2021新编课件-新教材苏教版高中数学必修第一册第四章指数与对数-教学课件

4.1

指数4.2.1对数的概念P414.2.2对数的运算性质P73第四章指数与对数课标阐释思维脉络1.理解根式和分数指数幂的概念.(数学抽象)2.掌握分数指数幂的运算性质,正确地进行各种指数运算.(数学运算)3.熟练进行根式和分数指数幂的互化.(数学运算)情境导入公元前五世纪,古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派,其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题:边长为1的正方形其对角线长度是多少呢?他发现这一长度既不能用整数,也不能用分数来表示,希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数

的诞生.若x2=3,这样的x有几个?它们叫作3的什么?怎么表示?希帕索斯

知识点拨一、根式1.n次方根的定义一般地,如果xn=a(n>1,n∈N*),那么称x为a的n次方根.0的n次方根等于0.2.根式的定义式子

叫作根式,其中n叫作根指数,a叫作被开方数.3.根式的性质

微思考

提示

(1)()n是实数a的n次方根的n次幂.(2)不一定,当n为大于1的奇数时,a∈R;当n为大于1的偶数时,a≥0.二、分数指数幂

名师点析

关于分数指数幂要注意以下几点:(2)0的指数幂:0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义.微思考

微练习

答案

B三、有理数指数幂有理指数幂的运算性质:(1)asat=as+t;(2)=ast;(3)(ab)t=atbt.其中s,t∈Q,a>0,b>0.名师点析

(1)有理指数幂的运算性质除上述之外,还有如下性质:微练习

1对任意的正实数a及m,n∈Q,下列运算正确的是(

)答案

D解析

根据指数的运算性质(am)n=amn,故选D.微练习

2探究一利用根式的性质化简求值例1化简下列各式:解

(1)原式=(-2)+(-2)=-4.(2)原式=|-2|+2=2+2=4.探究二有限制条件的根式的运算(1)答案

-1延伸探究2将本例(2)的条件“-3<x<3”改为“x≤-3”,则结果又是什么?因为x≤-3,所以x-1<0,x+3≤0,所以原式=-(x-1)+(x+3)=4.反思感悟带条件根式的化简(1)有条件根式的化简问题,是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简.(2)有条件根式的化简经常用到配方的方法.当根指数为偶数时,在利用公式化简时,要考虑被开方数或被开方的表达式的正负.探究三根式与分数指数幂的互化例3将下列根式化成分数指数幂的形式:反思感悟根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数

分数指数的分母,被开方数(式)的指数

分数指数的分子.(2)在具体计算时,通常会把根式转化成分数指数幂的形式,然后利用有理数指数幂的运算性质解题.变式训练2将下列根式与分数指数幂进行互化.探究四利用分数指数幂的运算性质化简求解例4计算或化简下列各题:反思感悟指数幂运算的常用技巧(1)有括号先算括号里的,无括号先进行指数运算.(2)负指数幂化为正指数幂的倒数.(3)底数是小数,先要化成分数;底数是带分数,要先化成假分数,然后要尽可能用幂的形式表示,便于用指数幂的运算性质.素养形成指数幂运算中的条件求值

(1)a+a-1;(2)a2+a-2.变式训练1在本例条件不变的条件下,求a-a-1的值.解

令a-a-1=t,则两边平方得a2+a-2=t2+2,∴t2+2=194,即t2=192,变式训练2在本例条件不变的条件下,求a2-a-2的值.点评解决条件求值的思路1.在利用条件等式求值时,往往先将所求式子进行有目的的变形,或先对条件式加以变形、沟通所求式子与条件等式的联系,以便用整体代入法求值.2.在利用整体代入的方法求值时,要注意完全平方公式的应用.当堂检测1.已知m10=2,则m等于(

