云南省昆明市黄冈实验学校2024届高一数学第一学期期末经典试题含解析

云南省昆明市黄冈实验学校2024届高一数学第一学期期末经典试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知函数，若函数在上有两个零点，则的取值范围是（）A. B.C. D.，2．已知向量，则锐角等于A.30° B.45°C.60° D.75°3．纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中纳皮尔比拟式、纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数尺，可以利用对数尺查询出任意一对数值.现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是（℃），空气的温度是（℃），经过t分钟后物体的温度T（℃）可由公式得出，如温度为90℃的物体，放在空气中冷却2.5236分钟后，物体的温度是50℃，若根据对数尺可以查询出，则空气温度是（）A.5℃ B.10℃C.15℃ D.20℃4．已知x＞0，y＞0，且x+2y＝2，则xy（）A.有最大值为1 B.有最小值为1C.有最大值为 D.有最小值为5．函数的零点所在区间是（）A B.C. D.6．已知,,,,则A. B.C. D.7．图1是南北方向、水平放置的圭表（一种度量日影长的天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成）示意图，其中表高为h，日影长为l.图2是地球轴截面的示意图，虚线表示点A处的水平面.已知某测绘兴趣小组在冬至日正午时刻（太阳直射点的纬度为南纬）在某地利用一表高为的圭表按图1方式放置后，测得日影长为，则该地的纬度约为北纬（）（参考数据：，）A. B.C. D.8．“是钝角”是“是第二象限角”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9．若，则的值为（）A. B.C. D.10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．圆柱的高为1，它的两个底面在直径为2的同一球面上，则该圆柱的体积为____________；12．一条光线从A处射到点B(0，1)后被轴反射，则反射光线所在直线的一般式方程为_____________.13．已知f(x)是定义在R上的奇函数且以6为周期，若f(2)=0，则f(x)在区间(0,10)内至少有________零点.14．下列命题中，正确命题的序号为______①单位向量都相等；②若向量，满足，则；③向量就是有向线段；④模为的向量叫零向量；⑤向量，共线与向量意义是相同的15．已知扇形的半径为4，圆心角为，则扇形的面积为___________.16．计算______三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图,某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道（，是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.设计要求管道的接口是的中点，分别落在线段上.已知米，米，记.（1）试将污水净化管道总长度(即的周长)表示为的函数，并求出定义域；（2）问当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的总长度.（提示：.）18．已知向量=（cosx，-sinx），=（1，），=（1，1），x∈[0，π]（1）若与共线，求x的值；（2）若⊥，求x的值；（3）记f（x）=•，当f（x）取得最小值时，求x的值19．已知函数，（1）证明在上是增函数；（2）求在上的最大值及最小值.20．“百姓开门七件事，事事都会生垃圾，垃圾分类益处多，环境保护靠你我”，为了推行垃圾分类，某公司将原处理垃圾可获利万元的一条处理垃圾流水线，通过技术改造后，开发引进生态项目.经过测算，发现该流水线改造后获利万元与技术投入万元之间满足的关系式：.该公司希望流水线改造后获利不少于万元，其中为常数，且.（1）试求该流水线技术投入的取值范围；（2）求流水线改造后获利的最大值，并求出此时的技术投入的值.21．某次数学考试后，抽取了20名同学的成绩作为样本绘制了频率分布直方图如下：（1）求频率分布直方图中的值；（2）求20位同学成绩的平均分；（3）估计样本数据的第一四分位数和第80百分位数（保留三位有效数字）

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】根据时，一定有一个零点，故只需在时有一个零点即可，列出不等式求解即可.【题目详解】当时，令，即可得，；故在时，一定有一个零点；要满足题意，显然，令，解得只需，解得.故选：D【题目点拨】本题考查由函数的零点个数求参数范围，涉及对数不等式的求解，属综合基础题.2、B【解题分析】因为向量共线，则有，得,锐角等于45°，选B3、B【解题分析】依题意可得，即，即可得到方程，解得即可；【题目详解】：依题意，即，又，所以，即，解得；故选：B4、C【解题分析】利用基本不等式的性质进行求解即可【题目详解】，，且，（1），当且仅当，即，时，取等号，故的最大值是：，故选：【题目点拨】本题主要考查基本不等式的应用，注意基本不等式成立的条件5、C【解题分析】利用零点存在定理可得出结论.【题目详解】函数在上单调递增，因为，，，，所以，函数的零点所在区间是.故选：C.6、C【解题分析】分别求出的值再带入即可【题目详解】因为,所以因为,所以所以【题目点拨】本题考查两角差的余弦公式．