2022年河南省信阳市县长台关中学高三数学文下学期期末试卷含解析

2022年河南省信阳市县长台关中学高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，，则=

（

）A. B. C. D.参考答案：C略2.在区间上任意取两个实数，则函数在区间上有且仅有一个零点的概率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C3.已知函数的定义域为，部分对应值如下表，的导函数的图象如右图所示。当时，函数的零点的个数为（

）A.1

B.2

C.3

D.4参考答案：D4.计算机是将信息转换成二进制进行处理的.二进制即“缝二进一”，如表示二进制数，将它转化成十进制形式是，那么将二进制数转化成十进制形式是（

）A．13

B．10

C．15

D．18参考答案：B5.设命题p：函数y＝sin2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cosx的图象关于直线x＝对称．则下列判断正确的是

(

)A．p为真

B．﹁q为假

C．p∧q为假

D．p∨q为真参考答案：C6.椭圆的中心、右焦点、右顶点及右准线与轴的交点依次为、、、，则的最大值为（

）A

B

C

D

不确定参考答案：答案：C7.“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的

（

）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：答案：C8.直线过点且与直线垂直，则直线的方程为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D9.定义运算：已知函数，则函数的最小正周期是A． B． C． D．参考答案：B10.已知,其中m,n是实数，i是虚数单位，则m+ni=(A)1-2i

(B)1+2i

(C)2-i

(D)2+i参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的最小正周期为

.参考答案：答案：

12.(几何证明选做题)如图（3），是圆的直径，延长至，使，且，CD是圆的切线，切点为，连接，则________，________．参考答案：、略13.若直线与圆相交于P、Q两点，且（其中O为原点），则k的值为_______．参考答案：略14.若实数x，y满足条件则的最大值为__________．参考答案：5.【分析】作出可行域和目标函数图象，找到最值点，代入目标函数，求出最大值.【详解】作出可行域及如图，平移直线可知在点A处目标函数取到最大值，联立可得,代入可得.【点睛】本题主要考查线性规划，求解线性规划问题时，准确作出可行域是求解关键，侧重考查直观想象的核心素养.15.在总体中抽取了一个样本，为了便于统计，将样本中的每个数据除以100后进行分析，得出新样本方差为3，则估计总体的标准差为

．参考答案：略16.若椭圆经过点，且椭圆的长轴长是焦距的两倍，则▲．参考答案：2【知识点】椭圆及其几何性质H5椭圆经过点得b=,椭圆的长轴长是焦距的两倍a=2c,,b=联立得a=2.【思路点拨】a=2c,,b=联立得a=2.17.设抛物线的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若，则圆的方程为

.参考答案：设圆心坐标为C（－1，m），则A（0，m），焦点F（1,0）=(－1，0)，=(1，－m)，cos∠CAF=，m=，由于圆C与y轴的正半轴相切，则取m=，所求圆的圆心为（－1，），半径为1，所求圆的方程为(x+1)2+(y－)2=1

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）已知函数．（1）讨论函数在定义域内的极值点的个数；（2）若函数在处取得极值，对,恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，求证：．

参考答案：解：（Ⅰ），当时，在上恒成立，函数

在单调递减，∴在上没有极值点；当时，得，得，∴在上递减，在上递增，即在处有极小值．∴当时在上没有极值点，当时，在上有一个极值点．·························································4分（注：分类讨论少一个扣一分。）（Ⅱ）∵函数在处取得极值，∴，………5分∴，

……………………6分令，可得在上递减，在上递增，………………8分∴，即．······························································9分（Ⅲ）证明：，······································10分令，则只要证明在上单调递增，又∵，显然函数在上单调递增．································12分∴，即，∴在上单调递增，即，∴当时，有．

