安徽省长丰县朱巷中学2024届数学高一上期末综合测试试题含解析

安徽省长丰县朱巷中学2024届数学高一上期末综合测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知点P(cosα，sinα)，Q(cosβ，sinβ)，则的最大值是()A. B.2C.4 D.2．已知集合，区间，则=（）A. B.C. D.3．已知集合，且，则的值可能为（）A. B.C.0 D.14．指数函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.5．在中，，．若边上一点满足，则（）A. B.C. D.6．已知角的终边在射线上，则的值为（）A. B.C. D.7．设函数，且在上单调递增，则的大小关系为A B.C. D.不能确定8．已知集合，集合与的关系如图所示，则集合可能是（）A. B.C. D.9．已知空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为，则点的坐标为A. B.C. D.10．函数与的图象在上的交点有（）A.个 B.个C.个 D.个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知，则的值为__________12．计算：___________.13．已知函数，则函数的所有零点之和为________14．已知函数，则当______时，函数取到最小值且最小值为_______.15．函数的定义域是__________16．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧AB和弦AB所围成的图中阴影部分若弧田所在圆的半径为1，圆心角为，则此弧田的面积为____________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数，，（1）求函数的值域；（2）若对任意的，都有恒成立，求实数a的取值范围；（3）若对任意的，都存在四个不同的实数，，，，使得，其中，2，3，4，求实数a的取值范围18．已知函数（，且）（1）求的值及函数的定义域；（2）若函数在上的最大值与最小值之差为3，求实数的值19．设向量，且与不共线（1）求证：；（2）若向量与的模相等，求.20．某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y200x＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？21．已知函数（1）求的最小正周期；（2）当时，求的最小值以及取得最小值时的集合

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】,则,则的最大值是2,故选B.2、D【解题分析】利用交集的运算律求【题目详解】∵，，∴．故选：D.3、C【解题分析】化简集合得范围，结合判断四个选项即可【题目详解】集合，四个选项中，只有，故选：C【题目点拨】本题考查元素与集合的关系，属于基础题4、D【解题分析】由已知条件结合指数函数的性质列不等式求解即可【题目详解】因为指数函数在R上单调递减，所以，得，所以实数a的取值范围是，故选：D5、A【解题分析】根据向量的线性运算法则，结合题意，即可求解.【题目详解】由中，，且边上一点满足，如图所示，根据向量的线性运算法则，可得：.故选：A.6、A【解题分析】求三角函数值不妨作图说明，直截了当.【题目详解】依题意，作图如下：假设直线的倾斜角为，则角的终边为射线OA，在第四象限，，，，用同角关系：，得；∴；故选：A.7、B【解题分析】当时，，它在上单调递增，所以.又为偶函数，所以它在上单调递减，因，故，选B.点睛：题设中的函数为偶函数，故根据其在上为增函数判断出，从而得到另一侧的单调性和，故可以判断出.8、D【解题分析】由图可得，由选项即可判断.【题目详解】解：由图可知：，，由选项可知：，故选：D.9、C【解题分析】∵在空间直角坐标系中，点（x，y，z）关于z轴的对称点的坐标为：（﹣x，﹣y，z），∴点关于z轴的对称点的坐标为：故选：C10、B【解题分析】在上解出方程，得出方程解的个数即可.详解】当时，解方程，得，整理得，得或.解方程，解得、、、或.解方程，解得、、.因此，方程在上的解有个.故选B.【题目点拨】本题考查正切函数与正弦函数图象的交点个数，可以利用图形法解决，也转化为方程根的个数来处理，考查计算能力，属于中等题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】答案：12、7【解题分析】直接利用对数的运算法则以及指数幂的运算法则化简即可.【题目详解】.故答案为：7.13、0【解题分析】令，得到，在同一坐标系中作出函数的图象，利用数形结合法求解.【题目详解】因为函数，所以的对称中心是，令，得，在同一坐标系中作出函数的图象，如图所示：由图象知：两个函数图象有8个交点，即函数有8个零点由对称性可知：零点之和为0，故答案为：014、①.②.【解题分析】利用基本不等式可得答案.【题目详解】因为，所以，当且仅当即等号成立.故答案为：；.15、【解题分析】要使函数有意义，则,解得,函数的定义域是,故答案为.16、【解题分析】根据题意所求面积，再根据扇形和三角形面积公式，进行求解即可.【题目详解】易知为等腰三角形，腰长为，底角为，，所以，弧田的面积即图中阴影部分面积，根据扇形面积及三角形面积可得：所以.故答案为：.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）；（3）【解题分析】（1）利用基本函数的单调性即得；（2）由题可得恒成立，再利用基本不等式即求；（3）由题意可知对任意一个实数，方程有四个根，利用二次函数的图像及性质可得，即求.【小问1详解】∵函数，，所以函数在上单调递增，∴函数的值域为；【小问2详解】∵对任意的，都有恒成立，∴，即，即有，故有，∵，，∴，当且仅当，即取等号，∴，即，∴实数a的取值范围为；【小问3详解】∵函数的值域为，由题意可知对任意一个实数，方程有四个根，又，则必有，令，，故有，故有，可解得，∴实数a的取值范围为.18、（1）0；；（2）或.【解题分析】（1）代入计算得，由对数有意义列出不等式求解作答.（2）由a值分类讨论单调性，再列式计算作答.【小问1详解】函数，则，由解得：，所以的值是0，的定义域是.【小问2详解】当时，在上单调递减，，，于是得，即，解得，则，当时，在上单调递增，，，于是得，即，解得，则，所以实数的值为或.19、(1)证明见解析；(2)或.【解题分析】（1）先求出，再计算的值，发现，得。（2）先利用向量的坐标表示求出，的坐标，通过，列方程求出。【题目详解】解：（1）证明：由题意可得，，，.（2）向量与的模相等，，.又，，解得，，又或.【题目点拨】本题考查向量垂直，向量的模的坐标表示，注意计算不要出错即可。20、（1）400；（2）不能获利，至少需要补贴35000元.【解题分析】(1)每月每吨的平均处理成本为，利用基本不等式求解即得最低成本；(2)写出该单位每月的获利f(x)关于x的函数，整理并利用二次函数的单调性求出最值即可作答.【小问1详解】由题意可知：，每吨二氧化碳的平均处理成本为：，当且仅当，即时，等号成立，∴该单位每月处理量为400吨时，每吨平均处理成本最低；【小问2详解】该单位每月的获利：，因，函数在区间上单调