2024届一轮复习人教A版 第2章函数第9节函数模型及其应用 学案

第九节函数模型及其应用考试要求：1．在实际情景中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律．2．结合现实情景中的具体问题，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义．一、教材概念·结论·性质重现1．常见的函数模型(1)正比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)．(2)反比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k(3)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)．(4)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)．(5)指数型函数模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)．(6)对数型函数模型：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1)．(7)幂函数模型：f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)．(8)“对勾”函数模型：y＝x＋ax1．不要忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果的合理性．2．对于函数f(x)＝x＋ax(a>0)，当x>0时，在x＝a处取得最小值2a；当x<0时，在x＝－a处取得最大值－2a2．指数、对数、幂函数模型性质比较函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化各有不同值的比较存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜ax“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；指数增长先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；对数增长先快后慢，其增长速度缓慢．二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．(1)幂函数增长比直线增长更快． (×)(2)不存在x0，使ax0<x0n<logax(3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>1)的增长速度． (√)(4)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻． (×)2．下列函数中，随x的增大，y的增长速度最快的是()A．y＝0.001ex B．y＝1000lnxC．y＝x1000 D．y＝1000·2xA解析：在对数函数、幂函数、指数函数中，指数函数的增长速度最快，排除B，C；指数函数中，底数越大，函数增长速度越快．故选A.3．已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是()A．f(x)＞g(x)＞h(x) B．g(x)＞f(x)＞h(x)C．g(x)＞h(x)＞f(x) D．f(x)＞h(x)＞g(x)B解析：当x∈(4，＋∞)时，易知增长速度由大到小依次为g(x)＞f(x)＞h(x)．故选B.4．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：x0.500.992.013.98y－0.990.010.982.00则对x，y最适合的拟合函数是()A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2xD解析：根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．故选D.5．用长度为24的材料围成一个矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为_________．3解析：设隔墙的长度为x(0<x<6)，矩形的面积为y，则y＝x·24-4x2＝2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18，∴当x考点1利用函数的图象刻画实际问题——基础性1．如图，一个高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一个排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是()B解析：函数h＝f(t)是关于t的减函数，故排除C，D；开始时，h随着时间的变化，变化缓慢，水排出超过一半时，h随着时间的变化，变化加快，故对应的图象为B.故选B.2．有一个盛水的容器，由悬在它上空的一条水管均匀地注水，最后把容器注满，在注水过程中时间t与水面高度y之间的关系如图所示．若图中PQ为一线段，则与之对应的容器的形状是()B解析：由函数图象可判断出该容器的形状不规则，又函数图象的变化先慢后快，所以容器下边粗，上边细．再由PQ为线段，知这一段是均匀变化的，所以容器上端必是直的一段，排除A，C，D.故选B.3．(多选题)(2022·北京东城区模拟)某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为y，观影人数记为x，y关于x的函数图象如图(1)所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图(2)、图(3)中的实线分别为调整后y关于x的函数图象．给出下列四种说法，其中正确的是()A．图(2)对应的方案是：提高票价，并提高固定成本B．图(2)对应的方案是：保持票价不变，并降低固定成本C．图(3)对应的方案是：提高票价，并保持固定成本不变D．图(3)对应的方案是：提高票价，并降低固定成本BC解析：由题图(1)可设y关于x的函数为y＝kx＋b，k＞0，b＜0，k为票价，当k＝0时，y＝b，则－b为固定成本．由题图(2)知，直线向上平移，k不变，即票价不变，b变大，则－b变小，固定成本减小，故A错误，B正确；由题图(3)知，直线与y轴的交点不变，直线斜率变大，即k变大，票价提高，b不变，即－b不变，固定成本不变，故C正确，D错误．4．某人根据经验绘制了从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y(单位：千克)随时间x(单位：天)变化的函数图象，如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．1909解析：前10天满足一次函数关系．设为y＝kx＋b.将点(1，10)和点(10，30)的坐标代入函数解析式得10=k+b，30=10k+b，解得k＝209，b＝709，所以y＝209x＋1．解决这类问题一般要根据题意构建函数模型，先建立函数模型，再结合模型选图象，并结合五个幂函数的图象与性质来求解．2．