14分略19.（12分）设椭圆E：（a＞b＞0）的左、右焦点F1、F2，其离心率e=，且点F2到直线的距离为．（1）求椭圆E的方程；（2）设点P（x0，y0）是椭圆E上的一点（x0≥1），过点P作圆（x+1）2+y2=1的两条切线，切线与y轴交于A、B两点，求|AB|的取值范围．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）设F1（﹣c，0），F2（c，0），依题意有，．可得c=1，a=2，b=，（2）如图设圆的切线PM的方程为y=k（x﹣x0）+y0，由圆心（﹣1，0）到PM的距离为1，?|y0﹣k（x0+1）|=?（x02+2x0）k2﹣2y0（x0+1）k+y02﹣1=0，A（0，y0﹣kx0）．设圆的切线PN的方程为y=k1（x﹣x0）+y0，同理可得B（0，y0﹣k1x0），依题意k1，k是方程（x02+2x0）k2﹣2y0（x0+1）k+y02﹣1=0的两个实根，|AB|2=[x0（k﹣k1）]2==．由，得|AB|2=1+=1+．【解答】解：（1）设F1（﹣c，0），F2（c，0），依题意有，．又∵a2=b2+c2，∴c=1，a=2，b=，∴椭圆E的方程为：．（2）如图设圆的切线PM的方程为y=k（x﹣x0）+y0由圆心（﹣1，0）到PM的距离为1，?|y0﹣k（x0+1）|=?（x02+2x0）k2﹣2y0（x0+1）k+y02﹣1=0令y=k（x﹣x0）+y0中x=0，y=y0﹣kx0∴A（0，y0﹣kx0）．设圆的切线PN的方程为y=k1（x﹣x0）+y0．同理可得B（0，y0﹣k1x0）依题意k1，k是方程（x02+2x0）k2﹣2y0（x0+1）k+y02﹣1=0的两个实根，k1+k=，k1k=|AB|2=[x0（k﹣k1）]2==．∵，∴|AB|2=1+=1+∵1≤x0≤2，∴|AB|2=1+．∴|AB|的取值范围为[]【点评】本题考查了椭圆的方程，椭圆与直线的位置关系，圆的切线问题，属于难题20.已知从A地到B地共有两条路径L1和L2，据统计，经过两条路径所用的时间互不影响，且经过L1与L2所用时间落在各时间段内的频率分布直方图分别如图（1）和图（2）．现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于从A地到B地．（1）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到B地，甲和乙应如何选择各自的路径？（2）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到B地的人数，针对（1）的选择方案，求X的分布列和数学期望．参考答案：【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；B8：频率分布直方图；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）用Ai表示事件“甲选择路径Li时，40分钟内赶到B地”，Bi表示事件“乙选择路径Li时，50分钟内赶到B地”，i=1，2．由频率分布直方图及频率估计概率求出P（A1）＞P（A2），从而甲应选择L1，P（B2）＞P（B1），从而乙应选择L2．（2）用M，N分别表示针对（1）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到B地，P（M）=0.6，P（N）=0.9，M，N相互独立，由题意X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．【解答】解：（1）用Ai表示事件“甲选择路径Li时，40分钟内赶到B地”，Bi表示事件“乙选择路径Li时，50分钟内赶到B地”，i=1，2．…由频率分布直方图及频率估计相应的概率可得：P（A1）=（0.01+0.02+0.03）×10=0.6，P（A2）=（0.01+0.04）×10=0.5．∵P（A1）＞P（A2），故甲应选择L1．…P（B1）=（0.01+0.02+0.03+0.02）×10=0.8，P（B2）=（0.01+0.04+0.04）×10=0.9．∵P（B2）＞P（B1），故乙应选择L2．…（2）用M，N分别表示针对（1）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到B地，由（1）知P（M）=0.6，P（N）=0.9，又由题意知，M，N相互独立，…∴P（X=0）=P（）=P（）P（）=0.4×0.1=0.04；P（X=1）=P（N+M）=P（）P（N）+P（M）P（）=0.4×0.9+0.6×0.1=0.42；P（X=2）=P（MN）=P（M）P（N）=0.6×0.9=0.54．…∴X的分布列为X012P0.040.420.54∴E（X）=0×0.04+1×0.42+2×0.54=1.5．…21.已知向量设函数（I）求的最小正周期与单调递减区间；（II）在△ABC中，分别是角A、B、C的对边，若△ABC的面积为，求的值.参考答案：解：（I）

…………4分

…………5分

…………7分

（II）由得

…………10分