经济学最优问题的建模与分析

经济学最优问题的建模与分析

1以最优化理论为基石的经济分析经济研究的对象是社会通过某种组织形式开展活动，最大限度地发挥其经济利益。将这一问题归为数学问题,如同数学里的极值原理。从经济学与数学的交叉学科发展看,经济学不断地推出了一系列可归结为数学问题的最优化问题,如最佳资源配置、最大经济效率等。随着经济学和数学理论的不断交叉运用,逐渐形成了以最优化理论为基石的经济分析,这对决策者具有非常重要的意义。单从经济学看,最优化的实现过程,相当于当偏离“顶峰”位置时,所进行的经济活动都会使经济效益下降,结合微积分原理,这就满足了费马定理的条件,即“顶峰”位置为极值点,在其上的导数为零。而经济学最优化一般在既定条件下实现,其基本应用工具是微积分,通过求目标函数的一阶、二阶导数及拉格朗日函数的中值等来求解最优解。经济决策中,对经济活动不可能全盘肯定或否定,只是多一点或少一点,这就要通过权衡各种活动进行综合,即以多一点或少一点产生的经济效益来权衡,也即边际利益,通过对边际利益不断调整,使其利益达到最大,亦即通过调节各种相关因素的组合来实现最优。如生产企业如何通过搭配产品的数量来使总成本最小,同时获得的利润最大。本文首先引入微积分基本定理,再对经济学中的一些概念“数学化”,接着以此为基础对“成本最小化”及“利润最大化”两类基本经济问题进行建模分析,并以此为基础解决一类综合性的“贮存最优化”问题。2数学与经济的概念2.1基本数学概论2.1.1x0存在时,2设函数f(x)在x0的邻域u(x0)有定义,且f′(x0)存在,而若∀x∈u(x0),有f(x0)≤f(x)(或f(x)≤f(x0)),则f′(x0)=0,这时称x0为f(x)的稳定点(或称驻点、临界点)。2.1.2第一补充空间条件设f′(x0)存在,且x0是极值点,则有f′(x0)=0,同时称x0为稳定点。2.1.3x0以下极值设f″(x0)存在且满足f′(x0)=0和f″(x0)≠0,则当f″(x0)>0时,x0是极小值点;当f″(x0)<0时,x0是极大值点。对于给定区间[a,b]而言,如果函数f(x)是在区间[a,b]内部x0处取得极值,那么x0必为极值点。由此可推得,要寻求函数f(x)的极值解,就可以从函数的极值点、不可导点、区间端点上找到。2.2经济函数的设定在经济分析中,通常要分析经济函数中某一变量x改变时另一变量y的相对变化,在经济学中体现为边际分析,边际分析就是研究两个变量间的关系。而研究经济函数中的两个变量间关系往往要涉及到“边际”、“平均”等经济学概念,体现在数学中,“平均”即是在某区间内y随x的平均变化率;而“边际”即是当Δx→0,ΔyΔxΔx→0,ΔyΔx的变化率,表示当某一给定值发生较小改动时,y的瞬时变化。如果此经济函数可导,就有ΔyΔx=y′ΔyΔx=y′。用此方法可确定企业获利时产量的最大值,即只要满足边际成本与边际收入相等。而微积分在经济学的应用远不止如此,本文就微积分在经济学最优化问题中的应用进行探讨。3经济的优化3.1边际成本与平均成本gx的关系图1中f(x)表示边际成本,g(x)表示平均成本,x表示产量,y表示单位成本。由图1知,平均成本含有一部分随着自变量产量x的增大而呈现递减趋势的固定成本,而图1中的y变量是以全部产品的平均成本进行计算的,因此,相对边际成本曲线f(x),g(x)这条曲线从递减转为递增时较晚,如图1中,边际曲线f(x)在x′0处开始递增,平均成本曲线在x0处开始递增,且x′0<x0。从经济学角度来看,当f(x)=g(x)时,即边际成本等于平均成本时,平均成本最低,从图1来看,f(x)相交于g(x)的最小值点处,在经济学称此点x0为“经济有效点”或是“经济能量点”。