有些题目，如第3题，根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证答案是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．考点2已知函数模型解决实际问题——综合性汽车急刹车的停车距离与诸多因素有关，其中最为关键的两个因素是驾驶员的反应时间和汽车行驶的速度．设d表示停车距离，d1表示反应距离，d2表示制动距离，则d＝d1＋d2.如图是根据美国公路局公布的试验数据制作的停车距离示意图．序号速度(km/h)停车距离14017.025026.536035.747046.058052.769070.7710085.48110101.0由图中数据得到如表的表格，根据表格中的数据，建立停车距离与汽车速度的函数模型．可选择模型①：d＝av＋b；模型②：d＝av2＋bv；模型③：d＝av＋bv；模型④：d＝av2＋bv(其中v为汽车速度，a，A．d＝av＋bB．d＝av2＋bvC．d＝av＋bD．d＝av2＋bB解析：若选择模型①，则60a+b=35.7，100a+b=85.4，解得a故d＝1.2425v－38.85.当v＝120时，停车距离d的预测值为1.2425×120－38.85＝110.25.若选择模型②，则3600a+60b=35.7，10000a+100b=85.4，解得故d＝0.006475v2＋0.2065v.当v＝120时，停车距离d的预测值为0.006475×1202＋0.2065×120＝118.02.若选择模型③，则60a+b60=35.7，100a+故d＝0.9996875v－1456.875v当v＝120时，停车距离d的预测值为0.9996875×120－1456.875120若选择模型④，则3600a+b60=35.7，10000a+b100故d＝15.9951960v2＋379.2857143当v＝120时，停车距离d的预测值为15.9951960×1202＋379.2857143由实验数据可知当v＝120时，停车距离为118m．模型②的预测值更接近118m，故模型②拟合效果最好．解函数模型的实际应用题，首先应考虑该题考查的是何种函数，然后根据题意列出函数关系式(注意定义域)，并进行相关求解，最后结合实际意义作答．读题1．某市家庭煤气的使用量x(单位：m3)和煤气费f(x)(单位：元)满足关系f(x)＝C，月份用气量煤气费1月份4m34元2月份25m314元3月份35m319元若4月份该家庭使用了20m3的煤气，则其煤气费为()A．11.5元 B．11元C．10.5元 D．10元A解析：根据题意可知f(4)＝C＝4，f(25)＝C＋B(25－A)＝14，f(35)＝C＋B(35－A)＝19，解得A＝5，B＝12，C＝4，所以f(x)＝4，0<x≤52．某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，该企业考虑转型，下表显示的是某企业几年来年利润y(百万元)与年投资成本x(百万元)变化的一组数据：年份2018201920202021…投资成本x35917…年利润y1234…给出以下3个函数模型：①y＝kx＋b(k≠0)；②y＝abx(a≠0，b＞0且b≠1)；③y＝loga(x＋b)(a＞0且a≠1)．(1)选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系；(2)试判断该企业年利润超过6百万元时，该企业是否要考虑转型．解：(1)将(3，1)，(5，2)代入y＝kx＋b(k≠0)，得1=3k+b，2=5k+b所以y＝12x－1当x＝9时，y＝4，不符合题意．将(3，1)，(5，2)代入y＝abx(a≠0，b＞0且b≠1)，得1=ab3所以y＝24·(2)x＝2当x＝9时，y＝29将(3，1)，(5，2)代入y＝loga(x＋b)(a＞0且a≠1)，得1=loga所以y＝log2(x－1)．当x＝9时，y＝log28＝3；当x＝17时，y＝log216＝4.故可用③来描述x，y之间的关系．(2)令log2(x－1)＞6，则x＞65.因为年利润665考点3构造函数模型解决实际问题——应用性考向1二次函数、分段函数模型某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？解：(1)当x≤6时，y＝50x－115，令50x－115＞0，解得x＞2.3.因为x为整数，所以3≤x≤6，x∈Z.当x＞6时，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115.令－3x2＋68x－115＞0，有3x2－68x＋115＜0，结合x为整数得6＜x≤20，x∈Z.所以y＝f(x)＝50x(2)对于y＝50x－115，3≤x≤6，x∈Z，显然当x＝6时，ymax＝185.对于y＝－3x2＋68x－115＝－3x-3432＋8113，6＜x当x＝11时，ymax＝270.因为270＞185，所以当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．解决分段函数模型问题的注意点(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成．如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．(2)构造分段函数模型时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏．(3)分段函数的最值是各段的最大(最小)值中的最大(最小)者．考向2指数(对数)函数模型(1)某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入．若该高校2017年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)()A．2020年 B．2021年C．2022年 D．2023年B解析：若2018年是第一年，则第n年科研费为1300×1.12n，由1300×1.12n>2000，可得lg1.3＋nlg1.12>lg2，得n×0.05>0.19，n>3.8，n≥4，即4年后，到2021年科研经费超过2000万元．故选B.(2)基本再生数R0与世代间隔T是流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在病毒感染初始阶段，可以用指数模型I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在病毒感染初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)()A．1.2天 B．1.8天C．2.5天 D．3.5天B解析：因为R0＝3.28，T＝6，R0＝1＋rT，所以r＝3.28-16＝0.38，所以I(t)＝ert＝e设在病毒感染初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t1天，则e0.38t＋t1＝2e0.38t，所以e0.38t1＝2，所以0.38t1指数函数与对数函数模型的应用技巧(1)要先学会合理选择模型．指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题．