2024届北京市对外经贸大学附属中学高一数学第一学期期末检测试题含解析

2024届北京市对外经贸大学附属中学高一数学第一学期期末检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．是上的奇函数，满足，当时，，则（）A. B.C. D.2．已知直线，直线，则与之间的距离为（）A. B.C. D.3．方程的解所在的区间是（）A. B.C. D.4．已知且，则（）A.有最小值 B.有最大值C.有最小值 D.有最大值5．已知，若函数在上为减函数，且函数在上有最大值，则a的取值范围为（）A. B.C. D.6．函数的最小值为（）A. B.C.0 D.7．设函数，其中，，，都是非零常数，且满足，则（）A. B.C. D.8．已知函数在上的值域为R，则a的取值范围是A. B.C. D.9．命题“，”的否定是（）A， B.，C.， D.，10．针对“台独”分裂势力和外部势力勾结的情况，为捍卫国家主权和领土完整，维护中华民族整体利益和两岸同胞切身利益，解放军组织多种战机巡航.已知海面上的大气压强是，大气压强（单位：）和高度（单位：）之间的关系为（为自然对数的底数，是常数），根据实验知高空处的大气压强是，则当歼20战机巡航高度为，歼16D战机的巡航高度为时，歼20战机所受的大气压强是歼16D战机所受的大气压强的（）倍（精确度为0.01）.A.0.67 B.0.92C.1.09 D.1.26二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知幂函数的图象过点，则______.12．经过点P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（写出一般式）___13．已知函数，则______14．已知函数，若是的最大值，则实数t的取值范围是______15．函数的定义域是______16．已知是球上的点，,，,则球的表面积等于________________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=CC1，AC⊥BC，点D是AB的中点（1）求证：CD⊥平面A1ABB1；（2）求证：AC1∥平面CDB118．（1）化简：.（2）已知都是锐角，，求值.19．已知集合，函数的定义域为集合.（1）若，求实数的取值范围；（2）求满足的实数的取值范围.20．已知函数.（1）判断在区间上的单调性，并用定义证明；（2）判断的奇偶性，并求在区间上的值域.21．如图所示，某居民小区内建一块直角三角形草坪，直角边米，米，扇形花坛是草坪的一部分，其半径为20米，为了便于居民平时休闲散步，该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设两条小路和，考虑到小区整体规划，要求M、N在斜边上，O在弧上（点O异于D，E两点），，.（1）设，记，求的表达式，并求出此函数的定义域.（2）经核算，两条路每米铺设费用均为400元，如何设计的大小，使铺路的总费用最低？并求出最低总费用.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】根据函数的周期性与奇偶性可得，结合当时，，得到结果.【题目详解】∵∴的周期为4，∴，又是上奇函数，当时，，∴，故选：D【题目点拨】本题考查函数的周期性与奇偶性，解题的关键是根据函数的性质将未知解析式的区间上函数的求值问题转化为已知解析式的区间上来求，本题考查了转化化归的能力及代数计算的能力.2、D【解题分析】利用两平行线间的距离公式即可求解.【题目详解】直线的方程可化为，则与之间的距离故选：D3、B【解题分析】作差构造函数，利用零点存在定理进行求解.【题目详解】令，则，，因为，所以函数的零点所在的区间是，即方程的解所在的区间是.故选：B.4、A【解题分析】根据，变形为，再利用不等式的基本性质得到，进而得到，然后由，利用基本不等式求解.【题目详解】因为，所以，所以，所以，所以，所以，当且仅当时取等号，故选：A.【题目点拨】思路点睛：本题思路是利用分离常数法转化为，再由，利用不等式的性质构造，再利用基本不等式求解.5、A【解题分析】由复合函数在上的单调性可构造不等式求得，结合已知可知；当时，，若，可知无最大值；若，可得到，解不等式，与的范围结合可求得结果.【题目详解】在上为减函数，解得：当时，，此时当，时，在上单调递增无最大值，不合题意当，时，在上单调递减若在上有最大值，解得：，又故选【题目点拨】本题考查根据复合函数单调性求解参数范围、根据分段函数有最值求解参数范围的问题；关键是能够通过分类讨论的方式得到处于不同范围时在区间内的单调性，进而根据函数有最值构造不等式；易错点是忽略对数真数大于零的要求，造成范围求解错误.6、C【解题分析】利用对数函数单调性得出函数在时取得最小值【题目详解】，因为是增函数，因此当时，，，当时，，，而时，，所以时，故选：C7、C【解题分析】代入后根据诱导公式即可求出答案【题目详解】解：由题，∴，∴，故选：C【题目点拨】本题主要考查三角函数的诱导公式的应用，属于基础题8、A【解题分析】利用分段函数，通过一次函数以及指数函数判断求解即可【题目详解】解：函数在上的值域为R，当函数的值域不可能是R，可得，解得：故选A【题目点拨】本题考查分段函数的应用，函数的最值的求法，属于基础题.9、D【解题分析】利用全称量词命题的否定变换形式即可求解.