2022年安徽省合肥市中汇实验学校高三数学理下学期期末试卷含解析

2022年安徽省合肥市中汇实验学校高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知全集，集合，，则?U（A∪B）＝ （） A．（－∞，1）

B．（1，＋∞）

C．（－∞，1]

D．[1，＋∞）参考答案：B略2.（2013?黄埔区一模）在四边形ABCD中，=，且?=0，则四边形ABCD（）A．矩形B．菱形C．直角梯形D．等腰梯形参考答案：B略3.若向量,且,则实数=（

）A．－4

B．4

C．－6

D．6参考答案：A4.为了得到函数的图像,可以将函数的图像A、向右平移个单位

B、向左平移个单位C、向左平移个单位

D、向右平移个单位参考答案：D略5.要得到函数的图像，只需将函数的图象（

▲

）A．向右平移个单位 B．向左平移个单位

C．向右平移个单位 D．向左平移个单位参考答案：A【知识点】函数的图象与性质C4∵函数y=sinx=cos（x-），故只需将函数y=cosx的图象向右平移个单位，即可得到函数y=sinx的图象，故选：A．【思路点拨】根据函数y=sinx=cos（x-）以及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．6.在中，内角，，所对应的边分别为，，，若，且，则的值为．

．

．

．参考答案：．由正弦定理得，因为，所以．所以，又，所以．由余弦定理得，即，又，所以，求得．故选．【解题探究】本题考查正弦定理、余弦定理得应用．解题先由正弦定理求得角，再由余弦定理列出关于，的关系式，然后进行合理的变形，求出的值．7.若直线：与直线：平行，则的值为（

）A.1

B.1或2

C.-2

D.1或-2参考答案：A直线的方程为，若，则两直线不平行，所以，要使两直线平行，则有，由，解得或。当时，，所以不满足条件，所以，选A.8.已知函数，若方程有五个不同的实数根，则a的取值范围是（

）A.(0,+∞) B. C.(－∞,0) D.(0,1)参考答案：B【分析】由方程的解与函数图象的交点问题得：方程f（﹣x）＝﹣f（x）有五个不同的实数根等价于y＝f（x）的图象与y＝g（x）的图象有5个交点，作图可知，只需y＝ax与曲线y＝lnx在第一象限由两个交点即可，利用导数求切线方程得：设过原点的直线与y＝lnx切于点P（x0，y0），得lnx0＝1，即f′（e），即过原点的直线与y＝lnx相切的直线方程为yx，即所求a的取值范围为0，得解．【详解】设g（x）＝﹣f（﹣x），则y＝g（x）的图象与y＝f（x）的图象关于原点对称，方程f（﹣x）＝﹣f（x）有五个不同的实数根等价于函数y＝f（x）的图象与y＝g（x）的图象有5个交点，由图可知，只需y＝ax与曲线y＝lnx在第一象限有两个交点即可，设过原点的直线与y＝lnx切于点P（x0，y0），由f′（x），则y＝lnx的切线为y﹣lnx0（x﹣x0），又此直线过点（0，0），所以lnx0＝1，所以x0＝e，即f′（e），即过原点的直线与y＝lnx相切的直线方程为yx，即所求a的取值范围为0，故选：B．【点睛】本题考查了方程的解与函数图象的交点个数问题及利用导数求切线方程，属中档题．9.如图所示，两个不共线向量,的夹角为，分别为与的中点，点在直线上，且，则的最小值为

参考答案：10.

对于函数，若存在区间，使得，则称区间为函数的一个“稳定区间”．现有四个函数：

①；

②

③

④．其中存在“稳定区间”的函数的个数为(

)

A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知半径为l的球，若以其一条半径为正方体的一条棱作正方体，则此正方体内部的球面面积为________.参考答案：略12.（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C1、C2的极坐标方程分别为，，则曲线C1上的点与曲线C2上的点的最远距离为．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】先将曲线的极坐标方程方程化为普通方程，曲线C1的普通方程为x2+y2=2y，即x2+（y﹣1）2=1．表示以C（0，1）为圆心，半径为1的圆．曲线C2的普通方程为x+y+1=0，表示一条直线．利用直线和圆的位置关系求解．【解答】解：曲线C1的极坐标方程分别为即ρ=2sinθ，两边同乘以ρ，得ρ2=2ρsinθ，化为普通方程为x2+y2=2y，即x2+（y﹣1）2=1．表示以C（0，1）为圆心，半径为1的圆．C2的极坐标方程分别为，即ρsinθ+ρcosθ+1=0，化为普通方程为x+y+1=0，表示一条直线．如图，圆心到直线距离d=|CQ|=曲线C1上的点与曲线C2上的点的最远距离为|PQ|=d+r=故答案为：，13.已知正数满足，使得取最小值的实数对是

.参考答案：14.已知动点P()满足，则的最小值是

.参考答案：15.已知，，且，则的最小值是

．参考答案：116.设实数满足=4,则的最小值为

.参考答案：17.已知变量满足约束条件则的取值范围是_________.参考答案：，略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.

已知曲线的参数方程为（其中为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

(Ⅰ)分别写出曲线与曲线的普通方程；

(Ⅱ)若曲线与曲线交于两点，求线段的长.参考答案：（1）曲线，………………2分曲线：………………4分（2）联立，得，设，则于是.故线段的长为.………………10分19.（本小题满分12分）如图所示，在棱长为2的正方体中，、分别为、的中点．（Ⅰ）求证：//平面；（Ⅱ）求三棱锥的体积.参考答案：证明:

20.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，是半圆的直径，，垂足为，，与、分别交于点、．（1）证明：；（2）证明：．参考答案：（1）连接，，∵，，∴点是的中点，．∵是的直径，∴．∴．∴，∴，∴．（2）在与中，由（1）知，又，∴，于是．∴．在与中，由于，，∴，∴．21.（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，已知椭圆（）的离心率，直线（）过椭圆的右焦点，且交椭圆于，两点．求椭圆的标准方程；已知点，连结，过点作垂直于轴的直线，设直线与直线交于点，试证明：点的横坐标为．参考答案：22.如图，以坐标原点O为圆心的单位圆与x轴正半轴相交于点A，点B，P在单位圆上，且B（﹣，），∠AOB=α．（1）求的值；（2）若四边形OAQP是平行四边形，（i）当P在单位圆上运动时，求点O的轨迹方程；（ii）设∠POA=θ（0≤θ≤2π），点Q（m，n），且f（θ）=m+n．求关于θ的函数f（θ）的解析式，并求其单调增区间．参考答案：【考点】轨迹方程；三角函数的化简求值．【分析】（1）由三角函数定义得tanα=﹣2，再弦化切代入计算，即可求求的值；（2）（i）设PA中点为H，P（x1，y1），Q（x，y），则，，由此可求点O的轨迹方程