实际上,这一点对于寻求经济效益的企业决策是非常重要的,这样就可以使得企业的生产资源得以最大化地利用,同时还可以获取利润。事实上,边际成本f(x)与平均成本g(x)的变动具有某种内在联系。当f(x)<g(x)时,g(x)将持续下降;而当f(x)>g(x)时,g(x)将持续增大。这体现在微积分中,结合费马定理可知f(x)与g(x)的交点F的横坐标即是平均成本的极值点x0,有g′(x0)=0。当f(x)从开始到F点之间,平均成本仍是处于持续不断的递减的,而边际成本曲线f(x)从F点开始向右运动时,g(x)转而呈现持续上升。所以边际成本只可能与平均成本相关,通过上面的分析,就可以通过数学微积分知识建立成本最小化模型来解释边际成本与平均成本的关系。设总成本为G(x),则建立模型f(x)=dG(x)dx,g(x)=G(x)xf(x)=dG(x)dx,g(x)=G(x)x。(1)成本最小化约束条件:f(x)=g(x),(2)g′(x)=0,且g″(x)>0。(3)目标函数:ming(x)。求解过程:(1)对平均成本g(x)求导,则有dg(x)dx=d(G(x)x)dx=1x[dG(x)dx-G(x)x]。由上式联合(1)(2)可得dg(x)dx=1x(f(x)-g(x))。(2)f(x)=g(x),即边际成本等于平均成本时,平均成本最低,推理过程如下。当1x(f(x)-g(x))=dg(x)dx<0时,则有f(x)<g(x),即表示边际成本小于平均成本,且平均成本曲线在f(x)<g(x)时持续下滑;当1x(f(x)-g(x))=dg(x)dx>0时,则有f(x)>g(x),即表示边际成本大于平均成本,且平均成本曲线在f(x)>g(x)时持续上升。由此可知,只有当f(x)=g(x)时,令x0是满足f(x)=g(x)的点,则有dg(x0)dx0=0,表示平均成本曲线在x0处取得极小值,再根据实际意义,可知此时g(x0)为最小值。所以,只有当边际成本与平均成本相等时,平均成本能达到最小值。例1总成本G(x)=100+3x+0.01x2,验算平均成本何时为最小?边际成本f(x)=G′(x)=3+0.02x,平均成本g(x)=100+3x+0.01x2x,联立f(x)=g(x),解得x=100,此时f(100)=g(100)=5,同时g′(100)=0,故g(x)在x=100处取得最小成本。3.2以利润为0的总利润模型在实际生活当中,当产量过多时,价格就会非常低,这不可能获取最大利润;反过来当价格过高时,就会导致销售量非常少,这也不可能获取最大利润。总收益和总成本间的关系见图2。由图2知,当总收益曲线达到最大值时,总利润并不是最大。由经济学中边际报酬递减规律可看出,随着产量的不断增加,边际成本将从递减转为递增,其总成本将呈现出急速递增的趋势。因而只有当边际成本与边际总收益相等时,即从图2中出现总成本和总收益曲线的斜率相同时,总收益与总成本之差将达到最大值,即利润最大化,这样才能使得生产达到利润最优化。转化为微积分学即可以知道,当边际收益等于边际成本时,边际利润为0,此时企业才是利润最大化。现通过微积分基本知识来解释最优化原理,并以此为基础建立利润最优化模型。假设x为产量,G(x)为总成本,F(x)为总收益,M(x)为总利润,同时有M(x)=F(x)-G(x)。所求的是M(x)为最大化,现对M(x)求导并令其导数为0,可得到dΜ(x)dx=d(F(x)-G(x))dx=0,即dF(x)dx=dG(x)dx,这表明只有当边际成本与边际收益相时,总利润有极值,这是利润最优化的必要条件。