1．某位股民买入某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了3次涨停(每次上涨10%)，又经历了3次跌停(每次下降10%)，则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A．略有盈利B．无法判断盈亏情况C．没有盈利也没有亏损D．略有亏损D解析：设买入股票时的价格为m(m>0)元．先经历了3次涨停(每次上涨10%)，又经历了3次跌停(每次下降10%)后的价格为m×(1＋10%)3×(1－10%)3＝0.993m<m，所以该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为略有亏损．故选D.2．某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是()A．10.5万元 B．11万元C．43万元 D．43.025万元C解析：设公司在A地销售该品牌的汽车x(0≤x≤16且x∈N)辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－110·x-21因为x∈[0，16]且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元．3．一个容器装有细沙acm3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地漏出，tmin后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．16解析：当t＝0时，y＝a；当t＝8时，y＝ae-8b＝12a.故e-8b＝1当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝ae－bt＝18a，e－bt＝18＝(e-8b)3＝e-24b，则课时质量评价(十四)A组全考点巩固练1．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x(分钟)的函数图象为()D解析：y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C.又因为小王在乙地休息10分钟，排除B.故选D.2．气象学院用32万元购置了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启动的第1天开始连续使用，第n天的维修保养费为4n＋46(n∈N*)元，使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器平均每天耗资最少)为止，则一共要使用()A．300天 B．400天C．600天 D．800天B解析：使用n天的平均耗资为320000+50+4n+46n2n＝320000n+2n+48元，当且仅当3．(2023·济南月考)某乡村一条污染河道的蓄水量为v立方米，每天的进出水量为k立方米．已知污染源以每天r个单位污染河水，某一时段t(单位：天)，河水污染质量指数m(t)(每立方米河水所含的污染物)满足m(t)＝rk+m0A．1个月 B．3个月C．半年 D．1年C解析：由题意可知，m(t)＝m0e-1则e-180t＝0.1，即－1则要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是184天，即半年．故选C.4．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8300－170p－p2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)()A．30元 B．60元C．28000元 D．23000元D解析：设毛利润为L(p)元，则由题意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11700p－166000，所以L′(p)＝－3p2－300p＋11700.令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．当p∈(0，30)时，L′(p)>0；当p∈(30，＋∞)时，L′(p)<0.故L(p)在p＝30时取得极大值，即最大值，且最大值为L(30)＝23000.5．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%.若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少138解析：设至少过滤n次才能达到市场要求，则2%×1-13n≤0.1%，即23n≤1206．我们经常听到这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离．但实际上，因为纸张本身有厚度，我们并不能将纸张无限次对折，当厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了，一张长边为w，厚度为x的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经过两次对折，长边变为12w，厚度变为4x，在理想情况下，对折次数n有下列关系：n≤23·log2wx8解析：由题知n≤23log24200＝23log因为log210＝1lg2≈10.3，0<log22120<1，所以n≤8＋23logB组新高考培优练7．(2022·聊城一模)“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强．某化工厂产生的废气中污染物的含量为1.2mg/cm3，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少20%.当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过0.2mg/cm3，若要使该工厂的废气达标排放，那么在排放前需要过滤的次数至少为()(参考数据：lg2≈0.3，lg3≈0.477)A．5 B．7C．8 D．9C解析：设该污染物排放前过滤的次数为n(n∈N*)，由题意1.2×0.8n≤0.2，即54两边取以10为底的对数可得lg54即nlg5×28≥lg2＋lg3，所以n因为lg2≈0.3，lg3≈0.477，所以lg2+lg所以n≥7.77，又n∈N*，所以nmin＝8，即该污染物排放前需要过滤的次数至少为8次．故选C.8．(多选题)(2022·济南月考)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们行走的路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，则下列结论正确的是()A．当x>1时，甲走在最前面B．当x>1时，乙走在最前面C．当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲CD解析：甲、乙、丙、丁的路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x