)答案

D解析

∵m10=2,∴m是2的10次方根.又10是偶数,∴2的10次方根有两个,且互为相反数.答案

D3.(2020湖南高一期中)下列式子成立的是(

)答案

B答案

π-1

-46.(2020四川冕宁中学高一期中)计算下列各式的值:4.2.1对数的概念课标阐释思维脉络1.理解对数的概念,能够熟练地进行对数式与指数式的互化.(逻辑推理)2.理解常用对数、自然对数的概念及记法.(数学抽象)3.掌握对数的性质,能进行简单的对数计算.(数学运算)情境导入某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……依次类推,那么1个这样的细胞分裂x次得到细胞个数N是多少?分裂多少次得到细胞个数为8个,256个呢?如果已知细胞分裂后的个数N,如何求分裂次数呢?知识点拨一、对数的概念1.对数如果ab=N(a>0,a≠1),那么就称b是以a为底N的对数,记作logaN=b,其中,a叫作对数的底数,N叫作真数.2.指数式与对数式的互化3.常用对数与自然对数

名师点析

(1)由对数的定义可知,对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式.(2)在对数logaN中,规定a>0且a≠1的原因如下:①若a<0,则N为某些数值时,b不存在,如式子(-2)x=3没有实数解,所以log(-2)3不存在.因此,规定a不能小于0.②若a=0,则当N≠0时,logaN不存在;当N=0时,loga0有无数个值,不能确定.因此,规定a≠0.③若a=1,且N不为1,则b不存在,如log12不存在;而当a=1,N=1时,b可以为任意实数,不能确定.因此,规定a≠1.微练习

1若a2=M(a>0,且a≠1),则有(

)A.log2M=a

B.logaM=2C.log22=M D.log2a=M答案

B解析

∵a2=M,∴logaM=2,故选B.微练习

2若log3x=3,则x=(

)A.1 B.3C.9 D.27答案

D解析

∵log3x=3,∴x=33=27.故选D.微练习

3在对数式b=log(a-2)(5-a)中,实数a的取值范围是(

)A.{a|a>5或a<2}B.{a|2<a<5}C.{a|2<a<3或3<a<5}D.{a|3<a<4}答案

C二、对数的基本性质1.负数和零没有对数.2.loga1=0(a>0,且a≠1).3.logaa=1(a>0,且a≠1).4.对数恒等式:=N.5.logaab=b.

微思考

1为什么零和负数没有对数?提示

由对数的定义:ax=N(a>0,且a≠1),则总有N>0,所以转化为对数式x=logaN时,不存在N≤0的情况.微思考

2你能推出对数恒等式

=N(a>0,且a≠1,N>0)吗?提示

因为ax=N,所以x=logaN,代入ax=N可得

=N.探究一对数式有意义的条件例1求下列各式中x的取值范围:(1)log2(x-10);(2)log(x-1)(x+2);(3)log(x+1)(x-1)2.解

(1)由题意有x-10>0,解得x>10,故x的取值范围为(10,+∞).反思感悟对数成立的条件在解决与对数有关的问题时,一定要注意:对数真数大于0,对数的底数大于0且不等于1.变式训练1b=log(3a-1)(3-2a)中,实数a的取值范围是(

)答案

B解析

要使式子b=log(3a-1)(3-2a)有意义,探究二指数式与对数式互化的方法例2将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式.(3)由lg

1

000=3,可得103=1

000.(4)由ln

x=2,可得e2=x.反思感悟指数式与对数式互化的方法(1)将指数式化为对数式,只需要将幂作为真数,指数当成对数值,底数不变,写出对数式;(2)将对数式化为指数式,只需将真数作为幂,对数作为指数,底数不变,写出指数式.变式训练2将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式:探究三应用对数的基本性质求值A.10 B.13C.100 D.±100(2)若log3(lgx)=0,则x的值等于

.

答案

(1)B

(2)10(2)由log3(lg

x)=0得lg

x=1,所以x=10.反思感悟利用对数性质求解两类问题的策略(1)求多重对数式的值解题方法是由内到外,如求loga(logbc)的值,先求logbc的值,再求loga(logbc)的值.(2)已知多重对数式的值,求变量值,应从外到内求,逐步脱去“log”后再求解.延伸探究若本例(2)的条件改为“ln(log3x)=1”,则x的值为

.

答案

3e解析

由ln(log3x)=1得log3x=e,解得x=3e.素养形成代入法解决条件求值问题

当堂检测1.在b=log3(m-1)中,实数m的取值范围是(

)A.R B.(0,+∞)C.(-∞,1) D.(1,+∞)答案

D解析

由m-1>0得m>1,故选D.