由微积分第二充分条件定理可以知道,要使极值存在,总利润的一阶导数必定为0,而要使相应的极大值存在,就必须要求总利润的二阶导数在相应的点上为负数,即同时满足dΜ(x)dx=0和d2Μ(x)dx2<0。所以有d2Μ(x)dx2=d2F(x)dx2-d2G(x)dx2<0,即d2F(x)dx2<d2G(x)dx2。这表明边际收益等于边际成本时,其相应的边际收益斜率小于边际成本斜率,此时总利润达到极大值。现以最优化原理建立利润最优化模型并以实际例子进行论证。假设x为产量,G(x)为总成本,F(x)为总收益,M(x)为总利润,同时有M(x)=F(x)-G(x)。目标函数:maxM(x)=max[F(x)-G(x)]。约束条件:dF(x)dx=dG(x)dx,d2F(x)dx2<d2G(x)dx2。例2总成本函数G(x)=x33-3x2+15x+250,F(x)=50x-2x2,求max[F(x)-G(x)]。dG(x)dx=6x2-6x+15,dF(x)dx=5-4x,并令6x2-6x+15=5x-4x,解得x=-5或x=7。因为产量必为正数,因此只讨论x=7时的利润情况。d2F(x)dx2=-4,d2G(x)dx2=12x-6,明显地当x=7时,-4<12×7-6,即d2F(x)dx2<d2G(x)dx2,Μ(x)在x=7处取到了最大值,根据现实意义,此时M(x)为最大化利润。4不允许缺货类存贮存贮最优化问题是一种常见的经济活动。如企业为了生产就必须定期采购原料,同时要对采购的原料进行存贮;再如企业在商品进货和出货的过程间也可归为存贮问题。对这类问题,必须要全面考虑,定量化地选择最佳方案,才能获取最佳效益。当存贮量过多时,会占用企业的大量资金,花费在存贮上的资金增加,同时原料、商品等因长时间存贮而致使质量下降,影响使用,造成较大的损失。但存贮过少,就会增加采购和进货的次数,增加采购和进货时的劳务费用,同时还会浪费人力。因此要实现存贮最优化,就必须通过确定采购量及采购周期,使花在采购和存贮上的费用之和达到最小。此最优化问题与采购价格不相关,因而在此只考虑采购时所花费的劳务费和存贮费,且本文限于篇幅只对不允许缺货类存贮问题进行详细考虑。假定:企业在单位时间内需要r单位货物;采购周期为T,当企业没有存贮量时,采购的货物可瞬间到达;每次采购所花费的劳务费用为C1,单位时间内单位货物的存贮费为C2。在上述假定条件下,可以看出存贮总花费是关于采购周期的函数。而由以上条件可以得出,Q=rT,其中Q为每T时间内的订货。从订货开始记录时刻t的货物贮存数量为q(t),即有q(t)=Q-rt,其中t∈[0,T],每一过采购周期,即又重复上述存贮活动。其存贮变化规律如图3所示。再可计算出一周期的存贮费用为∫Τ0C2(Q-rt)dt=12C2rΤ2,则在采购周期T内可以计算出总费用C的表达式为:C=C1+12C2rΤ2。记C(T)为每单位时间的平均费用,建立目标函数minC(Τ)=minCΤ,而C(Τ)=C1Τ+12C2rΤ,由微积分知识可得dC(Τ)dΤ=-C1Τ2+12C2r=0,取正值解Τ=√2C1rC2。同时d2C(Τ)dΤ2=12C1Τ3>0。因此,C(T)在Τ=√2C1rC2时取得极小值,根据现实意义,此时C(T)取得最小值,即总费用最小,且货物采购量Q=rΤ=√2C1rC2,其最小平均费用为C(Τ)=√2C1C2r。例3某学校食堂消耗大米1t/d,存放大米的费用为每天2元/t,每次采购大米所需要的劳务费用为100元,现如何确定采购时间间隔及采购量以使总花费最小?解析这类存贮问题明显是不允许缺货类的,而且其条件与前面所讨论的假定条件相符合,即可以使用上述不允许缺货的存贮最优化模型。参数值:C1=100元,C2=2元,r=1t,则可计算得Τ=√2×1002×1=10d‚Q=rΤ=1