属于基础题7、B【解题分析】由题意有，可得，从而可得【题目详解】由图1可得，又，所以，所以，所以，该地的纬度约为北纬，故选：8、A【解题分析】根据钝角和第二象限角的定义，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.【题目详解】因为是钝角，所以，因此是第二象限角，当是第二象限角时，例如是第二象限角，但是显然不成立，所以“是钝角”是“是第二象限角”的充分不必要条件，故选：A9、D【解题分析】，故选D.10、A【解题分析】由题可得该几何体为正方体的一半，截去了一个三棱锥，即得.【题目详解】由三视图可知该几何体为正方体的一半，截去了一个三棱锥，如图，则其体积为.故选：A.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】由题设，易知圆柱体轴截面的对角线长为2，进而求底面直径，再由圆柱体体积公式求体积即可.【题目详解】由题意知：圆柱体轴截面的对角线长为2，而其高为1，∴圆柱底面直径为.∴该圆柱的体积为.故答案为：12、【解题分析】根据反射光线的性质，确定反射光线上的两个点的坐标，最后确定直线的一般式方程.【题目详解】因为一条光线从A处射到点B(0，1)后被轴反射，所以点A关于直线对称点为，根据对称性可知，反射光线所在直线过点，又因为反射光线所在直线又过点，所以反射光线所在直线斜率为，所以反射光线所在直线方程为，化成一般式得：，故答案为：.13、6【解题分析】直接利用f(x)的奇偶性和周期性求解.【题目详解】因为f(x)是定义在R上奇函数且以6为周期，所以f(x)=-f即f-x所以f(x)的图象关于3,0对称，且f3则f9又f(0)=0,f(6)=0，又f(2)=0，所以f(8)=0,f(-2)=0,f(4)=0，所以f(x)在区间(0,10)内至少有6个零点.故答案为：6个零点14、④⑤【解题分析】由向量中单位向量，向量相等、零向量和共线向量的定义进行判断，即可得出答案.【题目详解】对于①.单位向量方向不同时，不相等，故不正确.对于②.向量，满足时，若方向不同时，不相等，故不正确.对于③.有向线段是有方向的线段，向量是既有大小、又有方向的量.向量可以用有向线段来表示，二者不等同，故不正确,对于④.根据零向量的定义，正确.对于⑤.根据共线向量是方向相同或相反的向量，也叫平行向量，故正确.故答案为：④⑤15、【解题分析】先计算扇形的弧长，再利用扇形的面积公式可求扇形的面积【题目详解】根据扇形的弧长公式可得，根据扇形的面积公式可得故答案为：16、11【解题分析】进行分数指数幂和对数式的运算即可【题目详解】原式故答案为11【题目点拨】本题考查对数式和分数指数幂的运算，熟记运算性质，准确计算是关键，是基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），定义域为.（2）当或时所铺设的管道最短，为米.【解题分析】（1）如图，因为都是直角三角形，故可以得到，也就是，其中.（2）可变形为，令后，则有，其中，故取的最大值米.【题目详解】（1）.由于，，所以，故.管道的总长度，定义域为.(2).设，则，由于，所以.因为在内单调递减，于是当时，取的最大值米.（此时或）.答：当或时所铺设的管道最短，为米.【题目点拨】在三角变换中，注意之间有关系，如，，三者中知道其中一个，必定可以求出另外两个.18、（1）；（2）；（3）.【解题分析】（1）利用两向量平行有可得到一个关于的方程，利用三角函数恒等变化化简进而求得x的值.（2）利用两向量垂直有可得到一个关于的方程，利用三角函数恒等变化化简进而求得x的值.（3）根据化出一个关于的方程，再利用恒等变化公式将函数转化成，从而找到最小值所取得的x的值.【题目详解】解：（1）∵向量=（cosx，-sinx），=（1，），=（1，1），x∈[0，π]与共线，∴，∴tanx=-，∵x∈[0，π]，∴x=（2）∵⊥，∴cosx-sinx=0，∴tanx=1，∵x∈[0，π]，∴x=（3）f（x）=•=cosx-，∵x∈[0，π]，∴x-∈[-，]，∴x-=时，f（x）取得最小值-2，∴当f（x）取得最小值时，x=【题目点拨】向量间的位置关系：两向量垂直，则，两向量平行，则.19、（1）证明见解析；（2）当时，有最小值2；当时，有最大值.【解题分析】（1）根据单调性的定义，直接证明，即可得出结论；（2）根据（1）的结果，确定函数在给定区间的单调性，即可得出结果.【题目详解】（1）证明：在上任取，，且，，，，，，，即，故在上是增函数；（2）解：由（1）知：在上是增函数，当时，有最小值2；当时，有最大值.【题目点拨】本题主要考查证明函数单调性，以及由函数单调性求最值，属于常考题型.20、（1）；（2）当时，，此时；当时，，此时.【解题分析】（1）由题意得出，解此不等式即可得出的取值范围；（2）比较与的大小关系，分析二次函数在区间上的单调性，由此可得出函数的最大值及其对应的的值.【题目详解】（1），，由题意可得，即，解得，因此，该流水线技术投入的取值范围是；（2）二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线.①当时，即当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，；②当时，即当时，函数在区间上单调递减，所以，.综上所述，当时，；当时，【题目点拨】本题考查二次函数模型的应用，同时也考查了二次函数最值的求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.21、（1）；（2）；（3）第一四分位