等价于函数与函数有三个交点，当直线位于直线与直线之间时，符合题意，由图象可知：，，所以，故选：D.【题目点拨】根据函数零点的情况求参数有三种常用方法：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.4、D【解题分析】由重心坐标公式得重心的坐标，根据垂直平分线的性质设出外心的坐标为，再由求出，然后求出欧拉线的斜率，点斜式就可求得其方程.【题目详解】设的重点为，外心为，则由重心坐标公式得，并设的坐标为，解得，即欧拉方程为：，即：故选：D【题目点拨】本题考查直线方程，两点之间的距离公式，三角形的重心、垂心、外心的性质，考查了理解辨析能力及运算能力.5、D【解题分析】先求出，再求出即得解.【题目详解】由已知，函数与函数互为反函数，则由题设，当时，，则因为为奇函数，所以.故选：D6、A【解题分析】直接利用全称命题的否定即可得到结论【题目详解】因为命题p：，，所以：，.故选：A.7、D【解题分析】先根据判断a接近2，进一步对a进行放缩，，进而通过对数运算性质和基本不等式可以判断a>2；根据b的结构，构造函数，得出函数的单调性和零点，进而得到a,b的大小关系，最后再判断b和2的大小关系，最终得到答案.【题目详解】.构造函数：，易知函数是R上的减函数，且，由，可知：，又，∴，则a>b.又∵，∴a>b>2故选：D.【题目点拨】对数函数式比较大小通常借助中间量，除了0和1之外，其它的中间量需要根据题目进行分析，中间会用到指对数的运算性质和放缩法；另外，构造函数利用函数的单调性比较大小是比较常用的一种方法，需要我们对式子的结构进行仔细分析，平常注意归纳总结.8、A【解题分析】解一元二次不等式，再根据充分条件、必要条件的定义结合集合间的关系直接判断作答.【题目详解】解不等式得：，对于A，因，即是成立的充分不必要条件，A正确；对于B，是成立的充要条件，B不正确；对于C，因，且，则是成立的不充分不必要条件，C不正确；对于D，因，则是成立必要不充分条件，D不正确.故选：A9、C【解题分析】结合特殊值、差比较法确定正确选项.【题目详解】A：令，；，，则，，不满足，故A错误；B：a，b异号时，不等式不成立，故B错误；C：，，，，即，故C正确；D：令，，不成立，故D错误.故选：C10、C【解题分析】根据分段函数，结合指数，对数运算计算即可得答案.【题目详解】解：由于,所以.故选：C.【题目点拨】本题考查对数运算，指数运算，分段函数求函数值，考查运算能力，是基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】解：如图，将EF平移到A1B1，再平移到AC，则∠B1AC为异面直线AB1与EF所成的角三角形B1AC为等边三角形，故异面直线AB1与EF所成的角60°，12、【解题分析】由解析式可知曲线为半圆，直线恒过；画出半圆的图象，找到直线与半圆有两个交点的临界状态，利用圆的切线的求解方法和两点连线斜率公式求得斜率的取值范围.【题目详解】为恒过的直线则曲线图象如下图所示：由图象可知，当直线斜率时，曲线与直线有两个相异交点与半圆相切，可得：解得：又本题正确结果：【题目点拨】本题考查利用曲线与直线的交点个数求解参数范围的问题，关键是能够通过数形结合的方式找到临界状态，易错点是忽略曲线的范围，误认为曲线为圆.13、【解题分析】求出二次函数的对称轴，即可得的单增区间，即可求解.【题目详解】函数的对称轴是，开口向上，若函数在区间是单调递增函数，则，故答案为：14、【解题分析】，填.15、【解题分析】根据对数的运算性质，对已知条件和目标问题进行化简，即可求解.【题目详解】因为，故可得，解得..故答案：.【题目点拨】本题考查对数的运算性质，属基础题.16、##0.25【解题分析】运用同角三角函数商数关系式，把弦化切代入即可求解.【题目详解】，故答案为：.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）或.【解题分析】（1）求出集合，再根据集合间的基本运算即可求解；（2）求出，再根据集合间的基本运算即可求解.【题目详解】解：（1）由，解得：，故，又，；（2）由（1）知：，或，或.18、（1）投资债券，投资股票；（2）投资债券类产品万元，股票类投资为4万元，收益最大值为万元.【解题分析】（1）设函数解析式，，代入即可求出的值，即可得函数解析式；（2）设投资债券类产品万元，则股票类投资为万元，年收益为万元，则，代入解析式，换元求最值即可.【题目详解】（1）设.由题意可得：，，所以，，（2）设投资债券类产品万元，则股票类投资为万元，年收益为万元依题意得即.令则，则所以当即时，收益最大为万元，所以投资债券类产品万元，股票类投资为4万元，收益最大值为万元.19、（1）k=-1,反向；（2）k=1【解题分析】由题得由此能求出，，与反向．由，得，由数量积运算求出【题目详解】，，，，即又向量，不共线，，解得，，即，故与反向，与夹角为，

，又故，即解得故时，【题目点拨】本题考查向量平行、向量垂直的性质等基础知识，熟记共线定理，准确计算是关键，是基础题20、（1）||=5；；（2）；（3）.【解题分析】（1）利用向量的模长的坐标公式即得；（2）利用向量的线性坐标表示即得；（3）利用向量平行的坐标表示即求.【小问1详解】∵向量=（3，4），=（1，2），∴||=5，；【小问2详解】∵=（3，4），=（1，2），=（－2