【题目详解】的否定是，的否定是，故“，”的否定是“，”，故选：D10、C【解题分析】根据给定信息，求出，再列式求解作答.【题目详解】依题意，，即，则歼20战机所受的大气压强，歼16D战机所受的大气压强，，所以歼20战机所受的大气压强是歼16D战机所受的大气压强的倍.故选：C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】结合幂函数定义，采用待定系数法可求得解析式，代入可得结果.【题目详解】为幂函数，可设，，解得：，，.故答案为：.【题目点拨】本题考查幂函数解析式和函数值的求解问题，关键是能够明确幂函数的定义，采用待定系数法求解函数解析式，属于基础题.12、x+y-5=0或2x-3y=0【解题分析】当直线经过原点时，在两坐标轴上的截距相等，可得其方程为2x﹣3y＝0；当直线不经过原点时，可得它的斜率为﹣1，由此设出直线方程并代入P的坐标，可求出其方程为x+y﹣5＝0，最后加以综合即可得到答案【题目详解】当直线经过原点时，设方程为y＝kx，∵直线经过点P（3，2），∴2＝3k，解之得k，此时的直线方程为yx，即2x﹣3y＝0；当直线不经过原点时，设方程为x+y+c＝0，将点P（3，2）代入，得3+2+c＝0，解之得c＝﹣5，此时的直线方程为x+y﹣5＝0综上所述，满足条件的直线方程为：2x﹣3y＝0或x+y﹣5＝0故答案为：x+y-5=0或2x-3y=0【题目点拨】本题给出直线经过定点且在两个轴上的截距相等，求直线的方程．着重考查了直线的基本量与基本形式等知识，属于基础题13、【解题分析】由分段函数解析式先求，再求.【题目详解】由已知可得，故.故答案为：2.14、【解题分析】先求出时最大值为，再由是的最大值，解出t的范围.【题目详解】当时，，由对勾函数的性质可得：在时取得最大值；当时，，且是的最大值，所以，解得：.故答案为：15、【解题分析】，即定义域为点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定义域均为R.(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)16、【解题分析】由已知S,A,B,C是球O表面上的点，所以，又，，所以四面体的外接球半径等于以长宽高分别以SA,AB,BC三边长为长方体的外接球的半径，因为，,所以，所以球的表面积点睛：本题考查了球内接多面体，球的表面积公式，属于中档题．其中根据已知条件求球的直径（半径）是解答本题的关键三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）见解析【解题分析】（1）欲证CD⊥平面A1ABB1，可先证平面ABC⊥平面A1ABB1，CD⊥AB，面ABC∩面A1ABB1=AB，满足根据面面垂直的性质；（2）欲证AC1∥平面CDB1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AC1与平面CDB1内一直线平行，连接BC1，设BC1与B1C的交点为E，连接DE．根据中位线可知DE∥AC1，DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，满足定理所需条件【题目详解】（1）证明：∵ABC-A1B1C1是直三棱柱，∴平面ABC⊥平面A1ABB1∵AC=BC，点D是AB的中点，∴CD⊥AB，面ABC∩面A1ABB1=AB∴CD⊥平面A1ABB1（2）证明：连接BC1，设BC1与B1C的交点为E，连接DE∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE∥AC1．∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1【题目点拨】本题考查直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题18、（1）；（2）【解题分析】（1）通分，然后用辅助角公式计算即可；（2）先通过角范围求出，再通过，利用两角差的正弦公式计算即可.【题目详解】（1）；（2）因为都是锐角，则，又，，，19、(1)或；(2)或.【解题分析】（1）由知4满足函数的定义域，由此可得，解不等式可得所求范围．（2）由可得，再根据的大小关系求得集合A，然后根据转化为关于实数的不等式组，解不等式组可得所求范围试题解析：（1）因为，∴，解得或.∴实数的取值范围为（2）由于，当时，即时，，函数无意义，∴，由,得，解得，∴.①当，即时，，由得，解得；②当，即时，，，此时不满足；③当，即时，，由得，解得.又，故.综上或∴实数的取值范围是或.点睛：（1）解答本题时要注意分类讨论的运用，根据实数的不同的取值得到不同的集合；另外还应注意转化思想的运用，在本题中将集合间的包含关系转化为不等式组求解（2）对于题中的对数函数，要注意定义域的限制，特别是在本题中得到这一隐含条件是被容易忽视的问题20、（1）函数在区间上单调递增，证明见解析（2）函数为奇函数，在区间上的值域为【解题分析】（1）利用定义法证明函数单调性；（2）先得到定义域关于原点对称，结合得到函数为奇函数，利用第一问的单调性求出在区间上的值域.【小问1详解】在区间