2022年广东省深圳市红岭中学高二数学文测试题含解析

2022年广东省深圳市红岭中学高二数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若有一组数据的总偏差平方和为120，相关指数为0.6，则回归平方和为（

）A．60

B．72

C．48

D．120参考答案：B2.已知点、、、，则向量在方向上的投影为（）A．B．C．D．参考答案：A略3.数列满足，，记数列前n项的和为Sn，若对任意的恒成立，则正整数的最小值为

（

）

A．10

B．9

C．8

D．7参考答案：A略4.从1，2，3，4这个数中，不放回地任意取两个数，两个数都是偶数的概率是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：A5.两个等差数列和,其前项和分别为,且则等于A.

B.

C.

D.参考答案：D6.一货轮航行到处，测得灯塔在货轮的北偏东，与灯塔相距海里，随后货轮按北偏西的方向航行分钟后，又得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（

）．A．海里/小时B．

海里/小时C．

海里/小时D．

海里/小时参考答案：B

解析：设货轮按北偏西的方向航行分钟后处，，

得，速度为

海里/小时．7.双曲线的一个焦点是（0，3），那么的值是（

）

A.－1

B.1

C.

D.参考答案：A略8.对于函数，下列说法错误的是（

）A.函数的极值不能在区间端点处取得B.若为的导函数，则是在某一区间存在极值的充分条件C.极小值不一定小于极大值D.设函数在区间内有极值，那么在区间内不单调.参考答案：B【分析】利用导数知识对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】A.函数的极值不能在区间端点处取得，故该选项是正确的；B.若为的导函数，则是在某一区间存在极值的非充分条件，如函数，但是函数是R上的增函数，所以x=0并不是函数的极值点.故该选项是错误的；C.极小值不一定小于极大值，故该选项是正确的；D.设函数在区间内有极值，那么在区间内不单调.故该选项是正确的.故选：B【点睛】本题主要考查极值的概念和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.9.已知一几何体的正视图与侧视图均为边长为2的正三角形，俯视图是半径为1的圆，则其表面积为（

）

A.

B．

C．

D．

参考答案：B10.实验中学采取分层抽样的方法从应届高一学生中按照性别抽出20名学生作为样本，其选报文科理科的情况如下表所示

男女文科25理科103

根据表中数据，利用公式计算的值，若断定实验中学的高一学生选报文理科与性别有关，那么这种判断出错的可能性为（

）(A)0.1

(B)0.05

(C)0.01

(D)0.001参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.A、B、C、D、E五种不同的商品要在货架上排成一排,其中A、B两种商品必须排在一起,而C、D两种商品不能排在一起,则不同的排法共有___________种.参考答案：2412.已知平行四边形ABCD的四个顶点均在双曲线上，O为坐标原点，E，F为线段AB，AD的中点且OE，OF的斜率之积为3，则双曲线C的离心率为

.参考答案：2由双曲线的对称性知O是平行四边形ABCD对角线的交点，∴OE//AD，OF//AB，∴，设，则，设，则，∴，，故答案为2．

13.已知直线：ax+by=1（其中a，b是实数）与圆：x2+y2=1（O是坐标原点）相交于A，B两点，且△AOB是直角三角形，点P（a，b）是以点M（0，1）为圆心的圆M上的任意一点，则圆M的面积最小值为．参考答案：（3﹣2）π【考点】直线与圆相交的性质．【分析】根据圆的方程找出圆心坐标和半径，由|OA|=|OB|根据题意可知△AOB是等腰直角三角形，根据勾股定理求出|AB|的长度，根据等腰直角三角形的性质可得圆心到直线的距离等于|AB|的一半，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离，两者相等即可得到a与b的轨迹方程为一个椭圆，圆M的面积最小时，所求半径为椭圆a2+=1上点P（a，b）到焦点（0，1）的距离最小值，即可得出结论．【解答】解：由圆x2+y2=1，所以圆心（0，0），半径为1所以|OA|=|OB|=1，则△AOB是等腰直角三角形，得到|AB|=则圆心（0，0）到直线ax+by=1的距离为，所以2a2+b2=2，即a2+=1．因此，圆M的面积最小时，所求半径为椭圆a2+=1上点P（a，b）到焦点（0，1）的距离最小值，由椭圆的性质，可知最小值为﹣1．所以圆M的面积最小值为π（﹣1）2=（3﹣2）π．故答案为：（3﹣2）π．14.椭圆x2＋4y2＝1的离心率为________．参考答案：a>1略15.已知向量，，，若，则

