第二节-对坐标的曲线积分

第二节一、对坐标的曲线积分的概念与性质二、对坐标的曲线积分的计算法三、两类曲线积分之间的联系对坐标的曲线积分

第十一章一、对坐标的曲线积分的概念与性质1.

引例:

变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在xOy

平面内从点A沿光滑曲线弧L

移动到点B,求移“分割”“代替”“求和”“取极限”变力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.1)“分割”.2)“代替”把L分成n个小弧段,有向小弧段近似代替,则有所做的功为F

沿则用有向线段上任取一点在3)“求近似和”4)“取极限”(其中

为n

个小弧段的最大长度)2.定义.或第二类曲线积分.L

称为积分弧段或积分曲线.称为被积函数,注第二类曲线积分

的向量形式存在条件：推广3.性质即第二型曲线积分与曲线的方向有关.

定积分是第二类曲线积分的特例.说明:

对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向

!二、对坐标的曲线积分的计算法定理:在有向光滑弧L上有定义且L的参数方程为则曲线积分连续,证明:

下面先证存在,且有对应参数设分点根据定义由于对应参数因为L为光滑弧,同理可证特别是,如果L

的方程为则对空间光滑曲线弧

:类似有定理例1.计算其中L为沿抛物线解法1

取x

为参数,则解法2取y

为参数,则从点的一段.例2.计算其中L为(1)半径为a

圆心在原点的上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点A(a,0)沿x轴到点

B(–a,0).解:(1)取L的参数方程为(2)取L的方程为则则注：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同.但有些情况积分结果也有可能相同.例3.计算其中L为(1)抛物线(2)抛物线(3)有向折线

解:

(1)原式(2)原式(3)原式例4.设在力场作用下,质点由沿

移动到解:(1)(2)

的参数方程为试求力场对质点所作的功.其中

为例5.求其中从

z

轴正向看为顺时针方向.解:取

的参数方程三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧L

以弧长为参数

的参数方程为已知L切向量的方向余弦为则两类曲线积分有如下联系类似地,在空间曲线

上的两类曲线积分的联系是令记A

在t

上的投影为二者夹角为

例6.设曲线段L

的长度为s,证明续,证:设说明:

上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.在L上连例7.将积分化为对弧长的积分,解：其中L沿上半圆周原点O

的距离成正比,思考与练习1.设一个质点在处受恒指向原点,沿椭圆此质点由点沿逆时针移动到提示:(解见P196例5)F

的大小与M到原F

的方向力F的作用,求力F

所作的功.思考:

若题中F的方向改为与OM垂直且与

y

轴夹锐角,则1.定义2.性质(1)L可分成k

条有向光滑曲线弧(2)L－

表示L的反向弧对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!内容小结3.计算•对有向光滑弧•

对有向光滑弧4.两类曲线积分的联系•

对空间有向光滑弧

:2.

已知为折线ABCOA(如图),计算提示:作业(5-18)

P2033(2),(4),(6),(7);

4(3)(4);5;7(2);8第三节备用题

1.解:线移动到向坐标原点,其大小与作用点到xOy

面的距离成反比.沿直求F所作的功W.已知F

的方向指一质点在力场F

作用下由点2