答案

D解析

因为loga2=m,loga3=n,故am=2,an=3,故am+n=am·an=6,故选D.4.若log2(logx9)=1(x>0,且x≠1),则x=

.

答案

3解析

由log2(logx9)=1可知logx9=2,即x2=9,∴x=3(x=-3舍去).答案

36.求下列各式中x的值:4.2.2对数的运算性质课标阐释思维脉络1.理解对数的运算性质.(数学抽象)2.能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.(逻辑推理)3.会运用运算性质进行一些简单的化简与证明.(数学运算)情境导入大家都知道,对数运算可看作指数运算的逆运算,你能从指数与对数的关系以及指数运算性质中,得出相应对数的运算性质吗?同学们能否大胆猜想一下对数的运算性质呢?观察下列各式,你能从中猜想出什么结论吗?log2(2×4)=log22+log24=3;log3(3×9)=log33+log39=3;log2(4×8)=log24+log28=5.知识点拨一、对数的运算性质loga(MN)=logaM+logaN,loga=logaM-logaN,logaMn=nlogaM,其中a>0,a≠1,M>0,N>0,n∈R.名师点析

(1)对于上面的每一条运算法则,都要注意只有当式子中所有的对数符号都有意义时,等式才成立.(2)对数的运算法则具有可逆性,如:logaM+logaN=loga(MN)(a>0,a≠1,M>0,N>0),如log84+log82=log8(4×2)=log88=1.微练习

(1)下列各式中正确的是(

)A.1

B.2

C.3

D.4答案

(1)C

(2)A二、换底公式logaN=,其中a>0,a≠1,N>0,c>0,c≠1.名师点析

(1)换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义.(2)换底公式的意义就在于把不同底的对数化成同底的对数,特别地,微拓展几个特殊的对数换底公式(a>0,a≠1,b>0,b≠1,c>0):探究一集合的基本概念利用对数运算性质求值例1计算下列各式的值:(2)原式=2lg

5+2lg

2+lg

5×(2lg

2+lg

5)+(lg

2)2=2lg

10+(lg

5+lg

2)2=2+(lg

10)2=2+1=3.反思感悟对数运算求值的解题策略1.利用对数性质求值的解题关键是化异为同,先使各项底数相同,再找真数间的联系.2.对于复杂的运算式,可先化简再计算;化简问题的常用方法:①“拆”:将积(商)的对数拆成两对数之和(差);②“收”:将同底对数的和(差)收成积(商)的对数.变式训练1求下列各式的值:(1)lg25+lg2×lg50;(2)lg8+lg25+lg2×lg50+lg25.解

(1)原式=lg25+(1-lg

5)(1+lg

5)=lg25+1-lg25=1.(2)lg

8+lg25+lg

2×lg

50+lg

25=2lg

2+lg25+lg

2×(1+lg

5)+2lg

5=2×(lg

2+lg

5)+lg25+lg

2+lg

2×lg

5=2+lg

5×(lg

5+lg

2)+lg

2=2+lg

5+lg

2=3.探究二换底公式的应用例2计算:(1)lg20+log10025;(2)(log2125+log425+log85)×(log1258+log254+log52).反思感悟利用换底公式求值的解题策略(1)由于题目中各个对数的底数都不相同,因此解题时应先通过换底公式统一底数,再进行化简求值.(2)注意换底公式与对数运算法则的综合应用.变式训练2(1)已知log142=a,用a表示lo7;(2)已知log147=a,log145=b,用a,b表示log3528.探究三对数运算性质的综合应用解

∵3a=5b=15,∴a=log315,b=log515,反思感悟应用换底公式应注意的问题1.化成同底的对数时,要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用.2.题目中有指数式和对数式时,要注意将指数式与对数式统一成一种形式.答案

1素养形成对数方程的求解解下列关于x的方程:(1)log5(2x+1)=log5(x2-2);解

(1)由log5(2x+1)=log5(x2-2),得2x+1=x2-2,即x2-2x-3=0,解得x=-1或x=3.当x=-1时,2x+1<0,x2-2<0,不满足真数大于0,舍去;当x=3时,2x+1>0,x2-2>0.故x=3.解得x=15或x=-5(舍去),经检验,x=15符合题意.(