．参考答案：16.从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为________(用数字作答)

参考答案：1817.某停车场内有序号为1,2,3,4,5的五个车位顺次排成一排，现在四辆车需要停放，若两车停放的位置必须相邻，则停放方式种数为

▲

．（用数字作答）参考答案：48三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个长轴顶点为A（2，0），离心率为，直线y=k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点M，N，（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当△AMN的面积为时，求k的值．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）根据椭圆一个顶点为A（2，0），离心率为，可建立方程组，从而可求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线y=k（x﹣1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0，从而可求|MN|，A（2，0）到直线y=k（x﹣1）的距离，利用△AMN的面积为，可求k的值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆一个顶点为A（2，0），离心率为，∴∴b=∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）直线y=k（x﹣1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，∴|MN|==∵A（2，0）到直线y=k（x﹣1）的距离为∴△AMN的面积S=∵△AMN的面积为，∴∴k=±1．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，解题的关键是正确求出|MN|．19.为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所科研单位A、B、C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人）：科研单位相关人数抽取人数A16B123C8（1）确定与的值；（2）若从科研单位A、C抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自科研单位A的概率.

参考答案：略20.如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE．（Ⅱ）求平面FBE与平面DBE夹角θ的余弦值．（Ⅲ）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得平面，并证明你的结论．参考答案：（Ⅰ）证明：∵平面，平面，∴

…………1分

又∵是正方形，∴，…………2分∵，∴平面．…………3分（Ⅱ）∵，，两两垂直，所以建立如图空间直角坐标系，∵，得．…………4分则，，，，，∴，，…………6分设平面的法向量为，则，即，令，则．因为平面，所以为平面的法向量，∴，所以．因为二面角为锐角，故平面FBE与平面DBE夹角θ的余弦值为．…………9分（Ⅲ）依题意得，设，则，∵平面，∴，即，解得：，∴点的坐标为，此时，∴点是线段靠近点的三等分点．……12分21.已知函数().(Ⅰ)若在处的切线过点(2,2)，求a的值；(Ⅱ)若恰有两个极值点，().(ⅰ)求a的取值范围；(ⅱ)求证：.参考答案：(Ⅰ)(Ⅱ)(ⅰ)(ⅱ)见证明【分析】(Ⅰ)对函数进行求导，然后求出在处的切线的斜率，求出切线方程，把点代入切线方程中，求出的值；(Ⅱ)(ⅰ)，，，分类讨论函数的单调性；当时，可以判断函数没有极值，不符合题意；当时，可以证明出函数有两个极值点，，故可以求出的取值范围；由(ⅰ)知在上单调递减，，且，由得，，又，.法一：先证明（）成立，应用这个不等式，利用放缩法可以证明出成立；法二：令()，求导，利用单调性也可以证明出成立.【详解】解:(Ⅰ)，又在处的切线方程为，即切线过点，(Ⅱ)(ⅰ)，，，当时，，在上单调递增，无极值，不合题意，舍去当时，令，得，()，或;，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，恰有个极值点，，符合题意，故的取值范围是(ⅱ)由(ⅰ)知在上单调递减，，且，由得，，又，法一:下面证明（），令（），，在上单调递增，，即（），，综上法二:令()，则，在上单调递增，，即，综上【点睛】本题考查了曲线切线方程的求法，考查了函数有极值时求参数取值范围问题，考查了利用导数研究函数的性质.22.（本小题满分14分）已知数列的前项和，函数对任意的都有，数列满足.（1）分别求数列、的通项公式；（2）若数列满足，是数列的前项和，是否存在正实数，使不等式对于一切的恒成立？若存在请指出的取值范围，并证明；若不存在请说明理由．参考答案：（1）

……………1分

时满足上式，故

……………2分∵=1∴

……………3分∵

①∴

②∴①+②，得

……………5分（2）∵，∴

………………6分

∴，

①，

②①－②得

……