初中数学“最值问题”常见求法 论文

2022年安徽省中小学教育教学论文评选初中数学“最值问题”常见求法求法，如:利用配方法、利用点到直线的距离、不等式的性质、构建特殊的模型等。关键词：最值问题，函数，几何。引言：在现实生活中,我们常常需要通过研究各种各样的最值问题来了解生活的实际。具体求法。从而帮助学生掌握基本的最值问题解题的思路。正文在整个初中的数学学习过程中我们常会遇到求最值的问题.什么是“最值问中三年基本每学年都会有最值类的相关学习，一般初一阶段我们常用不等式解以下函数和几何两个方面进行分析。一、函数中的最值问题求法1.利用函数的增减性图形,从而求出函数最值。初中阶段主要函数有一次函数y=kx+b，二次函数y=ax2+bx+c，反比例12022年安徽省中小学教育教学论文评选函数y=

k这三种，其具体的增减性如下：x(1)一次函数y=kx+b（k≠0）的增减性与一次项系数k的取值有关。当k>0时，函数在自变量的取值范围内是递增的；当k<0时，函数在自变量的取值范围内是递减的。例y=2x+1的自变量的取值范围为1≤x≤3解：因为函数中一次项系数为2>0,函数y=2x+1在1≤x≤3中是递增的，y随x的增大而增大。所以当x=3时，函数有最大值为7。y=ax2+bx+c（a≠0）的增减性与开口方向和对称轴有关，有 左也可说与a和x=-b 关。当a>0时，函数图像开口向上，对称轴x=-b 有 左2a 2aba<0x=-2a左边呈递增趋势，右边呈递减趋势。例2、已知函数y=x2+2x+3的自变量的取值范围为x≥1，求函数的最小值。解：因为函数中二次项系数为1>0，函数图像开口向上，对称轴为x=函数y=x2+2x+3在x≥1中是递增的，y随x的增大而增大。所以当x=1时，函数有最小值为6。ky= （k≠0kk>0时，x函数在每个象限内是递减的趋势，y随xk<0时，函数在每个象限内是递增的趋势，y随x的增大而增大。例3、求函数y=

1（x≥2）的最大值。x解：因为函数y=

1在x≥2中呈递减趋势，y随x的增大而减小，所以当xx=2时，函数有最大值为1。222022年安徽省中小学教育教学论文评选的图像，从而求出函数最值。2.利用不等式的性质立在不等式的性质的基础上。通常是利用函数y表示自变量x取值范围进行求解。例4、求函数y=-2x+1（1≤x≤2）的最大值和最小值。解：因为y=-2x+1，所以x=1-y，因为1≤x≤2，所以1≤1-y≤2，2 22≤1-y≤4，1≤-y≤3-3≤y≤-3-1。3.二次函数利用配方法求最值方都是非负数的性质去进行求解。今年的安徽中考中第23题也是依靠这种方法y=ax2+bx+c（ba≠0y=a(x2+a

x)+c；第二步：将已经转化好的式子配成顶点式y=a(x+k)2+h（a≠0a的符号和h的数值确定函数的最值。1例5、已知函数y=-2

x2+2x+24（0<x≤61解:由题意可知：y=-2

x2+2x+24=-12

(x2-4x+4)+26=-12

(x-2)2+26因为0<x≤6，所以当x=2时，函数有最大值为26。二、几何中的最值问题求法1.特殊位置法求最值32022年安徽省中小学教育教学论文评选的具体数值。例RtΔABCM是斜边AB上一动点，求线段的最小值．解：如图，当CM⊥AB时，线段CM取得最小值．因为RtΔABC中，∠C=90°，ACBC，所以AB=

AC22=

122，1 1 6013因为，SΔABC=2AC×BC=2CM×AB,所以12×5=13×CM,所以CM= ,13故CM的最小值为60。13的垂足、矩形的顶点或对角线交点、圆的直径端点等。2.应用几何中的不等关系求最值关系。利用这类不等关系可以确定取值一个范围，并得出最值。例7、如图2，圆O的半径为2，OA＝4，动点B在圆O上，连接AB，作等边三角形ABC（A、B、COC的最大值。42022年安徽省中小学教育教学论文评选OB为边在OB的左侧作等边三角形AE。OBE＝60°,所以∠CBA+∠ABO=∠ABO+∠OBE,即∠CBO＝∠ABE，OC＝AE，在△AOE中，OE+OA≥AE，所以当E、O、A共线时，AE取得最大值，因为OE，OA，所以AE的最大值为6，所以OC的最大值为6。有一个三角形的模型，需要通过线段之间的替换，组建一个模型来求最值。3.数形结合法52022年安徽省中小学教育教学论文评选求出最值，通常用于求线段之间的和（或差）或图形面积的最值。例8、如图4，将边长为8的正方形纸片ABCD折叠，使点A落在边CD上的点MEF分别交于点边AB折叠后交边BC于点M是边CDCDEF的面积S是否存在最值？若存在，求出这个最值；若不存在，说明理由．F作FN⊥AD于NFNA=∠DAB=∠ABC=90°，所以四边形ABFN是矩形，所以FN=AB=CD=AD=8，由折叠的性质可得：EF⊥AM,所以∠EAM+∠AMD=90°=∠EAM+∠AEF，所以∠AMD=∠AEF，因为∠D=∠ENF=90°，所以△ADM≌DM=EN，设DM，DE，62022年安徽省中小学教育教学论文评选2因为EM2=DE22，即-b)2=a2+b2，所以b=4-a，216所以S四边形CDEF1

=S矩形CDNF-SΔENF1

1=8×(a+b)- ×8×a=4a+2=- a2+4a+32=-2

(a-4)2+402所以，当a=4时，四边形有最大值为40。时要考虑自变量的取值及其在范围里的增减性。4.构建特殊模型多模型有将军饮马、隐圆、胡不归与阿氏圆等。例ABCDD是BCCD＝2，BD∠ABD＝90°，AB

=1，求线段AC的最大值。解：如图，以BC为直角边作等腰直角△BCM，则BC＝BM，72022年安徽省中小学教育教学论文评选因为∠ABD＝∠CBM＝90°，BD＝1，所以∠ABC＝∠DBM，AB＝BD，AB所以△ABC≌AC＝DM，所以当DM取最大值时，AC最大，所以可以把D的运动轨迹看成是以C为圆心，以CD为半径的圆的部分，当D、C、M共线时，DM最大，如图，D′M为最大值，因为CM=

BC22=

422，CD'=CD=2，所以D'M=4

2+2，所以,线段AC的最大值为42。这题运用特殊模型展示动点的轨迹，从而通过构建隐圆确定线段的最大值。型。模型，只有这样我们面对这些综合型的最值问题才可以进行充分解答。82022年安徽省中小学教育教学论文评选的方法,从而达到认识客观世界规律的目的，为进一步的决策分析等提供准确的的影响,如人为因素,环境因素等,人们还需综合各方面的因素，然后做出